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直线的参数方程教案


直线的参数方程 教学目标: 1. 联系数轴、向量等知识,推导出直线的参数方程,并进行简单应用,体 会直线参数方程在解决问题中的作用. 2.通过直线参数方程的推导与应用,培养综合运用所学知识分析问题和解 决问题的能力,进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想. 3. 通过建立直线参数方程的过程,激发求知欲,培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度. 教学重点:

联系数轴、向量等知识,写出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法,建立参数 t (数轴上的点坐标)与点在直角坐标系中 的坐标 x, y 之间的联系. 教学过程: 一、回忆旧知,做好铺垫 1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程. 2.直线的方向向量的概念. 3.在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何条件是什么? 4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点,请写出直线的方程. 5.如何建立直线的参数方程? 二、直线参数方程探究 1.回顾数轴,引出向量 数轴是怎样建立的?数轴上点的坐标的几何意义是什么? 教师提问后,让学生思考并回答问题. 教师引导学生明确:如果数轴原点为 O,数 1 所对应的点为 A,数轴上点 M 的坐标为 t ,那么: ① OA 为数轴的单位方向向量, OA 方向与数轴的正方向一致,且 OM ? tOA ; ②当 OM 与 OA 方向一致时(即 OM 的方向与数轴正方向一致时) ,t ? 0;

当 OM 与 OA 方向相反时(即 OM 的方向与数轴正方向相反时) ,t ? 0 ; 当 M 与 O 重合时, t ? 0 ; ③ | OM |? t .教师用几何画板软件演示上述过程. 【设计意图】回顾数轴概念,通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义, 为选择参数做准备. 2.类比分析,异曲同工 问题: (1)类比数轴概念,平面直角坐标系中的 任意一条直线能否定义成数轴? (2)把直线当成数轴后,直线上任意一点 就有两种坐标.怎样选取单位长度和方向才有利 于建立这两种坐标之间的关系? 教师提出问题后,引导学生思考并得出以下 结论: 选取直线 l 上的定点 M 0 为原点, 与直线 l 平 行且方向向上( l 的倾斜角不为 0 时)或向右 ( l 的倾斜角为 0 时) 的单位向量 e 确 定直线 l 的正方向,同时在直线 l 上确定进行度量的单位长度,这时直线 l 就变 成了数轴.于是,直线 l 上的点就有了两种坐标(一维坐标和二维坐标) .在规 定数轴的单位长度和方向时,与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致, 有利于建立两种坐标之间的联系. 【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、 单位长度、正方向后成为数轴,为建立直线参数方程作准备. 3. 选好参数,柳暗花明 问题(1) :当点 M 在直线 l 上运动时,点 M 满足怎样的几何条件? 让学生充分思考后,教师引导学生得出结论:将直线 l 当成数轴后,直线
l 上点 M 运动就等价于向量 M0 M 变化, 但无论向量怎样变化, 都有 M 0 M ? te . 因

此点 M 在数轴上的坐标 t 决定了点 M 的位置,从而可以选择 t 作为参数来获取直 线 l 的参数方程. 【设计意图】明确参数. 问题(2) :如何确定直线 l 的单位方向向量 e ?

教师启发学生:如果所有单位向量起点相同,那么终点的集合就是一个圆.为 了研究问题方便,可以把起点放在原点,这样所有单位向量的终点的集合就是 一个单位圆.因此在单位圆中来确定直线的单 位方向向量. 教师引导学生确定单位方向向量,在此基础上 启发学生得出 e ? (cos ? ,sin ? ) , 从而明确直线 l 的方向向量可以由倾斜角 ? 来确定. 当 0 ? ? ? ? 时, sin ? ? 0 ,所以直线 l 的单位方 向向量 e 的方向总是向上. 【设计意图】综合运用所学知识,获取直线的方向向量,培养学生探索精神, 体会数形结合思想.

4. 等价转化,深入探究 问题:如果点 M 0 ,M 的坐标分别为 ( x0 , y0 )、 ( x, y) ,怎样用参数 t 表示 x, y ? 教师启发学生回顾向量的坐标表示,待学生通过独立思考并写出参数方程 后再全班交流.过程如下:
0 [) ? ) 因为 e ? (cos ? ,sin ? ) , ( ? ?, , MM ? xy (, ) x (?y , )0 (0x ? xy , ?y 0 )? 0
0



又M0 M // e ,所以存在实数 t ? R ,使得 M 0 M ? te ,即
( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? ) .

于是 x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? , 即 x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? . 因此,经过定点 M ( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程为
? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数) .

教师提出如下问题让学生加强认识: ①直线的参数方程中哪些是变量?哪些是常量? ②参数 t 的取值范围是什么?

