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江苏省泰州市泰兴中学2015-2016学年高一(上)12月段考数学试卷(解析版)(1)


2015-2016 学年江苏省泰州市泰兴中学高一(上)12 月段考数学 试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设集合 A={x|x2+x≤0,x∈R},则集合 A∩Z 中有 个元素. 2.函数 y=3tan( + )的最小正周期为 .

3.下列关于向量的说法中不正确的个数有 个 ①向量 与 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 = . 4.已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π) ,则 tan(π﹣x)= 5.已知 sin(2x+ )= ,则 sin( ﹣2x)+sin2( . ﹣2x)= .

6.函数 y=

的定义域为



7.不等式 log3(x+ + )≤2﹣log32 的解集为 8.已知函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0, 则 ω 的最大值为 9.已知函数 f(x)= .



]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,

是奇函数,则 sinλα=



10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式 f(1)<f(lg(2x) )的 x 的取值范围是 . 11.已知 f(x)=|x2﹣4|+x2+kx,若 f(x)在(0,4)上有两个不同的零点 x1,x2,则 k 的取值范围是 . 12.已知 x,y 均为正数,θ∈( , ) ,且满足 = , +

=

,则

的值为



13.设函数 f(x)的定义域为 D,若函数 f(x)满足条件:存在[a,b]? D,使 f(x)在[a, b]上的值域为[ , ],则称 f(x)为“倍缩函数”,若函数 f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函 数”,则 t 的范围为 .

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14.设 f(x)=x2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x) )=0,x∈R}≠?,则满足条 件的所有实数 a,b 的值分别为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 图象时,列表并填入了部分数据,如表: ωx+φ 0 x 0 5 ﹣5 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 (x)在区间[0, Asin(ωx+φ) 0 )在某一个周期内的

π



个单位长度,得到 y=g(x)图象,求出 y=g

]上的最小值和取得最小值时 x 的值.

16.如图,一个水轮的半径为 4m,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮每分钟转动 5 圈, 如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 p0)开始计算时间. (1)将点 p 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 p 第一次到达最高点大约需要多少时间?

17.已知函数 f(x)=ax2+ ,其中 a 为实数. (1)根据 a 的不同取值,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 a∈(1,3) ,判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性,并用定义证明. 18.已知函数 f(x)=lg(a﹣ax﹣x2) . (Ⅰ)若函数 f(x)存在,求 a 的取值范围. (Ⅱ) 若 f(x)在 x∈(2,3)上有意义,求 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f(x)>0 的解集为(2,3) ,求 a 的值. 19.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x2﹣2sinθx+ , (θ∈R) . (1)若 θ= ,求函数 f(x)在 x∈[﹣1,1]上的值域;

(2)若函数 f(x)在区间[﹣ , ]上是单调函数,求 θ 的取值集合;
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(3)若对任意 x1,x2,∈[2,3],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2sinθt2+8t+5 对任意 θ∈R 恒成 立,求 t 的取值范围. 20.已知 f1(x)=|3x﹣1|,f2(x)=|a?3x﹣9|(a>0) ,x∈R,且 f(x) = .

(1)当 a=1 时,求 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,若方程 f(x)﹣m=0 有 4 个不等的实根,求实数 m 的范围; (3)当 2≤a<9 时,设 f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为 l(闭区间[m, n]的长度定义为 n﹣m) ,试求 l 的最大值.

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2015-2016 学年江苏省泰州市泰兴中学高一 12 月段 (上) 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设集合 A={x|x2+x≤0,x∈R},则集合 A∩Z 中有 2 个元素. 【考点】交集及其运算;集合的表示法. 【分析】先求出集合 A,从而求出 A∩B,由此能求出集合 A∩Z 中元素的个数. 【解答】解:∵集合 A={x|x2+x≤0,x∈R}={x|﹣1≤x≤0}, ∴集合 A∩Z={﹣1,0}. ∴集合 A∩Z 中有 2 个元素. 故答案为:2.

2.函数 y=3tan( +

)的最小正周期为 2π .

【考点】正切函数的图象. 【分析】根据正切函数的图象与性质即可求出最小正周期. 【解答】解:函数 y=3tan( + )的最小正周期为:

T=

=

=2π.

