tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)


广东省广州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<1},N

={x|y= },则 M∩N=() A.{x|0<x<1} B.{x|0≤x<1} C.{x|x≥0} D.{x|﹣1<x≤0} 3. (5 分)命题“若 x>0,则 x >0”的否命题是() 2 2 2 A.若 x>0,则 x ≤0 B.若 x >0,则 x>0 C.若 x≤0,则 x ≤0
2

D.若 x ≤0,则 x≤0

2

4. (5 分)设向量 =(x,1) , =(4,x) , ? =﹣1,则实数 x 的值是() A.﹣2 B . ﹣1 C. D.

5. (5 分)函数 A.2π B.

的最小正周期为() C. π D.

6. (5 分)一算法的程序框图如图 1,若输出的 y= ,则输入的 x 的值可能为()

A.﹣1

B. 0

C. 1

D.5

7. (5 分)用 a,b,c 表示空间中三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a∥b,a∥c,则 b∥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是() A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 8. (5 分)已知 log2a>log2b,则下列不等式一定成立的是() A. B.log2(a﹣b)>0 C. D.2
a﹣b

<1

9. (5 分)已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支

2

相交于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为() A. B. 5 C. D.4

10. (5 分)已知函数 f(x)=x+sinπx﹣3,则 的值为() A.4029 B.﹣4029 C.8058 D.﹣8058

二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题) 11. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集是.
2

12. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组 从区域 W 中随机取点 M(x,y) ,则|OM|≤2 的概率是.

,所表示的平面区域是 W,

13. (5 分)已知实数 x,y 满足 x +y ﹣xy=1,则 x+y 的最大值为.

2

2

二.选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (几何证明选讲选做题) 14. (5 分) (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB=9,直线 CE 与圆 O 相切于点 C,AD⊥CE 于 D,若 AD=1,设∠ABC=θ,则 sinθ=.

(坐标系与参数方程选讲选做题) 15. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1:ρ=2sinθ 与 C2:ρ=2cosθ 的交点分别为 A、B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sinx+acosx(x∈R) , (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 的值. 17. (12 分)某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销 量之间的关系进行分析研究,他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x(°C)与 该奶茶店的这种饮料销量 y(杯) ,得到如下数据: 日 期 1 月 11 日 1 月 12 日 1 月 13 日 1 月 14 日 1 月 15 日 平均气温 x(°C) 9 10 12 11 8 销量 y(杯) 23 25 30 26 21 (1)若从这五组数据中随机抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率; (2)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 cq=2q﹣1. ,且 , ,求 sin(α+β) 是函数 f(x)的一个零点.

(参考公式:

. )

18. (14 分)在如图所示的多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,AD∥BC,平面 BCEF∩平 面 ADEF=EF,∠BAD=60°,AB=2,DE=EF=1. (Ⅰ)求证:BC∥EF; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣DEF 的体积.

19. (14 分)已知首项为 ,公比不等于 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且﹣2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=n|an|,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn+bn<6.

20. (14 分)已知椭圆 C:
2 2 2 2

的离心率为

,且经过点(0,1) .圆 C1:

x +y =a +b . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,且 l 与圆 C1 相交于 A,B 两点,问 =0 是否成立?请说明理由.
2

21. (14 分)已知函数 f(x)=ax ﹣blnx 在点(1,f(1) )处的切线为 y=1. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)是否存在实数 m,当 x∈(0,1]时,函数 g(x)=f(x)﹣x +m(x﹣1)的最小值为 0, 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若 0<x1<x2,求证: <2x2.
2

