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等比数列经典例题透析


等比数列经典例题透析
类型一:等比数列的通项公式 例 1.等比数列 {an } 中, a1 ? a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 . 思路点拨:由等比数列的通项公式,通过已知条件可列出关于 a1 和 q 的二元 方程组,解出 a1 和 q ,可得 a11 ;或注意到下标 1 ? 9 ? 3 ? 7 ,可以利用性质可求出
a3 、 a7 ,再求 a11 .

总结升华: ①列方程 (组) 求解是等比数列的基本方法,同时利用性质可以减少计算量; ②解题过程中具体求解时,要设法降次消元,常常整体代入以达降次目的, 故较多变形要用除法(除式不为零). 举一反三: 【变式 1】{an}为等比数列,a1=3,a9=768,求 a6。 【变式 2】{an}为等比数列,an>0,且 a1a89=16,求 a44a45a46 的值。 【变式 3】已知等比数列 {an } ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a1a2 a3 ? 8 ,求 an 。 类型二:等比数列的前 n 项和公式 例 2.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9,求数列的公比 q. 解析:若 q=1,则有 S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1. 因 a1≠0,得 S3+S6≠2S9,显然 q=1 与题设矛盾,故 q≠1.
a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) 2a1 (1 ? q 9 ) ? ? 由 S3 ? S6 ? 2S9 得, , 1? q 1? q 1? q

整理得 q3(2q6-q3-1)=0, 由 q≠0,得 2q6-q3-1=0,从而(2q3+1)(q3-1)=0,
3 4 1 因 q3≠1,故 q 3 ? ? ,所以 q ? ? 。 2 2

举一反三:
1 1 【变式 1】求等比数列 1, , ,? 的前 6 项和。 3 9 【变式 2】已知:{an}为等比数列,a1a2a3=27,S3=13,求 S5.

【变式 3】在等比数列 {an } 中,a1 ? an ? 66 ,a2 ? an?1 ? 128 ,Sn ? 126 ,求 n 和 类型三:等比数列的性质 例 3. 等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,求 log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 a10 . 举一反三: 【 变 式 1 】 正 项 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a1 · a100=100; 则 lga1+lga2+ … … +lga100=_____________.

8 27 【变式 2】在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三 3 2 个数的乘积为________。 类型四:等比数列前 n 项和公式的性质

例 4.在等比数列 {an } 中,已知 S n ? 48 , S2 n ? 60 ,求 S3n 。 思路点拨: 等差数列中也有类似的题目, 我们仍然采用等差数列的解决办法, 即等比数列中前 k 项和,第 2 个 k 项和,第 3 个 k 项和,……,第 n 个 k 项和仍 然成等比数列。 举一反三: 【变式 1】等比数列 {an } 中,公比 q=2, S4=1,则 S8=___________. 【变式 2】已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 且 S10=10, S20=40,求:S30=? 【变式 3】等比数列 {an } 的项都是正数,若 Sn=80, S2n=6560,前 n 项中最大 的一项为 54,求 n. S S 80 1 【答案】∵ n ? ,∴ q ? 1 (否则 n ? ) S 2 n 6560 S 2n 2 ∴ Sn ?
a1 (1 ? q n ) =80 1? q

........(1)

a1 (1 ? q 2 n ) S2 n ? =6560.........(2), 1? q (2)÷(1)得:1+qn=82,∴qn=81......(3) ∵该数列各项为正数,∴由(3)知 q>1 ∴{an}为递增数列,∴an 为最大项 54. ∴an=a1qn-1=54,∴a1qn=54q, ∴81a1=54q..........(4) 54 2 2 ∴ a1 ? q ? q 代入(1)得 q(1 ? 81) ? 80(1 ? q) , 81 3 3 ∴q=3,∴n=4.

【变式 4】 等比数列 {an } 中, a1+a2=324, a3+a4=36, 则 a5+a6=_____________. 若 【变式 5】等比数列 {an } 中,若 a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求 a7+a8+a9 的值。 类型五:等差等比数列的综合应用 例 5.已知三个数成等比数列,若前两项不变,第三项减去 32,则成等差数 列.若再将此等差数列的第二项减去 4,则又成等比数列.求原来的三个数. 思路点拨:恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数,应尽量设 较少的未知数,并将其设为整式形式. 总结升华:选择适当的设法可使方程简单易解。一般地,三数成等差数列, x 可设此三数为 a-d, a, a+d;若三数成等比数列,可设此三数为 ,x, xy。但 y 还要就问题而言,这里解法二中采用首项 a,公比 q 来解决问题反而简便。 举一反三: 【变式 1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上 4, ,那么所得的三项就

成为等差数列,如果再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成 为等比数列,求原来的等比数列. 【变式 2】已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求 这三个数。 【变式 3】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并 且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 12,求这四个数. 类型六:等比数列的判断与证明 例 6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an} 的通项公式,并判断{an}是何种数列? 思路点拨:由数列{an}的前 n 项和 Sn 可求数列的通项公式,通过通项公式判 断{an}类型. 【变式 2】 设{an}、 n}是公比不相等的两个等比数列, n=an+bn,证明数列{Cn} {b C 不是等比数列. 【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为 p, q,且 p≠q
2 为证{Cn}不是等比数列,只需证 C1 ? C3 ? C2 . 2 ∵ C2 ? (a1 p ? b1q)2 ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? 2a1b1 pq ,

C1 ? C3 ? (a1 ? b1 )(a1 p 2 ? b1q 2 ) ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? a1b1 ( p 2 ? q 2 )
2 ∴ C1 ? C3 ? C2 ? a1b1 ( p ? q)2 , 又∵ p≠q, a1≠0, b1≠0, 2 2 ∴ C1 ? C3 ? C2 ? 0 即 C1 ? C3 ? C2

∴数列{Cn}不是等比数列. 【变式 3】判断正误: (1){an}为等比数列 ? a7=a3a4; (2)若 b2=ac,则 a,b,c 为等比数列; (3){an},{bn}均为等比数列,则{anbn}为等比数列;
?1? 2 (4){an}是公比为 q 的等比数列,则 {an } 、 ? ? 仍为等比数列; ? an ?

(5)若 a,b,c 成等比,则 logma,logmb,logmc 成等差. 类型七:Sn 与 an 的关系
2 例 7.已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn ? an ? 5an ? 6 ,且 a1,a3,

a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an. 举一反三: 【变式】命题 1:若数列{an}的前 n 项和 Sn=an+b(a≠1),则数列{an}是等比 数列;命题 2:若数列{an}的前 n 项和 Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是 等比数列。上述两个命题中,真命题为 个.



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