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2013届高中数学总复习阶段性测试题6 不等式 新人教A版必修1


阶段性测试题六(不等式)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1 1 1.(文)(2011· 湖南桃江四中)若 a>b≥2,给定下列不等式① <

;②a+b≥2 ab;③ab>a+b; a b ④loga3>logb3.其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] D [解析] ∵a>b≥2,∴①、②显然正确,又 ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1>(2-1)(2-1)-1=0, ∴③也正确,根据对数函数的性质知,④不正确. 2 3 (理)(2011· 山东莱芜阶段测试)已知 a>0,b>0,且 2a+3b=1,则 + 的最小值为( a b A.24 B.25 [答案] B [解析] ∵a>0,b>0,2a+3b=1, 2 3 2 3 ∴ + =?a+b?(2a+3b) ? a b ? 6b 6a =13+ + ≥13+2 a b 6b 6a · =25 a b C.26 D.27 )

1 等号在 a=b= 时成立, 5 2 3 ∴ + 的最小值为 25. a b 2.(文)(2011· 湖北宣城一中月考)若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式 中值最大的是( ) A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 [答案] A 1 2 5 1 4 1 [解析] 特殊值法,取 a1=b1= ,a2=b2= ,则 a1b1+a2b2= > ,a1a2+b1b2= < ,a1b2 3 3 9 2 9 2 4 1 +a2b1= < ,故选 A. 9 2 a a (理)(2011· 辽宁铁岭六校联考)设 a>0,点集 S 的点(x,y)满足下列所有条件:① ≤x≤2a;② 2 2 ≤y≤2a;③x+y≥a;④x+a≥y;⑤y+a≥x.则 S 的边界是一个有几条边的多边形( A.4 B.5 C.6 D.7 [答案] C [解析] 作出不等式组表示的平面区域如图可知,它是一个六边形. ) 1 D. 2

1

3.(文)(2011· 福建龙岩质检)已知集合 M={x| x+1≥0},集合 N={x|x2+x-2<0},则 M∩N =( ) A.{x|x≥-1} B.{x|x<1} C.{x|-1<x<1} D.{x|-1≤x<1} [答案] D [解析] M={x|x≥-1},N={x|-2<x<1}, ∴M∩N={x|-1≤x<1},∴选 D. (理)若 a、b、c、d、x、y 是正实数,且 P= ab+ cd,Q= ax+cy· A.P=Q C.P≤Q [答案] C [解析] Q= ax+cy· B.P≥Q D.P>Q b d + = x y adx bcy ab+cd+ + y x b d + ,则( x y )

≥ ab+cd+2 abcd= ab+ cd=P. 4.(文)(2011· 山东济南调研)设 a>1,且 m=loga(a2+1),n=loga(a-1),p=loga(2a),则 m, n,p 的大小关系为( ) A.n>m>p B.m>p>n C.m>n>p D.p>m>n [答案] B [解析] ∵a>1,∴a2+1>2a>a-1,∴loga(a2+1)>loga(2a)>loga(a-1),即 m>p>n. [点评] 指对函数的单调性常常与不等式的性质结合命题考查,解决这类问题,要特别注意 不等式性质运用中条件的把握, 以及 0<a<1 与 a>1 时 y=ax(或 y=logax)单调性的区别. 请再 练习下题: 设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( ) A.ab<b2<1 1 1 B.log b<log a<0 2 2

C.2b<2a<2 D.a2<ab<1 [答案] C [解析] A 中,∵b<a,∴b2<ab,不正确. 1 B 中,函数 y=log x 为减函数, 2 1 1 ∴log b>log a,B 不正确. 2 2

2

C 中,函数 y=2x 为增函数,由 b<a<1, ∴2b<2a<21,C 正确. D 中,由 b<a,∴a2>ab,不正确.
? ?2ex-1,x<2, (理)设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>2 的解集是( ? ?log3?x2-1?,x≥2,

)

A.(1,2)∪(3,+∞) C.(1,2)∪( 10,+∞) [答案] C

B.( 10,+∞) D.(1,2)

[解析] 当 x<2 时,由 2ex-1>2 得,x>1,∴1<x<2;当 x≥2 时,由 log3(x2-1)>2,得 x> 10 或 x<- 10,∴x> 10.∴不等式 f(x)>2 的解集是(1,2)∪( 10,+∞).故选 C.