故答案为:2π. 3.下列关于向量的说法中不正确的个数有 4 个 ①向量 与 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 = . 【考点】平行向量与共线向量. 【分析】直接利用向量共线与相等以及平行的关系判断选项即可. 【解答】解:①向量 与 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;不正确, 例如直线 AB∥CD.? ②单位向量都相等;不正确,单位向量的方向不一定相同,所以不正确; ③任一向量与它的相反向量不相等;例如零向量.不正确; ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 = .并且 A、B、C、D 不在一条直线上.所以 ④不正确; 故答案为:4.

4.已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π) ,则 tan(π﹣x)= ﹣
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【考点】三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系进行解答. 【解答】解:∵cos(π+x)=﹣cosx= , ∴cosx=﹣ , ∵x∈(π,2π) , ∴sinx=﹣ =﹣ ,

∴tan(π﹣x)=﹣tanx=﹣

=﹣

=﹣ .

故答案是:﹣ .

5.已知 sin(2x+

)=

,则 sin(

﹣2x)+sin2(

﹣2x)=



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】根据同角三角函数关系求得 cos2(2x+ 【解答】解:∵sin(2x+ ∴cos2(2x+ sin( )= , )= , )+cos2(2x+ )= + = . )= ,然后利用诱导公式进行化简求值.

)=1﹣sin2(2x+

﹣2x)+sin2( .

﹣2x)=sin(2x+

故答案是:

6.函数 y=

的定义域为 ( ,1) .

【考点】对数函数的值域与最值;对数函数的定义域. 【分析】根据对数函数的性质得,由 log0.5(4x﹣3)>0 且 4x﹣3>0 可解得 【解答】解:由题意知 log0.5(4x﹣3)>0 且 4x﹣3>0, 由此可解得 故答案为: ( ,1) . , ,

7.不等式 log3(x+ + )≤2﹣log32 的解集为
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【考点】指、对数不等式的解法. 【分析】把不等式两边化为同底数,然后转化为分式不等式组求解. 【解答】解:由 log3(x+ + )≤2﹣log32,得: log3(x+ + )≤log3 ,即 0<x+ + ≤ , 解得:﹣2<x< 或 x=1. .

∴不等式 log3(x+ + )≤2﹣log32 的解集为 故答案为: .

8.已知函数 y=sinωx(ω>0)在区间[0, 则 ω 的最大值为 .

]上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由条件可得 ,k∈Z,由此求得 ω 的最大值.

【解答】解:由题意知,

,即

其中 k∈Z,

故有 ω 的最大值为 . 故答案为: .

9.已知函数 f(x)= 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】利用函数 f(x)= 再利用三角函数的诱导公式即可求得答案. 【解答】解:∵f(x)=

是奇函数,则 sinλα=

1 .

是奇函数的性质可求得 λ 与 α,

是奇函数,

∴当 x<0 时,﹣x>0, ∴f(﹣x)=(﹣x)2+2015(﹣x)+sin(﹣x)=﹣f(x)=﹣[﹣x2+λx+cos(x+α)], ∴λ=2015,且 sinx=cos(α+x) ,
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∴α=2kπ﹣

(k∈Z) , )=﹣sin(﹣ )=1.

∴sinλα=sin2015(2kπ﹣ 故答案为:1.

10.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,则满足不等式 f(1)<f(lg(2x) )的 x 的取值范围是 (0, )∪(5,+∞) .

【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】根据函数是偶函数,把不等式转化成 f(1)<f(|lg(2x)|) ,就可以利用函数在 区间[0,+∞)上单调递增转化成一般的不等式进行求解. 【解答】解:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(1)<f(lg(2x) )=f(|lg(2x)|) ∵函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴|lg(2x)|>1,即 lg(2x)>1 或 lg(2x)<﹣1 解得:x>5 或 0<x< 所以满足不等式 f(1)<f(lg(2x) )的 x 的取值范围是(0, 故答案为: (0, )∪(5,+∞) . )∪(5,+∞) .

