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必修5第3章不等式之不等式性质与一元二次不等式160513


不等式及性质
考向一:不等式的性质与比较大小(作差法、作商法)
【例】设 a ?

3 ? 2 2 , b ? 2 ? 7 ,比较 a, b 的大小

【解析】 a ? 3 ? 2 2 ? a ? 11 ? 4 6 , b ? 2 ? 7 ?b2 ? 11 ? 4 7
2

? a 2 ? b2 ? a ? b
【例】若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中不能成立的是( A. )
2 2

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a?b a

C. | a |?| b |

D. a ? b

【解析】∵ a ? b ? 0 ,∴ ? a ? ?b ? 0 。 由

1 1 1 1 ? , ? ,∴(A)成立。 ?a ?b a b

由 a ? b ? 0 , | a |?| b | ,∴(C)成立。
2 2 2 2 由 ? a ? ?b ? 0 , (?a) ? (?b) , a ? b ,∴(D)成立。

∵a ? b ? 0,a ? b ? 0 ,a ? a ?b ? 0,? a ? b ? a ? 0 ,

1 1 1 1 ? , ? ,∴(B)不成立。 ? a ? ( a ? b) a a ? b
【例】设 M ? 2a(a ? 2), N ? (a ?1)( a ? 3) ,则有( A. M ? N B. M ? N C. M ? N ) D. M ? N

【解析】

M ? N ? 2a ? a ? 2? ? ? a ?1?? a ? 3?
2

? 2a 2 ? 4a ? ? a 2 ? 2a ? 3 ?

? a2 ? 2a ? 3

? ? a ? 1? ? 2 ? 0 恒成立,所以 M ? N .故 A 正确.
【例】设 1 ? ( 1 )b ? ( 1 ) a ? 1 ,那么 (
2 2 2
a b a A. a ? a ? b a a b B. a ? b ? a


b a a C. a ? a ? b b a a D. a ? b ? a

1 x 0 【解析】因为 ( ) 函数为单调递减函数,且 ( ) 等于 1( ) 等于 0.5 ,则可以看出

1 2

1 2

1 2

0<a<b<1 对于小于 1 大于 0 的实数 它的幂次方越大则结果越小 ,所以 b 结果最大
1

a

【练 1】判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1) 若a ? b, 则ac2<bc2 ; (2) 若a>b,则 (3) 若a>b,则

a b > 2 ,则 a ? b ? 0 ; 2 c c

1 1 < (4) 若a>b、c>d,则ac>bd a b 【练 2】设 a > 1 > b > - 1 ,则下列不等式中恒成立的是( ) 1 1 1 1 A. < B. > C. a > b 2 D. a 2 > 2b a b a b
【练 3】已知 a ? b ? 0, 且 a ? 0, 则 ( A. a 2 ? ?ab ? b 2 B. b 2 ? ?ab ? a 2 ) C. a 2 ? b 2 ? ?ab D. ? ab ? b 2 ? a 2 )
b

【练 4】若 a、b 是任意实数,且 a ? b ,则下列不等式成立的是(
2 2 A. a ? b

B.

b ?1 a

C. lg ? a- b ? ? 0

D. ? ? ? ? ?

?1? ? 3?

a

?1? ? 3?

【练 5】 设 a ? 30.5 , b ? 0.53 , c ? log0.5 3 ,则 a、b、c 的大小关系 A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. c ? a ? b

【解析 1】 (1)错误当 c ? 0 时不成立。 (2) 正确∵ c ? 0 且 c ? 0 , 在
2 2

a b ? 2 两边同乘以 c 2 , 不等式方向不变。 ∴a ? b 。 2 c c

1 1 ? ,成立条件是 ab ? 0 。 a b (4)错误 a ? b , c ? d ? ac ? bd ,当 a , b , c , d 均为正数时成立。 1 1 【解析 2】由 a > 1 > b > - 1 取 a ? 2, b ? , a ? 2, b ? ? 代入不等式中验证可知只有 2 2
(3)错误 a ? b ?

