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第04章§4.3三角函数的图象与性质


方 程 周 期





π

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点 π 3π 是:(0,0),( 2,1),(π,0),( 2 ,-1),(2π,0). 余弦函数 y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点 π 3π 是:(0,1),( 2,0),(π,-1),( 2 ,0),(2π,1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函 y=sinx y=cosx y=tanx 数 图 象 定 义 域 值 域 {x|x∈R 且 π x≠ 2 +kπ,k∈Z} R

R [-1,1] π 在[-2

R [-1,1]

【知识拓展】 1.对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称 轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴 1 之间的距离是4个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性 若 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ=2+kπ(k∈Z); (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z). 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打 "√" 或 "× ") (1)y=sinx 在第一、第四象限↗.( × ) (2)常数函数 f(x)=a 是周期函数,它无最小正周期.( √ ) (3)正切函数 y=tanx 在定义域内↗.( × ) (4)已知 y=ksinx+1,x∈R,则 y 的最大值为 k+1.( × ) (5)y=sin |x|是偶函数.( √ ) 2 π (6)若 sinx> 2 ,则 x>4 .( × )

单 调 性

π +2kπ, 2

最 值

+2kπ](k∈Z) 上递增; π 3π 在[2 +2kπ, 2 +2kπ](k∈Z) 上递减 π 当 x= 2 +2kπ(k∈Z) 时,ymax=1; π 当 x=- 2 +2kπ(k∈Z) 时,ymin=-1 奇函数

在[- π+2kπ,2kπ](k∈Z) π π 在 ( - + k π , 上递增; 2 2 +kπ)(k∈Z) 在 [2kπ,π+2kπ](k∈Z) 上递增 上递减

1.函数 f(x)=cos(2x-6)的最小正周期是(
π A. 2B.π C.2π D.4π 【解答】B 2π 2π 解析最小正周期为 T= ω = 2 =π.故选 B. π

π

)

当 x=2kπ(k∈Z) 时,ymax=1; 当 x=π+2kπ(k∈Z) 时,ymin=-1

2.(教材改编)函数 f(x)=3sin(2x-6)在区间[0,2]上的值
域为( ) 33 3 A.[-2,2] B.[-2,3] 3 33 3 3 3 C.[- 2 , 2 ] D.[- 2 ,3] 【解答】B π π π 5π 解析当 x∈[0,2 ]时,2x-6 ∈[-6 , 6 ], π 1 sin(2x- 6)∈[-2,1], π 3 故 3sin(2x- 6)∈[-2,3], 3 即 f(x)的值域为[-2,3]. 3.函数 y=tan2x 的定义域是( )

π

奇 偶 性 对 称 中 心 对 称 轴

偶函数

奇函数

(kπ,0)(k∈Z) π x=2

π (2+kπ,0)(k∈Z)

kπ ( 2 ,0)(k∈Z)

x=kπ(k∈Z)

+kπ(k∈Z)

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? ? ? ? ? ? kπ π ? ? π A.?x?x≠kπ+4,k∈Z ?B.?x?x≠ 2 +8 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? π C.?x?x≠kπ+8,k∈Z ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kπ π ?D.?x?x≠ + ,k∈Z 2 4 ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

kπ π π 【解答】(1){x|x≠ 2 +6 ,k∈Z} (2)[ 3,π] π π kπ π 解析(1)由 2x+6≠2 +kπ,k∈Z,得 x≠ 2 +6,k∈Z, kπ π ∴f(x)的定义域为{x|x≠ 2 +6,k∈Z}. π π π π (2)∵x∈[-3,a],∴x+6 ∈[-6,a+6], π ππ 1 ∵x+6∈[-6 ,2]时,f(x)的值域为[-2,1], π π 7π π ∴由函数的图象知2≤a+6≤ 6 ,∴3≤a≤π. 思维升华(1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 (组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sinx 和 cosx 的值域直接求; ②把所给的三角函数式变换成 y=Asin(ωx+φ)的形式求 值域; ③通过换元,转换成二次函数求值域. 1 (1)函数 y=lg(sinx)+ cos x-2的定义域为. πx π (2)函数 y=2sin( 6 - 3)(0≤x≤9)的最大值与最小值的和 为______. ? ? π 【解答】(1)?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z? ? ? (2)2- 3 sin x>0, ? ? 解析(1)要使函数有意义必须有? 1 cos x-2≥0, ? ? sin x>0, ? ? 即? 1 cos x≥2, ? ? 解得