广东省广州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘法运算化简,求出 z 对应点的坐标得答案. 2 解答: 解:∵z=(1+2i)i=2i +i=﹣2+i, ∴复数 z=(1+2i)i 对应的点的坐标为(﹣2,1) ,位于第二象限. 故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|y= },则 M∩N=() A.{x|0<x<1} B.{x|0≤x<1} C.{x|x≥0} D.{x|﹣1<x≤0} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N 中 x 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 N 中 y= ,得到 x≥0,即 N={x|x≥0}, ∵M={x|﹣1<x<1}, ∴M∩N={x|0≤x<1}. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分)命题“若 x>0,则 x >0”的否命题是() 2 2 2 A.若 x>0,则 x ≤0 B.若 x >0,则 x>0 C.若 x≤0,则 x ≤0
2

D.若 x ≤0,则 x≤0

2

考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 命题的否命题是否定题设又否定结论,从而得到答案. 2 2 解答: 解:命题“若 x>0,则 x >0”的否命题是:若 x≤0,则 x ≤0, 故选:C. 点评: 本题考查了命题的否命题,要和命题的否定区别开,本题属于基础题.

4. (5 分)设向量 =(x,1) , =(4,x) , ? =﹣1,则实数 x 的值是() A.﹣2 B . ﹣1 C. D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知利用向量的数量积坐标表示得到关于 x 的方程解之 解答: 解:由已知 =(x,1) , =(4,x) , ? =﹣1,得到 4x+x=﹣1,解得 x=﹣ ; 故选 D. 点评: 本题考查了向量的数量积的坐标运算,关键是熟练数量积的公式. 5. (5 分)函数 的最小正周期为()

A.2π

B.

C. π

D.

考点: 三角函数的周期性及其求法;同角三角函数基本关系的运用. 分析: 先将函数化简为 y=Asin(ωx+φ)的形式即可得到答案. 解答: 解:由 可得最小正周期为 T= =2π,

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数最小正周期的求法.属基础题.

6. (5 分)一算法的程序框图如图 1,若输出的 y= ,则输入的 x 的值可能为()

A.﹣1

B. 0

C. 1

D.5

考点: 程序框图. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序可得程序功能是求分段函数 y= 即可求解. 解答: 解:模拟执行程序可得程序功能是求分段函数 y= ∵y= , 的值, 的值,根据已知

∴sin( ∴ =2k

)= ,k∈Z,即可解得 x=12k+1,k∈Z.

∴当 k=0 时,有 x=1. 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正弦函数的图象和性质,属于基础题. 7. (5 分)用 a,b,c 表示空间中三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a∥b,a∥c,则 b∥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是() A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 与立体几何有关的命题真假判断,要多结合空间图形,充分利用相关的公里、定理 解答.判断线与线、线与面、面与面之间的关系,可将线线、线面、面面平行(垂直)的性质 互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析. 解答: 解:因为空间中,用 a,b,c 表示三条不同的直线, ①中正方体从同一点出发的三条线,满足已知但是 a⊥c,所以①错误; ②若 a∥b,b∥c,则 a∥c,满足平行线公理,所以②正确; ③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以③错误; ④垂直于同一平面的两直线平行,由线面垂直的性质定理判断④正确; 故选:D. 点评: 本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法,线面平行的判定,解决时要紧紧 抓住空间两条直线的位置关系的三种情况,牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理. 8. (5 分)已知 log2a>log2b,则下列不等式一定成立的是() A. B.log2(a﹣b)>0 C. D.2
a﹣b

<1

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵log2a>log2b, ∴a>b>0. ∴ < ,

故选:C. 点评: 本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性,属于基础题.

9. (5 分)已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支

2

相交于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为() A. B. 5 C. D.4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,求得焦点,判断三角形 PF1Q 为等腰三角形,PQ⊥x 轴,令 x=2,求得|PQ|,再由勾股定理,求得|PF1|,即可求得周长. 解答: 解:双曲线 C: c= =2, ﹣y =1 的 a=
2

,b=1,

则 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 由于点 P 的横坐标为 2,则 PQ⊥x 轴, 令 x=2 则有 y = ﹣1= , 即 y= |PF1|= .即|PF2|= , = = . + +
2

则三角形 PF1Q 的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|= = .