?x+y≤2 ? 5. (文)(2011· 巢湖质检)二元一次不等式组?x≥0 所表示的平面区域与圆面 x2+(y-2)2≤2 ?y≥0 ?
相交的公共区域的面积为( π A. 8 [答案] B π [解析] 画出可行域如图△OAB,它与圆面相交的公共区域为扇形 BEF,∵∠OBA= ,圆半 4 径为 2, 1 π π ∴扇形面积为 S= × × 2)2= . ( 2 4 4 π B. 4 ) π C. 2 D.π

(理)(2011· 天津河西区质检)已知点 A(3, 3),O 是坐标原点,点 P(x,y)的坐标满足

? 3x-y≤0 ? ?x- 3y+2≥0 ?y≥0 ?
A.[-3,3] C.[- 3,3] [答案] B

→ → ,设 z 为OA在OP上的投影,则 z 的取值范围是(

)

B.[- 3, 3] D.[-3, 3]

→ → → → → [解析] OA在OP上的投影为 z=|OA|cos〈OA,OP〉 , π → → → → → ∵|OA|=2 3为定值,∴z 的取值范围取决于〈OA,OP〉的大小,由图知, 〈OA,OP〉∈[ , 3

3

5π ],∴z∈[- 3,3],故选 B. 6

6.(文)(2011· 广东佛山质检)已知 x>0、y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比数 ?a+b?2 列,则 的最小值是( cd ) D.4

A.0 B.1 C.2 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 ?a+b?2 ?x+y?2 x y = = + +2≥2 cd xy y x

yx ·+2=4.当且仅当 x=y 时取等号. xy 2 , P=logca, N=logcb, M=logcab, a+b

(理)(2011· 四川成都期末)已知 a>b>0, ab=1, c= 且 设 则有( ) A.P<M<N B.M<P<N C.N<P<M D.P<N<M [答案] A [解析] 因为 a>b>0,且 ab=1,所以 a>1,0<b<1,

2 a+b>2 ab=2,c= <1,所以 logca<logcab<logcb, a+b 即 P<M<N,选 A. 1-x 7.(文)已知向量 a=(x-1,1),b=(1, ),则|a+b|的最小值是( x A.1 [答案] B B. 2 C. 3 1 x2+ ≥ x2 D.2 1 x2· = 2,x=± 时取等号,故|a+ 1 x2 )

1 [解析] a+b=(x, ),所以|a+b|= x b|的最小值是 2,故选 B.

2

2 3 1 (理)(2011· 宝鸡市法门高中月考)若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)满足 f( )>f( ),则 f(1- )>1 的 a a x 解集是( ) 1 B.{x|0<x< } 1-a 1 D.{x|1<x< } 1-a 1 A.{x|0<x< } a 1 C.{x|1<x< } a [答案] D

4

2 3 2 3 [解析] 若 a>1,则 < ,而函数 f(x)=logax 递增,所以应有 f( )<f( ),与条件不符,所以必 a a a a 有 1 1 1 0<a<1,这时函数 f(x)=logax 递减,由 f(1- )>1 可得 0<1- <a,解得 1<x< ,故选 D. x x 1-a

?2x+y≥4 ? 8.(2011· 西安远东一中月考)设 x,y 满足?x-y≥-1 ?x-2y≤2 ?
A.有最小值 2,最大值 3 B.有最小值 2,无最大值 C.有最大值 3,无最小值 D.既无最小值,也无最大值 [答案] B

,则 z=x+y(

)

?2x+y≥4 ? [解析] 作出不等式组?x-y≥-1 ?x-2y≤2 ?
小值 zmin=2,无最大值.

表示的平面区域如图,由图可知 z=x+y 在点 A 处取最

9. (文)(2011· 南昌三中月考)若函数 f(x)=x2+ax+b 有两个不同的零点 x1, 且 1<x1<x2<3, x2, 那么在 f(1),f(3)两个函数值中( ) A.只有一个小于 1 B.至少有一个小于 1 C.都小于 1 D.可能都大于 1 [答案] B [解析] 当函数图象关于直线 x=2 对称时,a=-4,∵Δ=16-4b>0,∴b<4.∵f(x)=x2-4x +b,∴f(1)-1=f(3)-1=b-4<0,故 f(1),f(3)两个函数值都小于 1;当函数图象不关于直 线 x=2 对称时,f(1),f(3)两个函数值中至少有一个小于 1.