a > b2 成立
2 2 【解析 3】 a ? b ? 0, 且 a ? 0, ?b ? 0, a ? b ,所以有 a ? ?ab ? b 成立

2 2 【解析 4】 A 中例举反例, 令 a = 1, b = - 2 , 则a <b , A 不成立; B 中令 a = - 1, b = - 2 ,



b = 2 ,B 不成立;C 中令 a = 1, b = 0.9 ,则 lg ( a - b) = lg0.1 = - 1 ,C 不成立;根据 a

指数函数的单调性可知 D 正确; 【解析 5】在同一直角坐标系中画出函数: y ? 3x , y ? 0.5x , y ? log0.5 x 的图像(略) , 由图像可知 c ? b ? a .故选 B. 基本性质 (1)对称性或反身性:a>b ? b<a; (2)传递性:若 a>b,b>c,则 a>c; (3)可加性:a>b ? a+c>b+c,此法则又称为移项法则;

2

(4)可乘性:a>b,当 c>0 时,ac>bc;当 c<0 时,ac<bc。 (5)同向相加:若 a>b,c>d,则 a+c>b+d; (6)正数同向相乘:若 a>b>0,c>d>0,则 ac>bd。 (7)乘方法则:若 a>b>0,n∈N+,则 a n ? b n ;
1 1

(8)开方法则:若 a>b>0,n∈N+,则 a n ? b n ;

(9)倒数法则:若 ab>0,a>b,则

1 1 ? a b

考向二:二次不等式与解法
【例】已知函数 f ( x) ? ? ( ) B. (??,1] C. (??, 2 ?1] D. [? 2 ?1, 2 ?1]

?? x ? 1( x ? 0) ,解不等式 x ? ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 1 的解集为 ? x ? 1( x ? 0)

A. [?1, 2 ?1]

【 解 析 】 当 x ? ?1 时 , x ? 1 ? 0 , 此 时 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? x , 不 等 式

x ? ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 1 可化为 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?[? 2 ?1, 2 ?1] .同理,当

x ? ?1 时, 化简不等式可解得 x ? (??, ?1) . 综上所述, x ?[? 2 ?1, 2 ?1] ? (??, ?1)
即 x ? (??, 2 ?1] . 【练 1】不等式 4x2﹣4x+1≥0 的解集为( ) A.{ } B.{x|x } C.R D.? )

2 【练 2】不等式 x ? 2 x ? 5 ? 2 x 的解集是(

A. x | x ? 5或x ? ?1 C. ?x | ?1 ? x ? 5?

?

?

B. x | x ? 5或x ? ?1 D. ?x | ?1 ? x ? 5?

?

?

2 【练 3】不等式 9 x ? 6 x ? 1 ? 0 的解集是(

) C. ? D. ? x x ? ? ?

A. ? x x ? ? ?

? ?

1? 3?

B. ? x ?

? ?

1 1? ?x? ? 3 3?

? ?

1? 3?

【练 4】已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > 为( )

1 2

? ,则 f (10x )>0 的解集

A. ?x |x<-1或x>lg2

? B. ?x |-1<x<lg2 ? C. ?x |x>-lg2 ?
3

D. ?x |x<-lg2

?

【解析 1】不等式 4x2﹣4x+1≥0 可化为(2x﹣1)2≥0, 解得 x∈R;∴该不等式的解集为 R. 【 解 析 2 】 x ? 2x ? 5 ? 2x ? x ? 4x ? 5 ? 0 ? ? x ? 5?? x ?1? ? 0 ? x ? ?1 或
2 2

x ? 5 .故 B 正确.
9 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ? ? 3 x ? 1? ? 0 ? x ? ? 【解析 3】
2

1 1? ? , 所以不等式的解集为 ? x x ? ? ? 3 3? ? 1 x >? 所 以 f ? x ? ? 0 的 解 集 为 2

【 解 析 4 】 f (x)<0 的 解 集 为

-1 ? x | x< 或

1 1 1? ? x ? x | ?1 ? x ? ? ??1 ? 10 ? ? x ? ln ? x ? ? ln 2 ,解集为 ?x |x<-lg2 2 2 2? ?

?

考向三:分式不等式及高次不等式解法
【例】解不等式:

x ?3 ? 0 x?7

【解析 1】化为两个不等式组来解: ∵

?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 ? 0 x?3 ?0 ?? 或? ? x∈φ 或 ? 7 ? x ? 3 ? ? 7 ? x ? 3 , x?7 ?x ? 7 ? 0 ?x ? 7 ? 0

∴原不等式的解集是 ?x | ?7 ? x ? 3? . 【解析 2】化为二次不等式来解: ∵

?( x ? 3)(x ? 7) ? 0 x?3 ?0 ?? ? ?7 ? x ? 3, x?7 x ? 7 ? 0 ?