【解答】D π kπ π 解析由 2x≠kπ+ 2,k∈Z,得 x≠ 2 +4 ,k∈Z,
? ? kπ π ? ? ? ∴y=tan2x 的定义域为?x?x≠ 2 +4,k∈Z ?. ? ?

?

4.(2016· 开封模拟)已知函数 f(x)=4sin( 3-2x),x∈[-
π,0],则 f(x)的↘区间是( ) 7 π A.[-12π,-12] π B.[-π,-2 ] 7 π C.[-π,-12π],[-12,0] 5 π D.[-π,-12π],[-12,0] 【解答】C π π 解析 f(x)=4sin(3-2x)=-4sin(2x- 3). π π π 由-2 +2kπ≤2x-3≤ 2+2kπ(k∈Z),得 π 5 -12+kπ≤x≤12π+kπ(k∈Z). π 5 ∴函数 f(x)的递减区间是[-12+kπ,12π+kπ](k∈Z). ∵x∈[-π,0], 7 π ∴函数 f(x)的递减区间是[-π,-12π],[-12,0]. ?π +x? ? 5.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),对于任意 x 都有 f? ?6 ? ?π ? ?π? =f?6-x?,则 f?6?的值为______. ? ? ? ? 【解答】2 或-2 ?π ? ?π ? 解析 ∵f?6+x?=f?6-x?, ? ? ? ? π ∴x=6是函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴. ?π? ∴f?6 ?=± 2. ? ?

π

? ?

题型一三角函数的定义域和值域 π 例 1(1)函数 f(x)=-2tan(2x+ 6)的定义域是______. π (2)(2017· 郑州月考)已知函数 f(x)=sin(x+ 6),其中 π 1 x∈[-3 ,a],若 f(x)的值域是[-2,1],则实数 a 的取值范 围是______.

2kπ<x<π+2kπ(k∈Z), ? ? ? π π - +2kπ≤x≤3+2kπ(k∈Z), ? ? 3 π ∴2kπ<x≤3 +2kπ(k∈Z), ? ? π ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?. ? ? π πx π 7π (2)∵0≤x≤9,∴-3 ≤ 6 -3 ≤ 6 , 3 πx π ∴- 2 ≤sin( 6 -3 )≤1, πx π 故- 3≤2sin( 6 -3 )≤2. πx π 即函数 y=2sin( 6 -3)(0≤x≤9)的最大值为 2,最小值为 - 3. ∴最大值与最小值的和为 2- 3. 题型二三角函数的单调性

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π? ? 例 2(1)函数 f(x)=tan?2x-3?的↗区间是( ) ? ? ?kπ π kπ 5π? A.? 2 -12, 2 +12?(k∈Z) ? ? ?kπ π kπ 5π? B.? 2 -12, 2 +12?(k∈Z) ? ? π 2π? ? C.?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ? π 5π? ? D.?kπ-12,kπ+12?(k∈Z) ? ? π? ?π ? ? (2)已知 ω>0,函数 f(x)=sin?ωx+4?在?2 ,π?上↘,则 ω ? ? ? ? 的取值范围是______. ?1 5? 【解答】(1)B(2)?2,4? ? ? π π π 解析(1)由 kπ- <2x- <kπ+ (k∈Z), 2 3 2 kπ π kπ 5π 得 2 -12<x< 2 +12(k∈Z), π? ? ?kπ π kπ 5π? ∴函数 f(x)=tan?2x-3?的↗区间为? 2 -12, 2 +12 ? ? ? ? ? (k∈Z),故选 B. π ωπ π π π (2)由 2<x<π,ω>0,得 2 +4<ωx+4<ωπ+ 4, π 3π 又 y=sinx 的↘区间为[2kπ+2 ,2kπ+ 2 ],k∈Z, ωπ π π ? ? 2 +4≥2+2kπ, ∴? k∈Z, π 3π ? ?ωπ+4≤ 2 +2kπ, 1 5 解得 4k+2≤ω≤2k+4,k∈Z. 1 5 5 又由 4k+2-(2k+4)≤0,k∈Z 且 2k+4>0,k∈Z,得 k=0,∴ 15 ω∈[2,4]. 引申探究 π π 本例(2)中,若已知 ω>0,函数 f(x)=cos(ωx+ 4)在( 2,π)上 ↗,则 ω 的取值范围是______. 37 【解答】[ , ] 24 解析函数 y=cosx 的↗区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z, ωπ π ? ? 2 +4≥-π+2kπ, 则? π ?ωπ+4≤2kπ, ?

