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2012年卡西欧图形计算器竞赛试卷参考答案和评分标准(fx-CG20)最后定稿


“卡西欧杯”2012 年全国高中数学图形计算器应用能力测试

试题参考答案 (使用 fx-CG20 图形计算器)
一、填空题 1. c ? a ? b 提示:利用“计算·矩阵”功能模块分别进行计算,注意角的单位应设置为度.

非图形计算器环境:同一平面直角坐标系中,利用诱导公式结合函数图象,比较大 小. 2.0 提示:利用“解方程

(组) ”功能模块,输入各方程的系数,求解即得.

非图形计算器环境:利用消元法直接解方程. 3.甲 提示:利用“统计”功能模块,分两列输入数据,进行双变量或单变量统计,比较 两种水稻的标准差可得.

非图形计算器环境:纸笔运算,先计算平均数,然后计算方差进行比较可得. 4. {x | 0 ≤ x ? 0.134 ,或 x ? 1.866}

1

提示:利用“图形”功能模块,作出函数 y ? | 2 x ? 1| , y ? 2 x 的图象,利用图形 分析功能求出两个函数图象的交点并显示其坐标,数形结合可得到不等式的解集.

非图形计算器环境:两边直接平方,代数变形,利用一元二次不等式求解.

?x ≥ 0 3 3 . 2x ? 1 ? 2 x ? ? ? 0≤ x ?1? ,或x ? 1 ? 2 2 2 ?(2 x ? 1) ? 4 x
5. 5 提示:利用“图形”模块功能作出函数 y ? 40 x ?

2012 的图象.对图象进行分析,可 x2

得当 x ? 4.65 时, y 取得最小值. 由于 x ? N* , 因此分别计算 x ? 4 ,x ? 5 时的函数值. 通 过比较可得当 x ? 5 时,取得最小值.

非图形计算器环境:运用导数方法,同时结合函数图象求解;或利用均值不等式求 解. 6.6 提示:利用“动态图”功能模块,作出函数 y ? lg | ax ? 1| 和函数 y ? sin x 的图象,调 整参数 a 的值,观察交点个数即得.

2

非图形计算器环境:对实数 a 赋值,运用函数图象,观察、推理、判断. 2) 7. [?1 ,

? x2 ? 3x ? 2,x ≤ m, 提示:由已知 g ( x) ? ? 画出图象,求出与 x 轴的交点,分析图象 ? 2 ? x , x ? m.
可得.

非图形计算器环境:纸笔画图,由二次函数、一次函数的图象性质,观察、推理并 判断. 8.(97,56),或(-97,56) 提示:设 x ' ? y , y ' ? x ,则 y ' ? ? 1 ? 3x '2 ,利用“表格”功能模块,设定如图, 从列表中搜索即可.也可利用“递归·数列”功能中的表格.

非图形计算器环境:代数变形,直接尝试, x ? ? 1 ? 3 y 2, 20 ≤ y ≤100 .

1) 9. ( ,
3

1 4

提示:令 f ( x) ? x 2 ? ax ? 2b .
b ? 0, ? f (0) ? 0, ? ? ? 由已知有 ? f (1) ? 0, 得到约束条件 ?1 ? a ? 2b ? 0, ? f (2) ? 0. ? 2 ? a ? b ? 0. ? ?

1) , 作出可行域为三角形的内部,用图形分析功能求出三角形三顶点的坐标 A(?3,
0) .∵过三角形内的点(a,b)和点 D(1 B (?2, 0) C (?1, , 2) 的直线的斜率 k=

b?2 , a ?1

∴ ? k AD ?

1 4

1 b?2 b?2 ? kCD ? 1 ,即 1) . 的取值范围是 ( , a ?1 a ?1 4

非图形计算器环境:转化为线性规划问题后,纸笔画图求解. 10.575 提示:利用“金融”功能模块,选择“复利” ,输入相应的已知条件进行计算,可得 单期额 PMT.继续选择“分期” ,令 PM1 ? 10 , PM 2 ? 10 ,计算器可直接计算出第 10 期的利息.

