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2015-2016学年江苏省泰兴中学高二下学期期中考试数学(理)试题


江苏省泰兴中学高二年级数学(理科)期中考试试题
一.填空题(每题 5 分,共计 70 分) 1.投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数 1、2、3、4、5、6)一次,则 两颗骰子向上点数之积等于 12 的概率为__▲ ___. 2.已知某算法的伪代码如图,根据伪代码,若函数 g(x)=f(x)﹣m 在 R 上有且只有两个零点,则实数 m 的取值范

围是 ▲ .

3.如图,空间四边形 ??? C 中, ?? ? a ,?? ? b , ?C ? c ,点 ? 在 ?? 上,且 ?? ?

????

?

??? ?

?

??? ?

?

???? ?

2 ???? ?? ,点 ? 为 3

???? ? ? C 中点,则 ?? 等于 ▲

.(用向量 a, b, c 表示)

4.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,学校学生会用分层抽样的方法从这三个 年级的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取的人数为 7,那么从高三学生 中抽取的人数应为 ▲ .

5. 某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为 10,方 差为 2,则 x ? y 的值为
2 2



.

( bx ? 6. 已知 b 为如右图所示的程序框图输出的结果, 则二项式
式中的常数项是____▲ ___. (用数字作答)

1 x

)6

的展开

7. 在正四面体 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,F 为 AD 的中点,则异面 AE 与 CF 所成角的余弦值为 ▲ .
4



线

8. 已知 ( x ? m)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? a7 x7 的展开式中 x 的系数 是-35,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 = ▲ .



1第

9. 某一批花生种子, 如果每 1 粒发芽的概率为 (请用分数表示结果)

4 ,那么播下 4 粒种子至少有 2 粒发芽的概率是 5



.

10. 已知(1+mx)n(m∈R,n∈N*)的展开式的二项式系数之和为 32,且展开式中含 x3 项的系数为 80.则(1 +mx)n(1-x)6 展开式中含 x2 项的系数为 ▲ .

11. 袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球 得 3 分,设得分为随机变量 ξ,则 P(ξ≤7)= ▲ . (用分数表示结果)

12.袋中混装着 10 个大小相同的球(编号不同) ,其中 6 只白球,4 只红球,为了把红球 与白球区分开来,采取逐只抽取检查,若恰好经过 6 次抽取检查,正好把所有白球和红球区分出来了,则 这样的抽取方式共有 ▲ 种. (用数字作答) 1 4 7 2 5 8 3 6 9

13.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1、2、…、9 的 9 个小正方形(如图),使得任 意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1、5、9 的小正方形涂相同 的颜色,则符合条件的所有涂法共 有__▲ __种. (用数字作答) 14.已知数列{an}为 a0,a1,a2,a3,…,an(n∈N), n

n bn= ?ai=a0+a1+a2+a3+…+an,i∈N.若数列 i=0

{an}为等差数列 an=2n(n∈N),则

i )__▲ __. ?(b Cn
i

i=1

二.解答题(本题包括六道大题共计 90 分,解答时请写出必要的计算或证明过程) 15. ( 本题满分 14 分 ) 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在

20 ~ 80m g / 100m L (不含 80 )之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80m g / 100m L(含 80 )以上时,
属醉酒驾车.”

2015 年 “ 7 夕”晚 8 时开始,南京市交警队在解放路一交通岗前设点,对过往的车辆进行抽查,经过 4 个
小时共查出喝过酒的驾车者 60 名.下图是用酒精测试仪对这 60 名驾车者血液中酒精浓度进行检测后所得 结果画出的频率分布直方图.

(1)求这 60 名驾车者中属醉酒驾车的人数; (图中每组包括左端点,不包括右端点)
页 2第

(2)求这 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值(以组中值代替该组的均值) ; (3)将频率分布直方图中的七组从左到右依次命名为第一组,第二组, . . .,第七组,在第五组和第七组的 所有人中抽出两人, 记他们的血液酒精浓度分别为 x 、y (m g / 100m L) , 则事件 x ? y ? 10 的概率是多少?

( ? 2 x) n , 16.(本题满分 14) 已知
(1) 若展开式中第 5 项, 第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列, 求展开式中二项式系数最大项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.

1 2

17.(本题满分 15 分) 在甲、乙等 7 个选手参加的一次演讲比赛中,采用抽签的方式随机确定每个选手的演 出顺序(序号为 1,2,……7) ,求: (1)甲、乙两个选手的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两选手之间的演讲选手个数 ? 的分布列与期望.

18 、 ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 : 已 知 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 菱 形 ,

?C1CB ? ?C1CD ? ?BCD = 60? ,且 C1C ? CD ? 1
(1)试用 CD, CB, CC1 表示 CA1 ,并求 CA1 ; (2)求证: CC1 ? BD ; (3)试判断直线 A1C 与面 C1 BD 是否垂直,若垂直,给出证明; 垂直,请说明理由。
B C D A B1 C1 D1 A1

? ??? ? ??? ? ????