k∈Z,

5 1 解得 4k-2≤ω≤2k-4,k∈Z, 1? 5 ? 1 又由 4k-2-?2k-4?≤0,k∈Z 且 2k-4>0,k∈Z, ? ? 3 7 ? ? 得 k=1,∴ω∈?2,4?. ? ?

思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函 数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并 注意复合函数单调性规律 "同增异减" ; ②求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中 ω>0)的单调区间 时,要视 "ωx+φ" 为一个整体,通过解不等式求解.但 如果 ω<0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数, 防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单 调区间,然后利用集合间的关系求解. π? ? (1)函数 f(x)=sin?-2x+3 ?的单调减区间为 ? ? ______. π (2)若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,3 ]上↗,在区间 ππ [3 ,2]上↘,则 ω=( ) 2 3 A.3B.2 C.2D.3 π 5 ? ? 【解答】(1)?kπ-12,kπ+12π?,k∈Z(2)B ? ? π? ? 解析(1)已知函数可化为 f(x)=-sin?2x- 3?, ? ? π? ? 欲求函数的单调减区间,只需求 f(x)=sin?2x-3 ?的单调 ? ? 增区间. π π π 由 2kπ-2 ≤2x-3≤2kπ+2 ,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12 ,k∈Z. π 5π? ? 故所给函数的单调减区间为?kπ-12,kπ+12 ?(k∈Z). ? ? (2)∵f(x)=sinωx(ω>0)过原点, π π ∴当 0≤ωx≤2 ,即 0≤x≤2ω时, y=sinωx↗; π 3π π 3π 当2≤ωx≤ 2 ,即2ω≤x≤2ω时, y=sinωx↘. ? π? 由 f(x)=sinωx(ω>0)在?0, 3?上↗, ? ? π π π π ? ? 在?3 ,2 ?上↘,知2ω=3 , ? ? 3 ∴ω=2. 题型三三角函数的周期性、对称性 命题点 1 周期性 例 3(1)在函数 π? ? ①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos?2x+6?,④y=tan ? ? π? ? ?2x-4 ?中,最小正周期为 π 的所有函数为( ) ? ? A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③

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π (2)若函数 f(x)=2tan(kx+3)的最小正周期 T 满足 1<T<2, 则自然数 k 的值为______. 【解答】(1)A(2)2 或 3 解析(1)①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为 π; ②由图象知 y=|cosx|的最小正周期为 π; π? 2π ? ③y=cos?2x+6?的最小正周期 T= 2 =π; ? ? π? π ? ④y=tan?2x-4?的最小正周期 T=2 ,因此选 A. ? ? π (2)由题意得,1<k <2, π ∴k<π<2k,即 2<k<π, 又 k∈Z,∴k=2 或 3. 命题点 2 对称性 π 例 4(2016· 西安模拟)当 x=4 时,函数 f(x)=sin(x+φ)取得 3π 最小值,则函数 y=f( 4 -x)( ) π A.是奇函数且图象关于点(2,0)对称 B.是偶函数且图象关于点(π,0)对称 π C.是奇函数且图象关于直线 x=2对称 D.是偶函数且图象关于直线 x=π 对称 【解答】C π 解析 ∵当 x=4时,函数 f(x)取得最小值, π 3π ∴sin(4+φ)=-1,∴φ=2kπ- 4 (k∈Z), 3π 3π ∴f(x)=sin(x+2kπ- 4 )=sin(x- 4 ), 3π ∴y=f( 4 -x)=sin(-x)=-sinx, 3π π ∴y=f( 4 -x)是奇函数,且图象关于直线 x=2对称. 命题点 3 对称性的应用 π? ? 例 5(1)已知函数 y=2sin?2x+3?的图象关于点 P(x0,0) ? ? ? π ? 对称,若 x0∈?-2,0?,则 x0=______. ? ? π (2)若函数 y=cos(ωx+6)(ω∈N*)图象的一个对称中心 π 是(6 ,0),则 ω 的最小值为( ) A.1B.2 C.4D.8 π 【解答】(1)-6 (2)B π 解析(1)由题意可知 2x0+3 =kπ,k∈Z, kπ π 故 x0= 2 -6,k∈Z,