?x-y≤0 ? (理)(2011· 辽宁沈阳二中检测)已知?x+y≥0 ,若 z=x+2y 的最大值是 3,则 a 的值是( ?y≤a ?
A.1 [答案] A B.-1 C.0 D.2

)

x z [解析] 画出可行域如图,∵z=x+2y 的最大值为 3,∴y=- + 经过可行域内的点 A(a, 2 2 a)时,z 取到最大值 3,∴a+2a=3,∴a=1.

5

10.(2010· 汕头模拟)在 R 上定义运算:x*y=x(1-y).若不等式(x-a)*(x+a)<1 对任意实数 x 恒成立,则( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 1 3 C.- <a< 2 2 3 1 D.- <a< 2 2

[答案] C [解析] 由运算“*”的定义知,(x-a)*(x+a)<1 可化为(x-a)(1-x-a)<1, 即 x2-x-a2+a+1>0 对任意实数 x 恒成立, 1 3 ∴Δ=1-4(-a2+a+1)<0,∴- <a< . 2 2 → → 11.(2011· 蚌埠二中质检)已知 M 是△ABC 内的一点,且AB· =2 3,∠BAC=30° AC ,若△ 1 1 4 MBC,△MCA 和△MAB 的面积分别为 ,x,y,则 + 的最小值是( 2 x y A.20 [答案] B B.18 C.16 D.9 )

3→ → → → → → → → [解析] 由条件知,AB· =|AB|· |· AC |AC cos∠BAC= |AB|· |=2 3,∴|AB|· |=4, |AC |AC 2 1→ → 1 ∴S△ABC= |AB|· |· |AC sin30° =1,∴x+y+ =1, 2 2 1 ∴x+y= (x>0,y>0), 2 1 4 y 4x 1 4 y 4x 1 ∴ + =2?x+y?(x+y)=2?5+x+ y ?≥18,等号在 = ,即 y=2x 时成立,∵x+y= ,∴x ? ? ? x y ? x y 2 1 1 1 4 = ,y= 时, + 取最小值 18. 6 3 x y 12.(文)(2011· 巢湖市质检)定义在 R 上的函数 f(x)对?x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0, 若函数 f(x+1)为奇函数,则不等式 f(1-x)<0 的解集为( ) A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,1) [答案] C [解析] 由条件知 f(x)在 R 上单调递减,∵f(x+1)为奇函数,∴f(1)=0,∴不等式 f(1-x)<0 化为 f(1-x)<f(1),∴1-x>1,∴x<0. [点评] 如果 x=0 在函数 F(x)定义域内,F(x)为奇函数,则必有 F(0)=0,∵F(x)=f(x+1)为

6

奇函数,∴有 F(0)=f(1)=0. (理)(2011· 江西新余一中月考)设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,且 f(1)=0,则不等式 f?x-f?-x? ? <0 的解集为( x )

A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) [答案] D f?x-f?-x? 2f?x? ? [解析] 由函数 f(x)为奇函数可知 = <0,而 f(1)=0,则 f(-1)=-f(1)=0. x x
?x>0 ?x<0 ∴不等式化为? 或? , ?f?x?<0 ?f?x?>0 ? ?x>0 ?x<0 即? 或? . ?f?x?<f?1? ? ?f?x?>f?-1?

又 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 则奇函数 f(x)在(-∞, 0)上也为增函数, 所以 0<x<1 或-1<x<0. 故选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上.)

?2x+y-2≥0 ? 13.(2010· 北京东城区调研)已知实数 x 和 y 满足?x-2y+4≥0 ?3x-y-3≤0 ?

,则 z=x+y 的最大值为

________. [答案] 5 [解析] 作出可行域如图,当 z=x+y 经过可行域内点 A(2,3)时,z 取最大值 5.

x≥0 ?1 ? 14.(文)(2011· 咸阳市模拟)已知函数 f(x)= ? ,则不等式(x+1)f(x)<x 的解集是 ? ?-1 x<0 ________. 1 [答案] ?-2,0? ? ?