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查直线与双曲线的关系,考查运算能力,属于基 础题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x+sinπx﹣3,则 的值为() A.4029 B.﹣4029 C.8058 D.﹣8058

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据式子特点,判断当 x1+x2=2 时,f(x1)+f(x2)=﹣4,即可得到结论. 解答: 解:若 x1+x2=2 时,即 x2=2﹣x1 时, 有 f(x1)+f(x2)=x1+sinπx1﹣3+2﹣x1+sin(2π﹣πx1)﹣3=2﹣6=﹣4, 即恒有 f(x1)+f(x2)=﹣4,且 f(1)=﹣2,

则 ( )] =2014×(﹣4)﹣2=﹣8058,

=2014[f(

)+f

故选:D 点评: 本题主要考查函数值的计算,根据条件得到函数取值的规律性是解决本题的关键. 二、 填空题: 本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题) 2 11. (5 分)不等式 x ﹣2x﹣3<0 的解集是(﹣1,3) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 将不等式左边的多项式分解因式,根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次 不等式组,求出不等式的解集即可得到原不等式的解集. 2 解答: 解:不等式 x ﹣2x﹣3<0, 因式分解得: (x﹣3) (x+1)<0, 可得: 或 ,

解得:﹣1<x<3, 则原不等式的解集为(﹣1,3) . 故答案为: (﹣1,3) 点评: 此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,是一道基本题型.

12. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组

,所表示的平面区域是 W,

从区域 W 中随机取点 M(x,y) ,则|OM|≤2 的概率是



考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 若 x,y∈R,则区域 W 的面积是 2×2=4.满足|OM|≤2 的点 M 构成的区域为{(x,y) 2 2 |﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x +y ≤4},求出面积,即可求出概率. 解答: 解:这是一个几何概率模型. 若 x,y∈R,则区域 W 的面积是 2×2=4. 满足|OM|≤2 的点 M 构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x +y ≤4},面积为 2[ ( 故|OM|≤2 的概率为 )]= . ,
2 2



故答案为:



点评: 本题考查几何概率问题,确定满足|OM|≤2 的点 M 构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1, 2 2 0≤y≤2,x +y ≤4},求出面积是关键. 13. (5 分)已知实数 x,y 满足 x +y ﹣xy=1,则 x+y 的最大值为 2. 考点: 专题: 分析: 解答: 基本不等式. 不等式的解法及应用. 利用基本不等式的性质即可得出. 2 2 解:∵x +y ﹣xy=1,
2 2 2

∴(x+y) =1+3xy
2



化为(x+y) ≤4, ∴x+y≤2, ∴x+y 的最大值为 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 二.选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (几何证明选讲选做题) 14. (5 分) (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB=9,直线 CE 与圆 O 相切于点 C,AD⊥CE 于 D,若 AD=1,设∠ABC=θ,则 sinθ= .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出. 解答: 解:∵直线 CE 与圆 O 相切于点 C,∴∠ACD=∠ABC. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB=90°. ∴△ACD∽△ABC,∴ ∴ 故答案为 . 点评: 熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解 题的关键. . ,∴AC =AB?AD=9×1=9,解得 AC=3.
2