2 1 ? π ? 又 x0∈?-2,0?,∴-3≤k≤3,k∈Z, ? ? π ∴k=0,则 x0=-6. ω π π (2)由题意知 6 π+ 6=kπ+ 2(k∈Z), ∴ω=6k+2(k∈Z),又 ω∈N*,∴ωmin=2. 思维升华(1)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经 过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零 点,因此在判断直线 x=x0 或点(x0,0)是不是函数的对称 轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义. ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正 2π π 周期为|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为|ω|. π (1)(2016· 朝阳模拟)已知函数 f(x)=2sin( 2 π x+5),若对任意的实数 x,总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2| 的最小值是( ) A.2B.4 C.π D.2π 4π (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( 3 ,0)中心对 称,那么|φ|的最小值为( ) π π A. 6 B. 4 π π C. 3D. 2 【解答】(1)A(2)A 解析(1)由题意可得|x1-x2|的最小值为半个周期, T π 即 2 =ω=2. 4π 2π (2)由题意得 3cos(2× 3 +φ)=3cos( 3 +φ+2π) 2π =3cos( 3 +φ)=0, 2π π ∴ 3 +φ=kπ+ 2,k∈Z, π π ∴φ=kπ- 6 ,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为 6.

5.三角函数的性质
考点分析纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性 质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为 三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对 此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分. 典例(1)(2015· 课标全国Ⅰ)函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分

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图象如图所示,则 f(x)的↘区间为(

)

π f( 8)=( 1 A.1B.2

)

1 C.-1D.-2 1 3? ? A.?kπ-4,kπ+4?,k∈Z ? ? 1 3? ? B.?2kπ-4,2kπ+4?,k∈Z ? ? 3? ? 1 C.?k-4,k+4?,k∈Z ? ? 1 3? ? D.?2k-4,2k+4?,k∈Z ? ? (2)已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有 π π f(x+ )=f(-x)恒成立,且 f( )=1,则实数 b 的值为( ) 4 8 A.-1B.3 C.-1 或 3D.-3 ? π π? (3)已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间?-3,4 ?上的 ? ? 最小值是-2,则 ω 的最小值=______. ?5 1? ?4-4?=2, 解析(1)由图象知,周期 T=2× ? ? 2π ∴ ω =2,∴ω=π. 1 π π 由 π×4+φ=2+2kπ,k∈Z,不妨取 φ=4 , π? ? ∴f(x)=cos?πx+4?. ? ? π 1 由 2kπ<πx+ 4<2kπ+π,k∈Z,得 2k-4 1 3? 3 ? <x<2k+4,k∈Z,∴f(x)的↘区间为?2k-4,2k+4?,k∈Z. ? ? 故选 D. π (2)由 f(x+ 4)=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于 π 直线 x=8对称,又函数 f(x)在对称轴处取得最值,故 ± 2+b=1,∴b=-1 或 b=3. π π (3)∵ω>0,-3≤x≤ 4, ωπ ωπ ∴- 3 ≤ωx≤ 4 . ωπ π 由已知条件知- 3 ≤-2 , 3 ∴ω≥2. 3 【解答】(1)D(2)C(3)2 【解答】A 解析 ∵T=π,∴ω=2, π π π π ∴f( 8)=sin(2×8+ 4)=sin2 =1. 2.若函数 f(x)=-cos2x,则 f(x)的一个递增区间为( ) π π A.(-4,0)B.(0,2) π 3π 3π C.(2, 4 )D.( 4 ,π) 【解答】B π 解析由 f(x)=-cos2x 知递增区间为[kπ,kπ+2],k∈Z,故 只有 B 项满足. π 3.关于函数 y=tan(2x-3),下列说法正确的是( ) A.是奇函数 π B.在区间(0,3)上↘ π C.(6,0)为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为 π 【解答】C π 解析函数 y=tan(2x-3 )是非奇非偶函数,A 错误; 在区 π π 间(0,3 )上↗,B 错误; 最小正周期为2 ,D 错误. π π π ∵当 x=6时,tan(2×6-3 )=0, π ∴(6 ,0)为其图象的一个对称中心,故选 C. π 4.(2016· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx- 6)+1(x∈R) 的图象的一条对称轴为 x=π,其中 ω 为常数,且 ω∈(1,2), 则函数 f(x)的最小正周期为( ) 3π 6π A. 5 B. 5 9π 12π C. 5 D. 5 【解答】B π 解析由函数 f(x)=2sin(ωx- 6)+1(x∈R)的图象的一条 π π 2 5 对称轴为 x=π,可得 ωπ-6 =kπ+ 2,k∈Z,∴ω=k+3,∴ω=3, 2π 6π 从而得函数 f(x)的最小正周期为 5 = 5 . 3 π 5.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若 f( 8)=-2,则 f(x) 的一个↘区间是( )