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?x≥0 ? [解析] 不等式(x+1)f(x)<x 化为? ?x+1<x ? ? ?x<0 1 或? ,∴- <x<0. 2 ? ?-?x+1?<x ?1,a<b, ? (理)(2011· 江西弋阳一中月考)在两个实数间定义一种运算“#”,规定 a#b=? 则方 ? ?-1,a≥b,

1 程?x-2?#2=1 的解集是______. ? ? 1 [答案] ?4,+∞? ? ? 1 1 [解析] 由题知?x-2?<2,∴-2< -2<2, ? ? x 1 ∴x> . 4

?x≥0 ? 15. (2011· 天津五中模拟)若不等式组?x+3y≥4 ?3x+y≤4 ?
相等的两部分,则 k 的值是________. [答案] 7 3

4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积 3

[解析] 由题目所给的不等式组可知,其表示的平面区域如右图所示,这 4 里直线 y=kx+ 只需经过线段 AB 的中点 D 即可,此时 D 点的坐标为 3

?1,5?,代入可得 k=7. ?2 2? 3
a2 b2 ?a+b?2 16.(2011· 豫南九校联考)若 a,b 是正常数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则 + ≥ ,当且 x y x+y a b 2 9 1 仅当 = 时上式取等号.利用以上结论,可以得到函数 f(x)= + (x∈(0, ))的最小值 x y x 1-2x 2 为________. [答案] 25 ?2+3?2 4 9 2 3 1 [解析] 依据给出的结论可知 f(x)= + ≥ =25 等号在 = ,即 x= 时 2x 1-2x 2x+?1-2x? 2x 1-2x 5 成立. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)(文)(2011· 四川广元诊断)已知 x∈[0,1]时, 不等式 x2cosθ-x(1-x)+(1 -x)2sinθ>0 恒成立,试求 θ 的取值范围. [解析] 由题意知:x=0 或 x=1 时,原不等式成立 即 sinθ>0,cosθ>0,∴θ 在第一象限, ∵x∈(0,1)时,x2cosθ+(1-x)2sinθ≥2x(1-x) sinθcosθ,

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∴原不等式成立,只须 2x(1-x) sinθcosθ-x(1-x)>0 注意到 x(1-x)>0,∴2 sinθcosθ>1 1 ∴sin2θ> 2 π 5π ∴kπ+ <θ<kπ+ (k∈Z), 12 12 π 5π ∴θ 的取值范围应是?kπ+12,kπ+12?,k∈Z. ? ? (理)(2011· 山东淄博一中期末)已知 P: 关于 x 的方程 x2+(m-1)x+1=0 在区间(0,2)上有两个 1 相异的零点;Q:函数 g(x)= x3+mx+m 在(-∞,+∞)上有极值.若 P 和 Q 有且只有一个 3 正确,求 m 的取值范围. [解析] 设 f(x)=x2+(m-1)x+1,若 P 正确,则

?0<-m-1<2 ? 2 由题意知? ? ?f?f?0=1>0 m-1?+1>0 ? 2=4+2? ?
Δ=?m-1?2-4× 1>0 3 解得- <m<-1 2



g′(x)=x2+m, (1)若 m≥0,则 g′(x)≥0 恒成立,即 g(x)在(-∞,+∞)为增函数,无极值; (2)若 m<0,则令 g′(x)=x2+m≥0 得 x≤- -m或 x≥ -m,令 g′(x)=x2-m≤0,得- -m ≤x≤ -m 即函数 g(x)在(-∞,- -m]及[ -m,+∞)上为增函数,在[- -m, -m]上为减函数, 故 x=- -m及 x= -m是 g(x)的极值点. 由(1)、(2)知,当 m<0 时,函数 g(x)有极值点. 3 ∵P 和 Q 有且只有一个正确,则 m 的范围是(-∞,- ]∪[-1,0). 2 18. (本小题满分 12 分)(文)(2011· 福建师大附中月考)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a、 b∈R), g(x) =2x2-4x-16, (1)求不等式 g(x)<0 的解集; (2)若|f(x)|≤|g(x)|对 x∈R 恒成立,求 a、b; (3)在(2)的条件下,若对一切 x>2,均有 f(x)≥ (m+2)x-m-15 成立,求实数 m 的取值范围. [解析] (1)g(x)=2x2-4x-16<0, ∴(x+2)(x-4)<0,∴-2<x<4. ∴不等式 g(x)<0 的解集为{x|-2<x<4}. (2)∵|x2+ax+b|≤|2x2-4x-16|对 x∈R 恒成立, ∴当 x=4,x=-2 时成立,
? ? ?|16+4a+b|≤0 ?16+4a+b=0 ∴? ,∴? , ?|4-2a+b|≤0 ?4-2a+b=0 ? ? 9

? ?a=-2 ∴? . ?b=-8 ?