非图形计算器环境:列出等额本息还款的计算公式,利用科学计算器求解. 11.3.134 提示:问题可以转化为求数列 an ?

(2n)2 的前 100 项之积的问题.利用“程 (2n ? 1)(2n ? 1)

序”功能模块,编制程序,运行即可得到结果.

4

非图形计算器环境:转化为数列 an ? 一般计算器运算求解. 12.①②

(2n)2 的前 100 项之积的问题后,利用 (2n ? 1)(2n ? 1)

提示: f ( x) ? a sin 2x ? cos2x ? a2 ? 1 ? sin(2x ? ?) ?

a2 ? 1 ,

π π π π 3 1 又 f ( ) ? a sin ? cos ? a ? |,由题意 f ( x) ≤ | f ( ) | 对一切 x ?R 恒成立, 6 3 3 2 2 6
则 a2 ? 1 剕

3 1 a ? 对一切 x ?R 恒成立, 2 2
3 2 3 1 a ? a ? ,化简即 a2 ? 2 3a ? 3 ? (a ? 3)2 ? 0 恒成立, 4 2 4

即 a2 ? 1?

而 (a ? 3)2 …0 ,所以 a ? 3 . 所以 f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 2sin(2 x ? ) . ① f (?

π 6

π π π 所以①正确; 也可利用图形计算器画出图象进行计算. ) ? 2sin(? ? ) ? 0 , 12 6 6

② f ( x) ? 2sin(2 x ? ) , 2kπ ?

π 6

π π 剟2x ? 2 6

π π , kπ ? 剟x 2kπ ? 2 2 3

π , kπ ? 2 6

所以②正确; ③ 由图象知 f (? x) ? f ( x) ,所以③错误; ④ 由①知 a ? 3 ,要经过点( 3 ,1)的直线与函数 f ( x) 的图象不相交,则此直 线与 x 轴平行,又 f ( x) 的振幅为 2,而 2>1,所以直线必与 f ( x) 图象有交点.④不正确.
5

非图形计算器环境:求出 a 值后,利用三角函数的图象和性质逐一判断. 二、解答题 13. 解:(Ⅰ)利用图形计算器中的“统计”功能,输入数据,画出散点图,用线性 回归模型拟合.得到回归直线方程 y ? 6.16085059 ? 0.88031624 x ; 利用图形分析功能,可得预测值为 77 分. ?????5 分

(Ⅱ)可分别用二次、三次、四次等多项式回归模型和指数等回归模型拟合,通过 比较,可发现用四次多项式回归模型拟合, r 最接近于 1.其回归方程为:
2

y ? 0.0014618x4 ? 0.4247119x3 ?45.9756338 x 2 ? 2197.9429 x ? 39222.9605 ;
预测值为 57 分. ????10 分

(Ⅲ)本题中线性回归模型更为可信.理由如下:①通常认为数学与物理是线性正 相关关系;②从两模型对物理成绩的预测效果来看,四次回归模型不太符合实际,如: 四次回归模型中数学 80 分预测物理成绩 57 分,数学 56 分预测物理成绩为 108 分. ????15 分
6

14.解: (Ⅰ) f ( x) ? ln(e x ? a) 是奇函数,则 ln(e? x ? a) ? ? ln(e x ? a) 恒成立. ∴ (e? x ? a)(e x ? a) ? 1 , ae? x ? ae x ? a 2 ? 0 ,∴ a(e? x ? e x ? a) ? 0 , ∴a ? 0. ????5 分

(Ⅱ) g ( x) ? sin x ? x .由 g ( x) 的图象可知, g ( x) 在[﹣1,1]上单调递减, ∴ g ( x)max ? g (?1) ? 1 ? sin1 .