1.已知函数 f(x)=sin(ωx+4)(ω>0)的最小正周期为 π,则

π

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π 3π π 9π A.[-8 , 8 ] B.[8 , 8 ] 3π π π 5π C.[- 8 ,8] D.[8, 8 ] 【解答】C π 解析由 f( 8)=-2,得 π π π f( 8)=-2sin(2×8+φ)=-2sin(4+φ)=-2, π ∴sin(4+φ)=1. π ∵|φ|<π,∴φ=4 . π π π 由 2kπ-2 ≤2x+4≤2kπ+ 2,k∈Z, 3π π 解得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 3π π 当 k=0 时,- 8 ≤x≤8,故选 C. π π 2π 6.若函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0 且|φ|<2)在区间[6, 3 ]上 π ↘,且函数值从 1 减少到-1,则 f( 4)=( ) 1 2 A.2B. 2 3 C. 2 D.1 【解答】C 2π π 解析由题意得函数 f(x)的周期 T=2( 3 -6 )=π,∴ω=2, π π 此时 f(x)=sin(2x+φ),将点(6 ,1)代入上式得 sin(3 π π +φ)=1(|φ|< 2),∴φ=6, π ∴f(x)=sin(2x+6 ), π π π π 3 于是 f( 4)=sin(2+6)=cos 6 = 2 . 7.函数 y= 2sin x-1的定义域为______. π 5 【解答】[2kπ+6,2kπ+6π],k∈Z 1 解析由 2sinx-1≥0,得 sinx≥2, π 5 ∴2kπ+ 6≤x≤2kπ+6π,k∈Z. π 8.函数 y=cos2x+sinx(|x|≤4)的最小值为______. 1- 2 【解答】 2 π 解析令 t=sinx,∵|x|≤ 4, ? 2 2? ∴t∈?- , ?. 2? ? 2