????

????

若不

19. 一个袋中装有黑球,白球和红球共 n (n ? N ) 个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋中任意摸出 1
*

个球,得到黑球的概率是


2 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5
3第

(1)若 n ? 15 ,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 求随机变量 ? 的概率分布;

4 ,设 ? 表示摸出的 2 个球中红球的个数, 7

(2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少?

20. 在数学上,常用符号来表示算式,如记 ? ai = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,其中 i ? N , n ? N ? .
i ?0 i (1)若 a 0 , a1 , a 2 ,…, a n 成等差数列,且 a0 ? 0 ,求证: ? ? ai Cn ? ? an ? 2n?1 ; i ?0 n

n

[ (1 )? (2) 若 ? (1 ? x) k ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? a2 n x 2 n ,bn ? ? a2i , 记 dn ? 1 ? ?
k ?1 i ?0 i ?1

2n

n

n

i

i b ]i Cn , 且不等式 t ? (d n ? 1) ? bn

恒成立,求实数 t 的取值范围.



4第

江苏省泰兴中学高二年级数学(理科)期中考试试题

参考答案
一填空题 1.

1 9

2. (﹣∞,0)∪{1}

3. ?

2? 1? 1? a? b? c 3 2 2

4. 10

5. 208

6. -540

7.

2 3

8. 1

9.

608 625

10. -5

11.

13 35

12.7920

13.108

14. (n 2 ? 3n) ? 2 n? 2

二、解答题: 15. ( 1 )依题意知醉酒驾车者即血液酒精浓度在 80m g / 100m L (含 80 )以上者,共有 0.05 ? 60 ? 3 人;………………3 分 (2)由图知 60 名驾车者血液的酒精浓度的平均值 25 ? 0.25 ? 35 ? 0.15 ? 45 ? 0.2 ? 55 ? 0.15

?65 ? 0.1 ? 75 ? 0.1 ? 85 ? 0.05 ? 47(mg /100mL) ;………………8 分
(3)第五组和第七组的人分别有: 60 ? 0.1 ? 6 人, 60 ? 0.05 ? 3 人, x ? y ? 10 即选的两人只能在同一 组中, P( x ? y ? 10) ?
2 C6 ? C32 15 ? 3 1 ? ? .………………14 分 C92 36 2

- r ?1?n-r· 16. (1)通项 Tr+1= C r (2x)r=22r n C r (此题可以用组合数表示结果) n ?2? nx ,

5 6 由题意知 C 4 n , C n , C n 成等差数列,
4 6 ∴ 2C5 n = Cn ? Cn ,

∴n=14 或 7.

…………………3 分
-14

当 n=14 时,第 8 项的二项式系数最大,该项的系数为 22×7 当 n=7 时,第 4、5 项的二项式系数相等且最大, 其系数分别为 22×3
-7

7 =3 432; C14

2× 4-7 4 C3 C7 =70. 7 = 2 ,2

35

…………7 分

1 2 (2)由题意知 C0 n ? C n ? C n =79,

∴n=12 或 n=-13(舍). ∴Tr+1=22r
2 r ?12
-12

…………………………9 分

r r x. C12

由?

?2 C ?2 C ? 2 r ?12 r 2( r ?1) ?12 r ?1 C12 ? 2 C12 ? ?2
r 12 2( r ?1) ?12 r ?1 12

r≤ , , ? 5 得? 47 , ?r≥ 5 ,

52

∴r=10.



5第

∴展开式中系数最大的项为 T11=22×10

-12

10 · C10 12 x =

33 (2x)10. 2

…………………………14 分

17. (1)设 A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则 A 表示 “甲、乙的演出序号均为偶数”.由等可 能性事件的概率计算公式得

P? A? ? 1 ? P A ? 1 ?

??

C32 6 ? .…………6 分 2 7 C7

(2) ? 的可能取值为 0,1,2,3,4,5 ,…………7 分

P?? ? 0? ?
P?? ? 3? ?

6 2 4 4 5 5 ? , P?? ? 1? ? 2 ? , P?? ? 2? ? 2 ? , 2 C7 7 C 7 21 C7 21
3 3 ? , 2 C7 21 P?? ? 4? ? 2 2 1 1 ? , P?? ? 5? ? 2 ? . …………11 分 2 C 7 21 C7 21

从而 ? 的分布列为

?

0

1

[来源:]

2

3

4

5

P
…………13 分 所以, E? ? 0 ?

2 7

5 21

4 21

3 21

2 21

1 21

2 5 4 3 2 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . …………15 分 7 21 21 21 21 21 3

18. 解: CA 1 ? CD ? CB ? CC 1 ……………………………………………………………2 分

???? ??? ? ? ??? ? ????

???? 2 ??? ? ? ??? ? ???? ? CA1 ? (CD ? CB ? CC1 )2
= CD ? CB ? CC1 ? 2CD ? CB ? 2CD ? CC1 ? 2CB ? CC1 = 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1? 1?
2 2 2

??? ?2

??? ?2

???? ?2

??? ? ??? ?