∴原不等式的解集是 ?x | ?7 ? x ? 3?

序轴标根法
【例】解不等式: ( x ? 2) ( x ? 3) ( x ? 1)<0 (x-2) (x-3) (x+1)<0
2 3
2 3

【解析】 ①检查各因式中 x 的符号均正; ②求得相应方程的根为:-1,2,3(注意:2 是二重根,3 是三重根) ; ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始) ,如下图:

④∴原不等式的解集为:{x|-1<x<2 或 2<x<3}.

4

【练 1】 与不等式 A. ( x ? 3)(2 ? x) ? 0 【练 2】不等式 x ? A. (?1, 0) ? (1, ??)

x ?3 ? 0同解的不等式是 2? x
B. 0<x ? 2 ? 1 C. )

2? x ?0 x?3

D. ( x ? 3)(2 ? x) ? 0

2 ? 2 的解集为( x ?1

B. (??, ?1) ? (0,1) C. (?1,0) ? (0,1)
2

D. (??, ?1) ? (1, ??)

【练 3】解不等式:(x-3)(x+1)(x +4x+4) ? 0.

【解析 1】略 【解析 2】 由x?

x2 ? x 2 2 ? 2得 x ?2? ? 0 ,即 ? 0 ,所以 x( x ? 1)( x ? 1) ? 0 , x ?1 x ?1 x ?1
2

解得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 ,故选 A. 【解析 3】①将原不等式化为:(x-3)(x+1)(x+2) ? 0; ②求得相应方程的根为:-2(二重) ,-1,3; ③在数轴上表示各根并穿线,如图:

④原不等式的解集是{x|-1 ? x ? 3 或 x=-2}.

考向四:三个二次关系
2 【 例 】 若 关 于 x 的 不 等 式 ax ? bx? c?0 的 解 集 为 ( 1,2 ) ,则关于 x 不等式
2 a ? c( x ? x ?1) ? bx ? 0 的解集为



【解析】由题意可得 ?

b c ? 3, ? 2 , 令 a ? ?1 , 所 以 b ? 3,c ? ? 2 , 代 入 不 等 式 得 a a 1 1 2 x 2 ? 5x ? 3 ? 0 ? x ? 3 或 x ? ? ,不等式解集为 (??, ? ] ? [3, ??) 2 2
2

【例】若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则实数 a 取值范围 ( ) B. ?2 ? a ? 2 C. ?2 ? a ? 2 D. a ? ?2

A. a ? 2

5

【解析】当 a ? 2 时 ?4 ? 0 恒成立;当 a ? 2 时需满足 ?

?a ? 2 ? 0 ?? 2 ? a ? 2 ,综上 ? ??0

?2 ? a ? 2
【例】已知 x ? ?? ?,1? ,不等式 1 ? 2 x ? a ? a 2 ? 4 x ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. ? ? 2, ?

?

?

? ?

1? 4?

B. ? ? ?, ? 4

? ?

1? ?

C. ? ?

? 1 3? , ? ? 2 2?

D. ?? ?,6?

【解析】设 t ? 2x ,则

?1? 1 1 ? t ? (a ? a )t ? 0 ? (a ? a )t ? ?t ? 1 ? (a ? a)t ? t ? 1 ? (a ? a) ? ? ? ? ?t ? t
2 2 2 2 2 2 2

2

1 ?1 ? ?1? 1 恒成立, 由 x ? (??,1] 得 t ? (0, 2] ? ? ? , ?? ? , 此时问题可转化为求 ? ? ? 的最 t ?2 ? ?t ? t
小值问题, 因为 f ? ? ? ? ? ? 开口向上, 对称轴为 ? ?

2

?1? ?1? ?t ? ?t ?

2

1 t

1 t

1 , 所以 2

?1? ?1 ? f ? ? 在 ? , ?? ? ? t ? ?2 ?

上单调递增,故 f ? ?

?1? ?1? 3 ? f ? ? ? ,由 ? t ?min ?2? 4

a2 ? a ?