? 1? 5 ∴y=-t2+t+1=-?t-2?2+4, ? ? 1- 2 2 ∴当 t=- 时,ymin= . 2 2 π 9.函数 y=cos( 4-2x)的单调减区间为______. π 5π 【解答】[kπ+8,kπ+ 8 ](k∈Z) π π 解析由 y=cos(4 -2x)=cos(2x-4 ), π 得 2kπ≤2x-4 ≤2kπ+π (k∈Z), π 5π 解得 kπ+ 8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z), π 5π ∴函数的单调减区间为[kπ+8 ,kπ+ 8 ](k∈Z). 10.(2016· 威海模拟)若 f(x)=2sinωx+1(ω>0)在区间[- π 2π 2 , 3 ]上↗,则 ω 的取值范围是______. 3 【解答】(0,4] π π 解析方法一由 2kπ-2 ≤ωx≤2kπ+2,k∈Z, 2kπ π 2kπ π 得 f(x)的增区间是[ ω -2ω, ω +2ω],k∈Z. π 2π ∵f(x)在[-2 , 3 ]上↗, π 2π π π ∴[-2 , 3 ]? [-2ω,2ω]. π π 2π π 3 ∴-2≥-2ω且 3 ≤2ω,∴ω∈(0,4]. π 2π 方法二∵x∈[-2 , 3 ],ω>0. ωπ 2πω ∴ωx∈[- 2 , 3 ], π 2π 又 f(x)在区间[-2 , 3 ]上↗, ωπ 2πω ππ ∴[ - 2 , 3 ] ? [ - 2 , 2 ] , ωπ π ? - ≥ - ? 2 2, 3 则? 又 ω>0,得 0<ω≤4. 2πω π ? ? 3 ≤ 2, 2π 11.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(0<φ< 3 )的最小正周期为 π. (1)求当 f(x)为偶函数时 φ 的值; π 3 (2)若 f(x)的图象过点( 6, 2 ),求 f(x)的↗区间. 【解答】(1)∵f(x)的最小正周期为 π, 2π 则 T= ω =π, ∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ). 当 f(x)为偶函数时,f(-x)=f(x),

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∴sin(2x+φ)=sin(-2x+φ), 将上式展开整理得 sin2xcosφ=0, 由已知上式对? x∈R 都成立, 2π π ∴cosφ=0,∵0<φ< 3 ,∴φ=2 . π 3 (2)f(x)的图象过点( 6, 2 )时, π 3 π 3 sin(2×6 +φ)= 2 ,即 sin(3 +φ)= 2 . 2π π π 又∵0<φ< 3 ,∴3< 3+φ<π, π 2π π ∴3 +φ= 3 ,φ=3, π ∴f(x)=sin(2x+3 ). π π π 5π 令 2kπ-2 ≤2x+3≤2kπ+ 2,k∈Z,得 kπ- 12 π ≤x≤kπ+12,k∈Z, 5π π ∴f(x)的↗区间为[kπ- 12,kπ+12],k∈Z.

π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+ 6?-1>1,∴sin?2x+6 ?>2, ? ? ? ? π π 5π ∴2kπ+ 6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z, π π π 其中当 2kπ+ 6<2x+6≤2kπ+ 2,k∈Z 时, π g(x)↗,即 kπ<x≤kπ+6,k∈Z, π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z. ? ? π π 5π 又∵当 2kπ+ 2<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z 时, π π g(x)↘,即 kπ+6 <x<kπ+ 3,k∈Z. π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+ 3?,k∈Z. ? ?

12.(2015· 北京)已知函数 f(x)=sinx-2 3sin22.
(1)求 f(x)的最小正周期; ? 2π? (2)求 f(x)在区间?0, 3 ?上的最小值. ? ?

x

? π? 【解答】 (1)∵f(x)=sinx+ 3cosx- 3=2sin?x+3 ?- 3, ? ? ∴f(x)的最小正周期为 2π. 2π π π (2)∵0≤x≤ 3 ,∴3≤x+ 3≤π. π 2π 当 x+3=π,即 x= 3 时,f(x)取得最小值. ? 2π? ?2π? ∴f(x)在区间?0, 3 ?上的最小值为 f? 3 ?=- 3. ? ? ? ? π? ? *13.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+6 ?+2a+b,当 ? ? π ? ? x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. ? ? (1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2?且 lgg(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ? π ?π 7π? ? π? 【解答】(1)∵x∈?0,2?,∴2x+6 ∈?6 , 6 ?, ? ? ? ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ 6?∈?-2,1?, ? ? ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ 6?∈[-2a,a], ? ? ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得 f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? 7π? π? ? π? ? ? g(x)=f?x+ 2?=-4sin?2x+ 6 ?-1=4sin?2x+ 6?-1, ? ? ? ? ? ? 又由 lgg(x)>0,得 g(x)>1,
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