11.已知 f(x)=|x2﹣4|+x2+kx,若 f(x)在(0,4)上有两个不同的零点 x1,x2,则 k 的取值范围是 (﹣7,﹣2) . 【考点】带绝对值的函数;函数的零点. 【分析】可构造函数 g(x)=|x2﹣4|+x2(0<x<4) ,h(x)=﹣kx,作出二函数的图象, 数形结合由 k 的几何意义即可求得 k 的取值范围. 【解答】解:令 g(x)=|x2﹣4|+x2= ,h(x)=﹣kx,作图如下:

∵f(x)=|x2﹣4|+x2+kx 在(0,4)上有两个不同的零点 x1,x2,
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∴g(x)=|x2﹣4|+x2 与 h(x)=﹣kx 在(0,4)上有两个交点, 由图可知 P(2,4) ,Q(4,28) , ∴kOP=2,kOQ=7, ∴2<﹣k<7, ∴﹣7<k<﹣2. 故答案为: (﹣7,﹣2) .

12.已知 x,y 均为正数,θ∈(



) ,且满足

=



+

=

,则

的值为



【考点】基本不等式. 【分析】利用条件,求出 x= y 代入 ,化简可得结论.

【解答】解:∵

+

=



=

∴化简可得

= ,

2 =1×[ ∵cos6θ+sin6θ= (cos2θ+sin2θ) (cos4θ+sin4θ﹣sin2θcos2θ) (cos2θ+sin2θ) ﹣3sin2θcos2θ]=1 ﹣3sin2θcos2θ,

∴ ,化为 sin2θ+cos2θ=

= ,与 sin2θ+cos2θ=1 联立

解得 sin2θ= ,cos2θ= 或 sin2θ= ,cos2θ= . 由 θ∈( , ) ,得 0<cosθ< <sinθ<1 ,cosθ= ,

故取 sin2θ= ,cos2θ= ,解得 sinθ= ∴ = ,即 x= y

代入

,可得

=



故答案为:



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13.设函数 f(x)的定义域为 D,若函数 f(x)满足条件:存在[a,b]? D,使 f(x)在[a, b]上的值域为[ , ],则称 f(x)为“倍缩函数”,若函数 f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函 数”,则 t 的范围为 (0, ) . 【考点】函数的值域. 【分析】由题意得,函数是增函数,构造出方程组,利用方程组的解都大于 0,求出 t 的取 值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=log2(2x+t)为“倍缩函数”, 且满足存在[a,b]? D,使 f(x)在[a,b]上的值域是[ , ], ∴f(x)在[a,b]上是增函数;









∴方程

+t=0 有两个不等的实根,且两根都大于 0;





解得:0<t< , ∴满足条件 t 的范围是(0, ) . 故答案为: (0, ) . 14.设 f(x)=x2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x) )=0,x∈R}≠?,则满足条 件的所有实数 a,b 的值分别为 0≤a<4,b=0 . 【考点】集合关系中的参数取值问题;集合的相等. 【分析】根据已知中 f(x)=x2+ax,我们分 a=0 时和 a≠0 时,对{{x|f(x)=0,x∈R}={x|f (f(x) )=0,x∈R}≠?进行讨论,最后综合讨论结果,即可得到答案. 【解答】解:∵f(x)=x2+ax, ∴f(f(x) )=f(x)2+af(x)=(x2+ax)2+a?(x2+ax)=x4+2ax3+(a2+a)x2+a2x 当 a=0 时,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x) )=0,x∈R}={0}≠? 当 a≠0 时,{x|f(x)=0,x∈R}={0,﹣a}. 若{x|f(f(x) )=0,x∈R}={0,﹣a}, 则 f(f(﹣a) )=0 且除 0,﹣a 外 f(f(x) )=0 无实根, 2 即 x +ax+a=0 无实根
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即 a2﹣4a<0,即 0<a<4 综上满足条件的所有实数 a 的取值范围为 0≤a<4 故答案为:0≤a<4,b=0. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 图象时,列表并填入了部分数据,如表: ωx+φ 0 x 0 5 ﹣5 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 (x)在区间[0, Asin(ωx+φ) 0 )在某一个周期内的

π



个单位长度,得到 y=g(x)图象,求出 y=g

]上的最小值和取得最小值时 x 的值.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】 (Ⅰ)利用五点法作图,将表格数据补充完整,并求得函数 f(x)=Asin(ωx+φ) 的解析式. (Ⅱ)利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得 g(x)的解析式,再利用正弦函数 的定义域和值域,求得 y=g(x)在区间[0, ]上的最小值和取得最小值时 x 的值. , ,

【解答】解 (Ⅰ)根据表中已知数据可得:A=5, 解得 ωx+φ x .数据补全如下表: 0 y=sin x 0 5

π (kπ, 0) 0 k∈Z

2 π k ∈ Z 0

且函数表达式为 f(x)=5sin(2x﹣ (Ⅱ)由(Ⅰ)知

) . ,因此 ,

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在区间[0, 5.