3 1 3? ? ? 4a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ? ? 2a ? 1?? 2a ? 3? ? 0 ? ?a | ? ? a ? ? , 4 2 2? ?

【练 1】 若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} , 则 a ? b ? _________. 【练 2】若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3x ? a ? 0 的解集为 ? m,1? ,则实数 m ? .

2 x x ? -2或x ? -1 【练 3】若关于 x 的不等式 ax ? bx ? c <0 的解集是 ,则关于 x 的不
2 等式 cx ? bx ? a >0 的解集是___________.

?

?

2 【练 4】 已知关于 x 的不等式 x ? 4 3x cos? ? 2 ? 0 与 2 x ? 4 x sin ? ? 1 ? 0 的解集,

2

分别是 ( a, b) 和 ( , ) ,且 ? ? ( A.

5 ? 6

1 1 b a 2 B. ? 3

?
2

, ? ) ,则 ? 的值是( 3 ? 4
D.

).

C.

7 ?. 12

6

【解析 1】 根据关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} , 则 ?1 ? 2 ? ?a ,

? ?1? ? 2 ? b ,则 a ? ?1 , b ? ?2 ,故 a ? b ? ?3 .
2 【 解 析 2 】 由 题 意 得 : 1 为 2 x ? 3x ? a ? 0 的 根 , 所 以 a ? 1 , 从 而

2x2 ? 3x ? 1 ? 0 ?

1 1 ? x ?1? m ? 2 2

【解析 3】根据题意,由于关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? c <0 的解集是 x x ? -2或x ? -1 ,

?

?

? b ? ? ?3 ? ? a ? b ? 3a, c ? 2a , 那 么 可 知 可 知 a<0 , 同 时 根 据 韦 达 定 理 可 知 , ? c ? ?2 ? ?a

cx2 ? bx ? a ? 2ax2 ? 3ax ? a ? a(2x2 ? 3x ? 1) ? 0 , 因 为 a<0 , 那 么 可 知

? 1? ? 1? 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,可知解集为 ? x ?1 ? x< ? ? ,故答案为 ? x ?1 ? x< ? ? . 2? 2? ? ?
【 解 析 4 】 由 题 意 可 知 a , b 为 x ? 4 3x cos ? ? 2 ? 0 的 两 个 根 且
2

1 1 , 为 b a
可 知

2 x2 ? 4 x sin ? ? 1 ? 0























1 1 a ? b ? 4 3 cos ? , a ? b ? 2, ? ? ?2sin ? , 又 b a

1 1 a ? b 4 3 cos ? 所以 2 3 cos ? ? ?2sin ? , 则t a n ? ? ?3 , ? ? ? ? 2 3 cos ? , b a ab 2
2 , ? ) ,所以 ? ? ? ,故选 B. 2 3 考向五:含参二次不等式
又? ? ( 【例】设 a ? R ,解关于 x 的不等式 ax2 ? (1 ? 2a) x ? 2 ? 0

?

【解析】(1)若 a ? 0 ,则不等式化为 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 (2)若 a ? 0 ,则方程的两根分别为 2 和 ? ①当 a ? ?

1 a

1 1 时,解不等式得 ? ? x ? 2 2 a 1 ②当 a ? ? 时,不等式的解集为 ? 2 1 1 ③当 ? ? a ? 0 时,解不等式得 2 ? x ? ? 2 a 1 ④当 a ? 0 时,解不等式得 x ? ? 或 x ? 2 a
7

综上所述,当 a ? ? 当a ? ? 当?

1 1 时,不等式的解集为 ?x ? ? x ? 2 ? ; 2 a

1 时,不等式的解集为 ? ; 2

1 1 ? a ? 0 时,不等式的解集为 ?x 2 ? x ? ? 2 a

?;

当 a ? 0 时,不等式的解集为 x x ? 2 当 a ? 0 时,不等式的解集为 x x ? ? 【例】已知 f ( x) ? ax2 ? x ? a, a ? R .

?

?;
1 x?2 a

?

?

(1)若不等式 f ( x) ? (a ? 1) x 2 ? (2a ? 1) x ? 3a ? 1对任意实数 x ? [?1,1] 恒成立,求 实数 a 的取值范围; (2)若 a ? 0 ,解不等式 f ( x) ? 1 .