? ??? ? ????

? ??? ? ????

???? ? CA1 ? 6 ………………………………………………………………………………5 分
(2) ?CC1 ? BD ? CC1 ? (CD ? CB) ? CC1 ? CD ? CC1 ? CB = 1?1?

1 1 1 ? 2 ?1?1? ? 2 ?1?1? =6 2 2 2

???? ? ??? ?

???? ? ??? ? ??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ?

1 1 ? 1?1? =0 2 2

???? ? ??? ? ?CC1 ? BD ???? ??? ?

………………………………………………………………9 分 ?CC 1 ? BD

(3) ?CA1 ? BD ? (CD ? CB ? CC1 ) ? (CD ? CB)

? ??? ? ??? ? ????

??? ? ??? ?



6第

= CD ? CB ? CD ? CB ? CD ? CB ? CC1 ? CD ? CB ? CC1 =0

??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ???? ? ??? ? ??? ? ???? ?

???? ??? ? ?CA1 ? BD

…………………………………………………………………13 分 CA 1 ? BD

同理可证 CA1 ? BC1

? BC1 ? 面BDC 1, BD ? 面BDC ,1BC ? 1 BD ? B

? A1C ? 面C1DB …………………………………………………………………………15 分

19. (1)设袋中黑球的个数为 x ,记“从袋中任意摸出 1 个球,得到黑球”为事件 A , 则 P ( A) ?

x 2 ? ,∴ x ? 6 ………………2 分 15 5

设袋中白球的个数为 y ,记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 B , 则 P( B) ? 1 ?
2 C15 ?y

C

2 15

4 ? ,∴ y ? 5 则袋中红球的个数为 4 个……5 分 7

随机变量 ? 的取值为 0,1,2,………………6 分

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C11 C4 C11 C4 11 44 2 , , ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 105 C15 21 C15 35 C15

∴随机变量 ? 的概率分布为

?

0

1

2

P

11 21

44 105

2 35
………………9 分

(2)袋中黑球的个数为
2 C3 n 5 2 n

2 n (n ? 5,10,15,? ? ?) 记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个黑球”为事件 C , 5
………………13 分

P(C ) ? 1 ?

C

?

16 6 ? 25 25(n ? 1)

∴当 n ? 5 时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为 ………………16 分

7 10

20. (1)设等差数列的通项公式为 an ? a0 ? nd ,其中 d 为公差
i 则 ? ? ai Cn ? ? a0 ? a1Cn1 ? a2Cn2 ? ? ? anCnn ? a0 (Cn0 ? Cn1 ? ? ? Cnn ) ? d (Cn1 ? 2Cn2 ? ?nCnn ) i ?0 n

k k ?1 1 2 n 0 1 n ?1 ? nCn 因为 kCn ?1 ,所以 Cn ? 2Cn ? ? nCn ? n(Cn ?1 ? Cn ?1 ? ? ? Cn ?1 )



7第

i 所以 ? ? ai Cn ? ? a 0 ?2n ? nd ? 2n?1 = an ? 2n?1 .………………5 分 i ?0

n

注:第(1)问也可以用倒序相加法证明.(酌情给分) (2)令 x ? 1 ,则 ? ai ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 22 n ?
i ?0 2n 2n

2(1 ? 4n ) ? 2 ? 4n ? 2 ?1

n 1 令 x ? ?1 ,则 ? [(?1)i ai ] ? 0 ,所以 bn ? ? a2i ? (2 ? 4n ? 2) ? 4n ? 1 ……………8 分 2 i ?0 i ?0

0 1 2 3 n 根据已知条件可知, dn ? Cn ? (4 ? 1)Cn ? (42 ? 1)Cn ? (43 ? 1)Cn ? ? ? (?1)n (4n ? 1)Cn

0 1 2 3 n 0 1 2 3 4 n ? [Cn ? Cn (?4) ? Cn (?4)2 ? Cn (?4)3 ? ? ? Cn (?4)n ] ? [Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1)n Cn ] ?1

n , ? ( 1 ? 4n ) ? ( 1 ? n 1 )? ? 1 ? ( 3 ? )

所以 dn ? (?3)n ? 1 ………………11 分 1

将 bn ? 4n ? 1、 dn ? (?3)n ? 1 代入不等式 t ? (d n ? 1) ? bn 得, t ? (?3)n ? 4n ? 1
4 1 4 1 5 当 n 为偶数时, t ? ( )n ? ( )n ,所以 t ? ( )2 ? ( )2 ? ;………………13 分 3 3 3 3 3 4 1 4 1 当 n 为奇数, t ? ?[( )n ? ( )n ] ,所以 t ? ?[( )1 ? ( )1 ] ? ?1 ;………………15 分 3 3 3 3 5 综上所述,所以实数 t 的取值范围是 [?1, ] . ………………16 分 3



8第


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