]上,

,当

=

,即

时,函数的最小值为﹣

16.如图,一个水轮的半径为 4m,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮每分钟转动 5 圈, 如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 p0)开始计算时间. (1)将点 p 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 p 第一次到达最高点大约需要多少时间?

【考点】已知三角函数模型的应用问题. 【分析】 (1)先根据 z 的最大和最小值求得 A 和 B,利用周期求得 ω,当 x=0 时,z=0,进 而求得 φ 的值,则函数的表达式可得; (2)令最大值为 6,即 z=4sin +2=6 可求得时间.

【解答】解: (1)依题意可知 z 的最大值为 6,最小为﹣2, ∴ ? ; ,得 z=4sin ,故所求的函数关系式为 ,

∵op 每秒钟内所转过的角为 当 t=0 时,z=0,得 sinφ=﹣ ,即 φ=﹣ z=4sin (2)令 z=4sin 取 ,得 t=4, +2 +2=6,得 sin

=1,

故点 P 第一次到达最高点大约需要 4S. 17.已知函数 f(x)=ax2+ ,其中 a 为实数. (1)根据 a 的不同取值,判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 a∈(1,3) ,判断函数 f(x)在[1,2]上的单调性,并用定义证明. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的判断. 【分析】 (1)通过讨论 a 的范围,判断函数的奇偶性问题; (2)根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可.

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【解答】解: (1)当 a=0 时,f(x)= ,显然是奇函数; 当 a≠0 时,f(1)=a+1,f(﹣1)=a﹣1,f(1)≠f(﹣1)且 f(1)+f(﹣1)≠0, 所以此时 f(x)是非奇非偶函数. (2)设? x1<x2∈[1,2], 则 f(x1)﹣f(x2)=a(x1﹣x2) (x1+x2)+ =(x1﹣x2)[a(x1+x2)﹣ ],

因为 x1,x2∈[1,2],所以 x1﹣x2<0,2<x1+x2<4,1<x1x2<4, 所以 2<a(x1+x2)<12, < <1, < <2,

所以 a(x1+x2)﹣

>0,

所以 f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) , 故函数 f(x)在[1,2]上单调递增. 18.已知函数 f(x)=lg(a﹣ax﹣x2) . (Ⅰ)若函数 f(x)存在,求 a 的取值范围. (Ⅱ) 若 f(x)在 x∈(2,3)上有意义,求 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f(x)>0 的解集为(2,3) ,求 a 的值. 【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】第(Ⅰ)问是能成立问题,相当于存在实数 x,使 a﹣ax﹣x2>0 成立; 第(Ⅱ)问是恒成立问题,等价于 ?(x)=a﹣ax﹣x2>0 在(2,3)恒成立,即 ?(x)的 最小值大于 0; 第(Ⅲ)问是恰成立问题,等价于不等式 a﹣ax﹣x2>1 的解集为(2,3) ,于是有 x2+ax+1 ﹣a<0,等价于方程 x2+ax+1﹣a=0 的两个根为 2 和 3. 【解答】解: (Ⅰ) f(x)的定义域非空,相当于存在实数 x,使 a﹣ax﹣x2>0 成立, =a﹣ax﹣x2 的最大值大于 0 成立, 即? (x) 解得 a

<﹣4 或 a>0. (Ⅱ)f(x)在区间(2,3)上有意义,等价于 ?(x)=a﹣ax﹣x2>0 在(2,3)恒成立, 即 ?(x)的最小值大于 0. 解不等式组 或



解得



(Ⅲ)f(x)>0 的解集为(2,3) ,等价于不等式 a﹣ax﹣x2>1 的解集为(2,3) ;于是有 2 x +ax+1﹣a<0,
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这等价于方程 x2+ax+1﹣a=0 的两个根为 2 和 3,于是可解得 a=﹣5. 19.已知关于 x 的二次函数 f(x)=x2﹣2sinθx+ , (θ∈R) . (1)若 θ= ,求函数 f(x)在 x∈[﹣1,1]上的值域;