2 【解析】 (1)原不等式等价于 x ? 2ax ? 2a ? 1 ? 0 对任意的实数 x ? [?1,1] 恒成立,

设 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ? 1 ? ( x ? a) 2 ? a 2 ? 2a ? 1 ①当 a ? ?1 时, g min ( x) ? g (?1) ? 1 ? 2a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 a ? ? ;
2 ②当 ? 1 ? a ? 1 时, g min ( x) ? g (a) ? ?a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 1 ? 2 ? a ? 1 ;

③当 a ? 1 时, g min ( x) ? g (1) ? 1 ? 2a ? 2a ? 1 ? 0 ,得 a ? 1 ; 综上 a ? 1 ? 2
2 (2) ax ? x ? a ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 1)(ax ? a ? 1) ? 0

a ?1 a ? 1 2a ? 1 ) ? 0 ,因为 1 ? ( ? )? a a a 1 a ?1 a ?1 所以当 ? ? a ? 0 时, 1 ? ? , 解集为{x| 1 ? x ? ? } ; 2 a a 1 2 当 a ? ? 时, ( x ? 1) ? 0 ,解集为 ? ; 2 1 a ?1 a ?1 ? x ? 1} 当 a ? ? 时, 1 ? ? , 解集为{x| ? 2 a a
因为 a ? 0 ,所以 ( x ? 1)( x ?

8

【练 1】解关于 x 的不等式 【练 2】若关于 x 的不等式 A. ( ?

( a ? 2) x ? 4 ? 2 (其中 a ? 0 ). x ?1
在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围为

23 ,?? ) 5

B. [ ?
2

23 , 1] 5

C.(1,+∞)

D. (??,?1)

【练 3】关于 x 的不等式 ax ? x ? 1 ? 3a ? 0 的解集为 ?? ?, ? ? ? ,则实数 a 的取值范 围是________. 【练 4】已知常数 a ? R ,解关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 x ? a ? 0. 【练 5】已知关于 x 的不等式 x ? (a ? 3a ? 2) x ? 3a (a ? 2) ? 0(a ? R ) .
2 2 2

(1)解该不等式; (2)定义区间 (m, n) 的长度为 d ? n ? m ,若 a ? [0, 4] ,求该不等式解集表示的区间 长度的最大值.

【解析 1】原不等式可化为

(a ? 2) x ? 4 ax ? 2 ? 2 ? 0 ,即 ?0 x ?1 x ?1 2 0 ? a ? 2 时,解集为 {x |1 ? x ? } ; a a ? 2 时,解集为 ? ; 2 a ? 2 时,解集为 {x | ? x ? 1} a

2 【解析 2 】结合不等式 x ? ax ? 2>0 所对应的二次函数的图象,列式求出不等式

x 2 ? ax ? 2>0 在区间[1, 5]上无解的 a 的范围, 由补集思想得到有解的实数 a 的范围.
设函数 ( 若关于 x 的不等式 x +ax-2>0 在区间[1,5]上无解, f x) ? x ? ax ? 2,
2
2

? f ?1? ? 0 ? a ? 1 ? 0 23 ? 2 ?? ,? ? 2 ,? a ? ? . 所以使的关于 x 的不等式 x ? ax ? 2>0 5 ? ? f ? 5 ? ? 0 ?5 ? 5a ? 2 ? 0
(? 在区间[1,5]上有解的 a 的范围是
【解析 3】由题意,当 a

23 , ? ?). 故选 A. 5

? 0 时,原不等式变为 ? | x ? 1|? 0 ,其解集为 x ? ?1 ,不满

足题意 . 当

2 x ? ?1 时,令 f ( x) ? ax ? x? 3 a?1,其对称轴 x ?

1 ? 0 ,要 使 2a

?a ? 0 ax2 ? x ? 3a ? 1 ? 0 对 x ? [?1, ??) 恒 成 立 , 需 ? ,解得 ?? ? 1 ? 4a (3a ? 1) ? 0
9

a?

1 1 2 ;当 x ? ?1 时,令 f ( x) ? ax ? x ? 3a ? 1,其对称轴 x ? ? ? 0 ,要使 2 2a


ax2 ? x ? 3a ? 1 ? 0
a?