(坐标系与参数方程选讲选做题) 15. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1:ρ=2sinθ 与 C2:ρ=2cosθ 的交点分别为 A、B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由 ρ=2sinθ 得 ρ =2ρsinθ,根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线 C1 的直角坐标 方程,同理求得曲线 C2 的直角坐标方程;线段 AB 的垂直平分线经过两圆的圆心,将圆的方 程化为标准方程,求得圆心坐标,即可得到线段 AB 的垂直平分线方程,最后再化成极坐标方 程即可. 解答: 解:由 ρ=2sinθ 得,ρ =2ρsinθ,即曲线 C1 的直角坐标方程为 x +y ﹣2y=0, 2 2 由 ρ=2cosθ 得曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y ﹣2x=0. 线段 AB 的垂直平分线经过两圆的圆心 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵圆 x +y ﹣2x=0 可化为: (x﹣1) +y =1,圆 x +y ﹣2y=0 可化为:x +(y﹣1) =1 ∴两圆的圆心分别为(1,0) , (0,1) ∴线段 AB 的垂直平分线方程为 x+y=1,极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1. 故答案为:ρsinθ+ρcosθ=1. 点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,考查两圆公共弦的垂直平分 线的方程,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sinx+acosx(x∈R) , (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 的值. 考点: 函数零点的判定定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由 是函数 f(x)的一个零点知 ;从而求 a 的 ,且 , ,求 sin(α+β) 是函数 f(x)的一个零点.
2 2 2 2

值并求函数的单调区间; (2)由 得 ;由 得

;从而根据角的范围求角的三角函数值,再由恒等变换求解. 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴a=﹣1; ∴f(x)=sinx﹣cosx 是函数 f(x)的一个零点, .

= = 由 得 . ,k∈Z, ,k∈Z, (k∈Z) .

∴函数 f(x)的单调递增区间是 (2)∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ . , . , . . , . . ,

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = = .

点评: 本题考查了三角函数的化简与变换,属于基础题. 17. (12 分)某位同学进行寒假社会实践活动,为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销 量之间的关系进行分析研究,他分别记录了 1 月 11 日至 1 月 15 日的白天平均气温 x(°C)与 该奶茶店的这种饮料销量 y(杯) ,得到如下数据: 日 期 1 月 11 日 1 月 12 日 1 月 13 日 1 月 14 日 1 月 15 日 平均气温 x(°C) 9 10 12 11 8 销量 y(杯) 23 25 30 26 21 (1)若从这五组数据中随机抽出 2 组,求抽出的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据的概率; (2)请根据所给五组数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 cq=2q﹣1.

(参考公式:

. )

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)用列举法求出“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据”的基本事件数以及从这 5 个数据中任取 2 个数组成的基本事件数,求出概率; (2)根据表中数据,计算平均数与线性相关系数,得出 y 关于 x 的线性回归方程. 解答: 解: (1)设“选取的 2 组数据恰好是相邻 2 天数据”为事件 A,…(1 分) 所有基本事件(m,n) (其中 m,n 为 1 月份的日期数)有: (11,12) , (11,13) , (11,14) , (11,15) , (12,13) , (12,14) , (12,15) , (13,14) , (13,15) , (14,15)共 10 种; …(3 分) 事件 A 包括的基本事件有 (11,12) , (12,13) , (13,14) , (14,15)共 4 种; …(5 分) ∴事件 A 的概率是 (2)根据表中数据,得; , ; …(8 分) ∴ ; …(6 分)

; ∴ ,…(10 分) . …(12 分)

∴y 关于 x 的线性回归方程是

点评: 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题,也考查了求线性回归方程的应用问题, 是基础题目. 18. (14 分)在如图所示的多面体 ABCDEF 中,DE⊥平面 ABCD,AD∥BC,平面 BCEF∩平 面 ADEF=EF,∠BAD=60°,AB=2,DE=EF=1. (Ⅰ)求证:BC∥EF; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣DEF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由 AD∥BC,得 BC∥平面 ADEF,由此能证明 BC∥EF. (Ⅱ)在平面 ABCD 内作 BH⊥AD 于点 H,由已知得 DE⊥BH,BH⊥平面 ADEF,由此能求 出三棱锥 B﹣DEF 的体积. 解答: 解: (Ⅰ)因为 AD∥BC,AD?平面 ADEF,BC?平面 ADEF, 所以 BC∥平面 ADEF,…3 分 又 BC?平面 BCEF,平面 BCEF∩平面 ADEF=EF, 所以 BC∥EF.…6 分 (Ⅱ)在平面 ABCD 内作 BH⊥AD 于点 H, 因为 DE⊥平面 ABCD,BH?平面 ABCD,所以 DE⊥BH, 又 AD、DE?平面 ADEF,AD∩DE=D, 所以 BH⊥平面 ADEF, 所以 BH 是三棱锥 B﹣DEF 的高.…10 分 在直角三角形 ABH 中,∠BAD=60,AB=2,所以 , 因为 DE⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 DE⊥AD, 又由(Ⅰ)知,BC∥EF,且 AD∥BC, 所以 AD∥EF,所以 DE⊥EF, 所以三棱锥 B﹣DEF 的体积: .…13 分. 点评: 本题考查两直线平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,解题时要认真审题,注意 空间思维能力的培养.