③参数 t 的几何意义是什么? 总结如下:① x0 , y0 , ? 是常量, x, y , t 是变量; ②t ? R ; ③由于 | e |? 1 ,且 M 0 M ? te ,得到 M 0 M ? t ,因此 t 表示直线上的 动点 M 到定点 M 0 的距离. 当 M0 M 的方向与数轴 (直线) 正方向相同时,t ? 0 ; 当 M0 M 的方向与数轴(直线)正方向相反时, t ? 0 ;当 t ? 0 时,点 M 与点 M 0 重合. 【设计意图】把向量转化为坐标,获得了直线的参数方程,在此基础上分析直 线参数方程的特点,体会参数的几何意义. 三、运用知识,培养能力 例 1.已知直线 l : x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? x2 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长度 和点 M (?1, 2) 到 A,B 两点的距离之积. 先由学生思考并动手解决,教师适时点拨、引导,鼓励一题多解,学生可 能有以下解法: ? x ? y ?1 ? 0 解法一:由 ? ,得 x2 ? x ?1 ? 0 (*) . 2 ?y? x 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由韦达定理得: x1 ? x2 ? ?1 ,x1 ? x2 ? ?1 .
? AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? 5 ? 10 .
?1 ? 5 ?1 ? 5 , ,x2 ? 2 2 3? 5 3? 5 . ? y1 ? ,y2 ? 2 2 ?1 ? 5 3 ? 5 ?1 ? 5 3 ? 5 所以 A( , ),B( , ). 2 2 2 2

由(*)解得 x1 ?

则 MA ? MB ? (?1 ? ?1 ? 5 )2 ? (2 ? 3 ? 5 )2 ? (?1 ? ?1 ? 5 )2 ? (2 ? 3 ? 5 )2
2 2 2 2

? 3? 5 ? 3? 5 ? 4 ? 2 .

3 解法二、因为直线 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ? ,所以它的参数方程是 4

3 ? x ? ?1 ? t cos ? ? ? 4 ? ? y ? 2 ? t sin 3 ? ? ? 4

( t 为参数) ,

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 即? ?y ? 2? 2 t ? ? 2

( t 为参数) .

把它代入抛物线的方程,得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , 解得 t1 ?
? 2 ? 10 ? 2 ? 10 , t2 ? . 2 2

由参数 t 的几何意义得: AB ? t1 ? t2 ? 10 ,

MA ? MB ? t1t2 ? 2 .
在学生解决完后,教师投影展示学生的解答过程,予以纠正、完善.然后进 行比较:在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法. 【设计意图】通过本题训练,使学生进一步体会直线的参数方程,并能利用参 数解决有关线段长度问题,培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及 动手能力. 探究:直线
? x ? x 0 ? t cos ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?

( t 为参数)与曲线 y ? f ( x) 交于 M1, M 2 两点,

对应的参数分别为 t1 , t2 . (1)曲线的弦 M1M 2 的长是多少? (2)线段 M1M 2 的中点 M 对应的参数 t 的值是多少? 先由学生思考,讨论,最后师生共同得到: t ?t (2) t ? 1 2 () 1 M1M2 ? t1 ? t2 , 2 【设计意图】通过特殊到一般,及时让学生总结有关结论,为进一步应用打下 基础,培养归纳、概括能力. 例 2、经过点 M (2,1) 作直线 l ,交椭圆
x2 y 2 ? ? 1 于 A,B 两点.如果点 M 恰好 16 4

为线段 AB 的中点,求直线 l 的方程. 分析:引导学生以 M 作为直线 l 上的定点写出直线的参数方程,然后与椭 圆的方程联立, 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 , 则由 t1 ? t2 ? 0 求出直线 l 的 斜率.教师板书,过程如下:

? x ? 2 ? t cos ? 解:设过点 M (2,1) 的直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ? y ? 1 ? t sin ?
代入椭圆方程,整理得

(3sin 2 ? ? 1)t 2 ? 4(cos ? ? 2sin ? ) ? 8 ? 0 .
因为点 M 在椭圆内, 这个方程必有两个实根, 设 A,B 两点对应的参数分别为 t1, t2 , 则 t1 ? t2 ? ?
4(cos ? ? 2sin ? ) . 3sin 2 ? ? 1

因为点 M 为线段 AB 的中点,所以

t1 ? t2 ? 0 ,即 cos ? ? 2sin ? ? 0 . 2

1 于是直线 l 的斜率 k ? tan ? ? ? . 2 1 因此,直线 l 的方程是 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 教师引导学生课下用其他方法解决. 思考:例 2 的解法对一般圆锥曲线适用吗?把“中点”改为“三等分点” ,直线 l 的方程怎样求?由学生课下解决. 【设计意图】体会直线参数方程在解决弦中点问题时的作用.

四、自主解决,深入理解
4 的直线和抛物线 y 2 ? 2x 相交于 A,B 两点,设线 3 段 AB 的中点为 M,求点 M 的坐标.

已知过点 P(2, 0) ,斜率为

本题由学生独立完成,教师补充完善. 解: 设过点 P(2, 0) 的直线 AB 的倾斜角为 ? , 由已知可得:cos ? ?
3 ? x ? 2? t ? ? 5 所以,直线的参数方程为 ? ( t 为参数) . 4 ?y ? t ? 5 ? 2 2 代入 y ? 2x ,整理得 8t ? 15t ? 50 ? 0 . t ?t 15 中点 M 的相应参数是 t ? 1 2 ? , 2 16 41 3 所以点 M 的坐标是 ( , ) . 16 4
3 4 ,sin ? ? . 5 5

【设计意图】注重知识的落实,通过问题的解决,使学生进一步理解所学知识.


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