?a ? 0 x ? (??, ?1) 恒 成 立 , 需 ? 解得 ?? ? 1 ? 4a (3a ? 1) ? 0

1 1 ,综上, a ? . 6 2

【解析 4】 (1)若 a ? 0 ,则原不等式为 ?2 x ? 0 ,? x ? 0 故解集为 ?x | x ? 0? . (2)若 a ? 0, ? ? 4 ? 4a2 ① 当 ? ? 0 , 即 0 ? a ? 1 时 , 方 程 ax 2 ? 2 x ? a ? 0 的 两 根 为

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , x1 ? , x2 ? a a
2 ? 1 ? 1 ? a2 ? 1? 1? a ?x? ∴原不等式的解集为 ? x | a a ? ?

? ? ?. ? ?

②当 ? ? 0 时,即 a ? 1 时,原不等式的争集为 ? . ③当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时,原不等式的争集为 ? . (3)若 a ? 0, ? ? 4 ? 4a2 . ①当 ? ? 0 , 即 ?1 ? a ? 0 , 原不等式的解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? a a

? ? ?. ? ?

2 ②当 ? ? 0 时, a ? ?1 时,原不等式化为 ( x ? 1) ? 0 ,

∴原不等式的解集为 ?x | x ? R且x ? ?1 ?. ③当 ? ? 0 ,即 a ? ?1 时,原不等式的解集为 R 综上所述,当 a ? 1 时,原不等式的解集为 ? ; 当原不等式的解集为 ? x |

? ? ? ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? a a

? ? ?; ? ?

当 a ? 0 ,原不等式为 ?x | x ? 0? ; 当 ?1 ? a ? 0 时,原不等式的解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x? a a

? ? ; ?. ? ?

当 ? ? 0 时, a ? ?1 时,原不等式的解集为 ?x | x ? R且x ? ?1 ?. 当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 R . 【解析 5】 (1)原不等式可化为 [ x ? (a ? 2)]( x ? 3a ) ? 0 ,
2

10

当 a 2 ? 2 ? 3a ,即 1 ? a ? 2 时, 原不等式的解为 a 2 ? 2 ? x ? 3a ; 当 a 2 ? 2=3a ,即 a ? 1 或 a ? 2 时,原不等式的解集为 ? ; 当 a 2 ? 2 ? 3a ,即 a ? 1 或 a ? 2 时, 原不等式的解为 3a ? x ? a 2 ? 2 . 综上所述,当 1 ? a ? 2 时,原不等式的解为 a 2 ? 2 ? x ? 3a , 当 a ? 1 或 a ? 2 时,原不等式的解集为 ? , 当 a ? 1 或 a ? 2 时,原不等式的解为 3a ? x ? a 2 ? 2 . (2)显然当 a ? 1 或 a ? 2 时,该不等式解集表示的区间长度不可能最大. 当 a ? 1 且 a ? 2 时, d ? a 2 ? 2 ? 3a = (a ? ) 2 ?
2 设 t ? a ? 2 ? 3a , a ? [0, 4] ,

3 2

1 , a ? [0, 4] . 4

则当 a ? 0 时, t ? 2 ,当 a ? ∴当 a ? 4 时, dmax ? 6 .

3 1 时, t ? ? ,当 a ? 4 时, t ? 6 , 2 4

补充:主元法
【例】 (1)设不等式 2x﹣1>m(x ﹣1)对满足﹣2≤m≤2 的一切实数 m 的取值都成立, 求 x 的取值范围; 2 (2)是否存在 m 使得不等式 2x﹣1>m(x ﹣1)对满足﹣2≤x≤2 的实数 x 的取值都成 立.
2

【解析】 (1)令 f(m)=2x﹣1﹣m(x ﹣1)=(1﹣x )m+2x﹣1,可看成是一条直线, 2 且使|m|≤2 的一切实数都有 2x﹣1>m(x ﹣1)成立.

2

2

所以,

,即

,即

所以,


2 2

(2)令 f(x)=2x﹣1﹣m(x ﹣1)=﹣mx +2x+(m﹣1) ,使|x|≤2 的一切实数都有 2x 2 ﹣1>m(x ﹣1)成立.

11

当 m=0 时,f(x)=2x﹣1 在 当 m≠0 时,f(x)只需满足下式:

时,f(x)≥0. (不满足题意)









解之得结果为空集.故没有 m 满足题意.

12


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