19. (14 分)已知首项为 ,公比不等于 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且﹣2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=n|an|,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn+bn<6. 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)由﹣2S2,S3,4S4 成等差数列得到 2S3=﹣2S2+4S4,转化为 a3,a4 的关系即可 求得公比, 则等比数列的通项公式可求. 或是把 2S3=﹣2S2+4S4 代入等比数列的前 n 项和公式 求公比,然后由等比数列的通项公式得答案; (2) 把数列{an}的通项公式代入 bn=n|an|, 化简后由错位相减法求得数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 即可证得 Tn+bn<6. 解答: (1)解:由题意得 2S3=﹣2S2+4S4, 即(S4﹣S2)+(S4﹣S3)=0, 即(a4+a3)+a4=0. ∴ .

∴公比 则

. .

另解:由题意得 2S3=﹣2S2+4S4,q≠1, ∴ 化简得 2q ﹣q﹣1=0,解得 ∴ (2)证明: ∴ ; , ,①
2

. ,

,②

①﹣②得,

=

=



∴ ∴

. .

点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等比数列的前 n 项和,训练了错位相减法求数 列的和,是中档题.

20. (14 分)已知椭圆 C:
2 2 2 2

的离心率为

,且经过点(0,1) .圆 C1:

x +y =a +b . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,且 l 与圆 C1 相交于 A,B 两点,问 =0 是否成立?请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆经过的点求出 b,利用离心率求解 a,然后求解椭圆 C 的方程. (2)解法 1:求出圆 C1 的圆心为原点 O,利用直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,联立 方程组,通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可. 解法 2:求出圆 C1 的圆心,联立直线 l 与椭圆 C 的方程组成方程组,有且只有一组解,求出 M,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 N(xN,yN) ,通过若 xN=xM,推出矛盾, 得到结论. 解答: (本小题满分 14 分) (1)解:∵椭圆 ∴b =1.…(1 分) ∵ ∴a =4. …(3 分) ∴椭圆 C 的方程为 .…( 4 分)
2 2 2 2

过点(0,1) ,

,…(2 分)

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x +y =5,其圆心为原点 O.…(5 分) ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,

∴方程组
2

(*)
2

有且只有一组解.
2

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0.…(6 分) 2 2 2 2 2 从而△ =(8km) ﹣4(1+4k ) (4m ﹣4)=0,化简得 m =1+4k .①…(7 分) , .…(9 分) .…(10 分)

∴点 M 的坐标为 由于 k≠0,结合①式知 m≠0,

∴kOM×k=

.…(11 分)

∴OM 与 AB 不垂直.…(12 分) ∴点 M 不是线段 AB 的中点.…(13 分) ∴ =0 不成立.…(14 分)
2 2

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x +y =5,其圆心为原点 O.…(5 分) ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,

∴方程组
2

(*)
2

有且只有一组解.
2

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0. …(6 分) 2 2 2 2 2 从而△ =(8km) ﹣4(1+4k ) (4m ﹣4)=0,化简得 m =1+4k .①…(7 分) ,…(8 分) 由于 k≠0,结合①式知 m≠0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 N(xN,yN) , 由 消去 y,得(1+k )x +2kmx+m ﹣5=0.…(9 分)
2 2 2