(2)若函数 f(x)在区间[﹣ , ]上是单调函数,求 θ 的取值集合; (3)若对任意 x1,x2,∈[2,3],总有|f(x1)﹣f(x2)|≤2sinθt2+8t+5 对任意 θ∈R 恒成 立,求 t 的取值范围. 【考点】二次函数的性质. 【分析】 (1)化简二次函数 f(x) ,利用配方法求解二次函数的值域即可. (2)化简二次函数 f(x)=(x﹣sinθ)2+ ﹣sin2θ,通过函数的单调性,推出函数单调减 时 sinθ≥ ,单调增时 sinθ≤﹣ ,求解即可. (3)判断函数在[2,3]上单调递增,求出最值,得到|f(x1)﹣f(x2)|的最值,推出不等 式求解 t 即可. 【解答】解: (1)二次函数 f(x)=x2﹣2sinθx+ ,θ= 可得:f(x)=x2﹣x+ =(x﹣ )2∈[0, ]. 函数的值域为:[0, ]. (2)由题意二次函数 f(x)=x2﹣2sinθx+ =(x﹣sinθ)2+ ﹣sin2θ, 函数 f(x)在区间[﹣ , ]上是单调函数, ∴函数单调减时 sinθ≥ ,单调增时 sinθ≤﹣ , ,

. (3)因为对称轴 x=sinθ≤1,所以函数在[2,3]上单调递增, 从而|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min =f(3)﹣f(2) . =5﹣2sinθ≤2sinθt2+8t+5,所以(1+t2)sinθ+4t≥0,对任意 θ∈R 恒成立, 即 所以 t2﹣4t+1≤0,则 t 的取值范围: ,



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20.已知 f1(x)=|3x﹣1|,f2(x)=|a?3x﹣9|(a>0) ,x∈R,且 f(x) = .

(1)当 a=1 时,求 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,若方程 f(x)﹣m=0 有 4 个不等的实根,求实数 m 的范围; (3)当 2≤a<9 时,设 f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为 l(闭区间[m, n]的长度定义为 n﹣m) ,试求 l 的最大值. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用;指数函数综合题. 【分析】 (1)当 a=1 时,根据函数 f1(x)和函数 f2(x)的解析式以及条件 f(x) = 可得 f(x)的解析式.

(2)在(1)的条件下,由题意可得,函数 y=f(x)与直线 y=m 有 4 个不同的交点,数形 结合可得实数 m 的范围. (3)由于 2≤a<9,分 x≥ 时、当 0≤x≤ 时、当 x<0 时,分别由 f2(x)

﹣f1(x)≤0 求得 x 的范围,再把所得的 x 的范围取并集,从而得到区间长度 l 的解析式, 再根据函数的单调性求得 l 的最大值. 【解答】解: (1)当 a=1 时,f1(x)= ∴当 x=log35 时,f1(x)=f2(x) . ,f2(x)= ,

∴f(x)=



(2)在(1)的条件下,若方程 f(x)﹣m=0 有 4 个不等的实根,则函数 y=f(x)与直线 y=m 有 4 个不同的交点. 数形结合可得,0<m<1,故实数 m 的范围是(0,1) . (3)由于 2≤a<9,当 x≥ 时,∵a?3x﹣9≥0,3x﹣1>0, ,

∴由 f2(x)﹣f1(x)=(a?3x﹣9)﹣( 3x﹣1)≤0 可得 x≤ 从而当 当 0≤x≤ ≤x≤ 时,f(x)=f2(x) .

时,∵a?3x﹣9<0,3x﹣1≥0, ,

∴由 f2(x)﹣f1(x)=﹣(a?3x﹣9)﹣( 3x﹣1)=10﹣(a+1)3x≤0 解得 x≥ 从而当 ≤x≤ 时,f(x)=f2(x) .
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当 x<0 时,由 f2(x)﹣f1(x)=﹣(a?3x﹣9)﹣(1﹣3x)=8﹣(a﹣1)3x>0,故 f(x) =f2(x) 一定不成立. 综上可得,当且仅当 x∈[ 故 l= ﹣ = . , ]时,有 f(x)=f2(x) 一定成立. ,

从而当 a=2 时,l 取得最大值为

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2016 年 12 月 5 日

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