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等比数列前n项和说课稿


《等比数列前 n 项和》说课稿
各位老师,大家上午好!我叫吴雪妮,今天我说课的内容《等比数列 前 n 项和》 。下面我将从教材分析、教学目标分析、教学重点难点分 析、教法与学法分析、教学过程五个方面进行说明。

一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看 《等比数列的前 n 项和》 是高中数学北师大版必修 5 第一章第三节的 内容。本节分

为两课时,本节课为第一课时。这一节是数列这一章中 的一个重要内容, 它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用, 如储蓄、 分期付款的有关计算等等, 而且公式推导过程中所用的错位相减法和 类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后 学习中必备的数学素养. 从学生的认知角度来看 学生不容易理解公式推导过程中的错位相减法, . 认知的不利因素有: 本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同, 这 对学生的思维定势是一个突破,另外,对于 q=1 这一特殊情况,学生 往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 2.学情分析 教学对象是分层后的第二单元的 C1 层的学生, 具有一定的基础知识, 但还缺乏分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成,但 由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,分析问 题片面、不够严谨.在教学过程中注重引导学生的自主探究意识,培

养学生分析问题的能力、动手解决问题的能力。

3 教法分析
对公式的教学,要使学生掌握与理解公式的来龙去脉,掌握公式的推 导方法, 理解公式的成立条件, 充分体现公式之间的联系. 在教学中, 我采用“问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探 索规律、总结规律、应用规律四个阶段.

4.学法分析
由于学生的动手能力较差,所以每讲一例,进行训练。学法上我用的 是观察法、分析法、探究式学习方法、反馈式练习法。 5.重点、难点分析 本节课的重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用;难点是公式 的推导方法及公式应用中 q 与 1 的关系. 二、目标分析 知识与技能目标 理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此基 础上能初步应用公式解决与之有关的问题. 过程与方法目标 通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与 转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻 辑思维能力和逆向思维的能力. 情感、态度与价值观 通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物

之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 三、过程分析 知识回顾、创设情境,提出问题、师生互动,探究问题、类比联想, 解决问题、例题解析,公式运用、变式训练,深化认识、总结归纳。 教学过程:
一、复习回顾

首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比 等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比 数列的公比。 公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即: { an }成等比数列
a n ?1 ? a n =q( n ? N ? ,q≠0)

“ an ≠0”是数列{ an }成等比数列的必要非充分条件(前提条件) 。 2. 等比数列的通项公式:
an ? a1 ? qn?1 (a1, q ? 0) ,

二、创设情境,提出问题 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔, 舍罕王为了表 彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏. 国王问大臣: “你想得到什么样的奖赏?” , 这位聪明的大臣达依尔说: “陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒,在第二个格 子内放上 2 颗麦粒,在第三个格子内放上 4 颗麦粒,在第四个格子内

放上 8 颗麦粒,?,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数 的 2 倍的规律,放满棋盘的 64 个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人 吧” .国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给 达依尔麦粒.计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个 格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第四个格内放 8 粒,??,国王很 快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他 对这位大臣的奖赏承诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 各个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨?班? 达依尔所要的奖赏就是这个数列的前 64 项和. 三、师生互动,探究问题 探究一、如何求数列 1,2,4,?262,263 的各项和
王新敞
奎屯 新疆

以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:
S64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8? ? 262 ? 263



①式两边同乘以公比 2: 2 S64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16?? 263 ? 264 由②—①可得: S64 ? 264 ? 1
这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ,是研究数列 求和 国王承诺奖赏的麦粒数为
S64 ? 1(1 ? 264 ) ? 264 ? 1 ? 1.84 ? 1019 1? 2 ,



据测量,一般麦子的千粒重约为 40g ,则这些麦子的总质量约为

7.36× 10 g,约合 7360 多亿吨.我国 2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢! 的一个重要方法
王新敞
奎屯 新疆

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四、类比联想,解决问题 探究二、设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?,求等比数列的前 n 项和 Sn .

当 q=1 时,数列{ an }是一个非零常数列。

sn ? na1
当 q≠1 时, s ? a ? a ? a ??? a
n 1 2 3 n

因为 所以

an ? a1 ? q n?1
sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ??? a1qn?1 ?

?式两边同乘以公比 q,可得:
qsn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ??a1qn ?

?-?可得: ?1? q?sn ? a1 ? a1qn

当 q≠1 时

Sn ?

a ? an q a1 (1 ? q n ) 或 Sn ? 1 ( an 1? q 1? q

? a1 ? q n?1 )

—— 错位相减法 归纳等比数列前 n 项和公式:

等比数列的前 n 项和公式: 当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式②.

五、例题解析,公式运用 例 1.写出等比数列 1,?3,9,?27,?的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项 的和. 解 因为
Sn ?

a1 ? 1, q ?

?3 ? ?3 1 ,所以等比数列的前 n 项和公式为

1 ? [1 ? (?3) n ] 1 ? (?3) n ? 1 ? (?3) 4





S8 ?

1 ? (?3)8 ? ?1640 4 .

例 2.求等比数列 1,2,4,?从第 5 项到第 10 项的和. 解 由 a1 ? 1, a2 ? 2
? S4 ?
得q ? 2

1 ? (1 ? 2 4 ) 1 ? (1 ? 210 ) ? 15 S10 ? ? 1023 1? 2 1? 2 ,

从第 5 项到第 10 项的和为 S10 - S4 =1008 例 3:求数列 a, a , a , a ,?a (a≠0)的前 n 项和。 分析:公比是字母,分 q=1 和 q≠1 两种情况讨论 当 a=1 时, sn
2 3 4 n

? na

a 1? an 当 a≠1 时, sn ? 1? a

?

?

本题易忽视 a=1 的情况致错。

六、变式训练,深化认识
1 2 4 8 1. 求等比数列 9 , 9 , 9 , 9 ,?的前 10 项的和.
2 3 n?1 2. 求数列1,3a,5a ,7a ,?, ?2n ?1?a ?a ? 0? 的前 n 项和.

3. 选作思考题: “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十 一,请问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少? 七、总结归纳 (1)等比数列的前 n 项和公式

(2) 公式推导过程中用到的“错位相减”方法; (3) 公式的运用知三个能求二.


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