.…(10 分) ,化简得 3=0,矛盾.…(11 分)

若 xN=xM,得

∴点 N 与点 M 不重合.…(12 分) ∴点 M 不是线段 AB 的中点.…(13 分) ∴ =0 不成立.…(14 分)

点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查分析问 题解决问题的能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ax ﹣blnx 在点(1,f(1) )处的切线为 y=1. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; 2 (Ⅱ)是否存在实数 m,当 x∈(0,1]时,函数 g(x)=f(x)﹣x +m(x﹣1)的最小值为 0, 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若 0<x1<x2,求证: <2x2.
2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数,由 f(1)=1 且 f′(1)=0 联立求得 a,b 的值; 2 (Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的 f(x)的解析式代入 g(x)=f(x)﹣x +m(x﹣1) ,求其导函数, 然后对 m 分类分析导函数的符号, 得到原函数的单调性, 求出最小值. 特别当 m>2 时, g (x) 在 上单调递减,在 上单调递增,求出 g(x)的最小值小于 0.则 m 的取

值范围可求; (Ⅲ)由(II)知,m=1 时,g(x)=x﹣1﹣2lnx 在(0,1)上单调递减,得到 x﹣1>2lnx, 由 0<x1<x2 得到 0< ,代入 x﹣1>2lnx 证得答案.
2

解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=ax ﹣blnx,得: , ∵函数 f(x)=ax ﹣blnx 在点(1,f(1) )处的切线为 y=1, ∴ ,解得 a=1,b=2;
2 2

(II)由(Ⅰ)知,f(x)=x ﹣2lnx, 2 ∴g(x)=f(x)﹣x +m(x﹣1)=m(x﹣1)﹣2lnx,x∈(0,1], ∴ ,

①当 m≤0 时,g′(x)<0, ∴g(x)在(0,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=0. ②当 0<m≤2 时, ∴g(x)在(0,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=0. ③当 m>2 时,g′(x)<0 在 ∴g(x)在 ∴ 上单调递减,在 , 上恒成立,g′(x)>0 在 上单调递增. 上恒成立, ,

∴g(x)min≠0. 综上所述,存在 m 满足题意,其范围为(﹣∞,2]; (III)证明:由(II)知,m=1 时,g(x)=x﹣1﹣2lnx 在(0,1)上单调递减, ∴x∈(0,1)时,g(x)>g(1)=0, 即 x﹣1>2lnx.

∵0<x1<x2, ∴0< ,





∴ ∵lnx2>lnx1, ∴ .



点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程;考查函数、导数、不等式等基本 知识;考查运算求解能力、推理论证能力;考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思 想、数形结合思想.是 2015 届高考试卷中的压轴题.


推荐相关:

广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

广东省广州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合...


广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

广东省广州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合...


广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷(文科)

广东省广州市增城市 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) =(i ...


广东省广州市增城市2015届高三上学期期中数学试卷(文科)

广东省广州市增城市 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分) =(i ...


广东省广州市海珠区2015届高三上学期8月摸底数学试卷(文科)

广东省广州市海珠区2015届高三上学期8月摸底数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省广州市海珠区 2015 届高三上学期 8 月摸底数学试卷 (文科)一、选择...


广东省广州六中2015届高三上学期9月月考数学试卷(文科)

广东省广州六中2015届高三上学期9月月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省广州六中 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷(文科)一、选择题(共 ...


广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷(文科)

广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)一、选择题:本大题...


广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷(文科)

广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)一、选择题:本大题...


广东省广州六中2015届高三上学期9月月考数学试卷(文科)

广东省广州六中2015届高三上学期9月月考数学试卷(文科)_高中教育_教育专区。广东省广州六中 2015 届高三上学期 9 月月考数学试卷(文科)一、选择题(共 10 分...


广东省广州六中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)

广东省广州六中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省广州六中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文科)一、选择题(本...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com