(3)由(2)知,f(x)=x2-2x-8. ∴x2-2x-8≥(m+2)x-m-15 即 x2-4x+7≥m(x-1). ∴对一切 x>2,均有不等式 而

(x>2),

x2-4x+7 ≥m 成立. x-1

x2-4x+7 4 =(x-1)+ -2 x-1 x-1 ?x-1?· 4 -2=2(当 x=3 时等号成立) ?x-1?

≥2

∴实数 m 的取值范围是(-∞,2]. [点评] (2)问中抓住|f(x)|≤|g(x)|恒成立,特别地 g(x)=0 时|f(x)|≤0 恒成立,|f(x)|≥0,从而 f(x) =0 是解题的关键. 2-x (理)(2011· 黄冈市期末)已知函数 f(x)= . x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为减函数; (2)是否存在负数 x0,使得 f(x0)=3x0 成立,若存在求出 x0;若不存在,请说明理由. [解析] (1)任取 x1,x2∈(-1,+∞),且 x1<x2, 2-x1 2-x2 3x2-3x1 ∵f(x1)-f(x2)= - = >0, x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ∴函数 f(x)在(-1,+∞)上为减函数. (2)不存在 假设存在负数 x0,使得 f(x0)=3x0 成立,则∵x0<0, 2-x0 ∴0<3x0<1,即 0<f(x0)<1,∴0< <1, x0+1

?-1<x0<2 ?-1<x0<2 ? ? ∴?-2x0+1 ?? 1 ? ? x0+1 <0 ?x0<-1或x0>2 ?
1 ? <x0<2 与 x0<0 矛盾, 2 所以不存在负数 x0,使得 f(x0)=3x0 成立. [点评] (2)可另解如下: 3 f(x)=-1+ ,由 x0<0 得:f(x0)<-1 或 f(x0)>2 但 0<3x0<1,所以不存在. x+1 19.(本小题满分 12 分)(2011· 浙江杭州二中期中)设抛物线 C1?y =x2-2x+2 与抛物线 C2?y =-x2+ax+b 在它们的一个交点处的切线互相垂直. (1)求 a、b 之间关系. (2)若 a>0,b>0,求 ab 的最大值. [解析] (1)设交点为(x0,y0) 由 y=x2-2x+2 得 y′=2x-2 ∴曲线 C1 在(x0,y0)处的切线斜率为 k1=2x0-2

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由 y=-x2+ax+b 得 y′=-2x+a ∴曲线 C2 在(x0,y0)处的切线斜率为 k2=-2x0+a 由 k1· k2=-1 得(2x0-2)(-2x0+a)=-1 ∴4x2-2(a+2)x0+2a-1=0① 0
? 0 ?y0=x2-2x0+2 又? ,∴2x2-(a+2)x0+2-b=0② 0 ? 0 ?y0=-x2+ax0+b

由①②得 2a+2b-5=0 5 (2)∵2a+2b-5=0 ∴a+b= 2 a+b 25 ∵a>0,b>0,∴ab≤( )2= 2 16 5 当且仅当 a=b= 时取“=”号. 4 20. (本小题满分 12 分)(文)(2011· 蚌埠二中期末)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元, 1 每生产 x 千件,需另投入成本为 C(x),当年产量不足 80 千件时,C(x)= x2+10x(万元);当 3 10000 年产量不小于 80 千件时, C(x)=51x+ -1450(万元). 通过市场分析, 若每件售价为 500 x 元时,该厂当年生产的该产品能全部销售完. (1)写出年利润 L(x)(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一产品的生产中所获利润最大,最大利润是多少? [解析] 500× 1000x ?1 1 (1)当 0<x<80(x∈N)时,L(x)= -?3x2+10x?-250=- x2+40x-250. ? 10000 3 当 x≥80(x∈N)时,L(x)= 1 10000 10000 50× 1000x ? -?51x+ x -1450?-250=1200-?x+ x ?, ? ? ? 10000 ?0<x<80,x∈N*? ?x≥80,x∈N*?

?-3x2+40x-250 ∴L(x)=? 10000 ?1200-?x+ x ? ? ?