????10 分 (Ⅲ)∵ f ( x) ? x ,∴方程化为 令 f1 ( x) ?

ln x ? x2 ? 2ex ? m . x

ln x ? x2 ? 2ex , f 2 ( x) ? m . x

利用图形计算器画出函数 f1 ( x) 的图象,借助图形分析功能可求得极大值(也是最大 值)约为 7.76.

f 2 ( x) ? m 的图象是一条平行于 x 轴的直线.

所以数形结合可得,当 m ≤ 7.76 时,方程有实根.

????15 分

非图形计算器环境:第(Ⅱ)问利用导数判断单调性;第(Ⅲ)利用导数求解,可

1 得当 m ≤ e2 ? 时,方程有实根. e
15. 解: (Ⅰ)由已知,周期 T ?12 ,所以 ? ? 所以 h(t ) ? 10 ? 8sin t ;

π 6

2π π ? ,又 A ? 8 , 12 6
????6 分

(Ⅱ)当 t ? 15.5 时,点 P 每分钟转过的弧度数为

π ,所以点 P 走过的路程为 6

7

62 π ?15.5 ? 8 ? π ? 64.9 m ; 3 6

????12 分

12] 内的根为 t1 ? 1.289406248 ,t2 ? 4.710593752 , (Ⅲ) 令 h(t ) ? 15 , 解得在区间 [0 ,
所以点 P 高于地面 15 米时的旋转时间为 t ? t2 ? t1 ? 3.4 分钟. ????18 分

非图形计算器环境:第(Ⅲ)问转化为求方程 10 ? 8sin t ? 15 根的问题,利用 数学用表求出两根,计算两根差的绝对值即可. 16.解: (Ⅰ)由已知可得 ? ? ?

π 6

3 . 2
????6 分

利用“递归·数列”功能,输入递推公式,设定首项、末项和初始值,列表可得

a3 ?

11 1691 , a7 ? . 2 32

(Ⅱ)数列 {an } 为等比数列,则 a22 ? a1a3 ,所以 ? ? 1 , an?1 ? an ? 2n . 所以当 n ≥ 2 时, an ? 2 ?

2(1 ? 2n?1 ) ? 2n . 又 n ? 1, a1 ? 2 符合条件, 1? 2

所以 an ? 2n ,n ? N * , bn ? log 2 an ? n .

8

Sn ? 2n?1 ? 2 , Tn ?

8Tn n(n ? 1) n(n ? 1) , Rn ? . ? Sn ? 2 2n ?1 2

Rn?1 ? Rn ?

(n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (2 ? n)(n ? 1) , ? ? 2n 2n?1 2n

n ? 2 时, Rn ?1 ? Rn ,数列 {Rn } 为递减数列.

输入该数列的通项公式,设定首项和末项,列表查看,如图可知:
R11 ? 33 1 39 1 ? , R12 ? ? . 256 12 512 12

又因为 R1 ? 2, R2 ? 3 ,所以 n 的取值范围是 {n | n ≤11,n ? N*} . ????12 分 (Ⅲ)因为 ? ? 1 ,所以 an?1 ? an ? (? ?1)an ? 2n ? 0 ,所以 an?1 ? an,n ? N* .

cn ? (1 ?

an 1 ) ? 0 , c1 ? c2 ???? ? cn ? 0 , an?1 an?1 an a 1 1 1 ) ? n ( ? ) an?1 an?1 an?1 an an?1

又 cn ? (1 ?

?

an 1 1 1 1 ( ? )( ? ) an?1 an an?1 an an?1
an a 1 1 1 1 ? )( ? n ) ? 2( ? ). an ?1 an ?1 an an ?1 an an ?1

?(

所以 c1 ? c2 ? ??? ? cn ? 2(

1 1 ? )? 2. a1 an?1
????18 分

所以 0 ? c1 ? c2 ???? ? cn ? 2 .

非图形计算器环境:第(Ⅰ)问利用递推关系式,纸笔运算,依次求出 a3,a4,a5 ,
a6,a7 ;第(Ⅱ)问,利用估算,将 n 的值依次代入
9

n(n ? 1) 1 ? 直接尝试求出. 2n?1 12


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