1 (2)当 0<x<80,x∈N*时,L(x)=- (x-60)2+950, 3 ∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950, 当 x≥80,x∈N*时, 10000 ∵L(x)=120-?x+ x ?≤1200-2 ? ? 10000 x· =1200-200=1000, x

10000 ∴当且仅当 x= ,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1000>950. x 综上所述,当 x=100 时 L(x)取得最大值 1000,即年产量为 100 千件时,该厂在这一商品的 生产中所获利润最大. (理)(2011· 厦门期末质检)某人要建造一间地面面积为 24m2、墙高为 3m,一面靠旧墙的矩形 房屋.利用旧墙需维修,其它三面墙要新建,由于地理位置的限制,房子正面的长度 x(单位: m)不得超过 a(单位:m)(其平面示意图如下).已知旧墙的维修费用为 150 元/m2,新墙的造价

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为 450 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5400 元(不计门、窗的造价).

(1)把房屋总造价 y(单位:元)表示成 x(单位:m)的函数,并写出该函数的定义域; (2)当 x 为多少时,总造价最低?最低总造价是多少? [解析] (1)依题意得: 24 y=3x(150+450)+ × 3× 2× 450+5400 x 36 =1800?x+ x ?+5400(0<x≤a) ? ? 36 (2)y=1800?x+ x ?+5400≥1800×2 ? ? 36 当且仅当 x= ,即 x=6 时取等号 x 当 a>6 时,在 x=6 时总进价最低,最低总造价是 27000 元. 36 当 a≤6 时,则 y′=1800?1-x2? ? ? 36 ∴当 0<x≤a 时,y′<0,故函数 y=1800?x+ x ?+5400 在(0,a]上是减函数, ? ? ∴当 x=a 时,y 有最小值,即最低总造价为 36 1800?a+ a ?+5400 元 ? ? 答:当 a>6 时,x=6 总造价最低,最低总造价是 27000 元; 当 a≤6 时,x=a 总造价最低,最低总造价为 36 1800?a+ a ?+5400 元. ? ? 2-x 21.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 黄冈市期末)已知函数 f(x)= . x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为减函数; (2)是否存在负数 x0,使得 f(x0)=3x0 成立,若存在求出 x0;若不存在,请说明理由. [解析] (1)任取 x1,x2∈(-1,+∞),且 x1<x2, 2-x1 2-x2 3x2-3x1 ∵f(x1)-f(x2)= - = >0, x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ∴函数 f(x)在(-1,+∞)上为减函数. (2)不存在 假设存在负数 x0,使得 f(x0)=3x0 成立,则∵x0<0, 2-x0 ∴0<3x0<1,即 0<f(x0)<1,∴0< <1, x0+1 36 x· +5400=21600+5400=27000 x

?-1<x0<2 ?-1<x0<2 ? ? ∴?-2x0+1 ?? 1 ?x0<-1或x0>2 ? x0+1 <0 ? ?
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1 ? <x0<2 与 x0<0 矛盾, 2 所以不存在负数 x0,使得 f(x0)=3x0 成立. [点评] (2)可另解如下: 3 f(x)=-1+ ,由 x0<0 得:f(x0)<-1 或 f(x0)>2 但 0<3x0<1,所以不存在. x+1 (理)(2011· 北京市朝阳区期末)已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数,a≠0,x∈R). (1)若函数 f(x)的图象过点(-1,0),且方程 f(x)=0 有两个相等的实数根,求 f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围;
?f?x? x>0, ? (3)若 F(x)=? 当 mn<0,m+n>0,a>0,且函数 f(x)为偶函数时,试判断 F(m)+ ? ?-f?x? x<0,

F(n)能否大于 0? [解析] (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0. ∵方程 f(x)=0 有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4a=0. ∴b2-4(b-1)=0.∴b=2,a=1. ∴f(x)=(x+1)2. (2)∵g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1 ?k-2?2 k-2? =?x- 2+1- . 4 2 ? ? k-2 k-2 所以当 ≥2 或 ≤-2 时, 2 2 即 k≥6 或 k≤-2 时,g(x)是单调函数. (3)f(x)为偶函数,所以 b=0.所以 f(x)=ax2+1.
? x>0, ?ax2+1 所以 F(x)=? ? ?-ax2-1 x<0.

因为 mn<0,不妨设 m>0,则 n<0. 又因为 m+n>0,所以 m>-n>0. 所以|m|>|-n|. 此时 F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+1-an2-1=a(m2-n2)>0. 所以 F(m)+F(n)>0. 22.(本小题满分 12 分)(文)(2011· 广西希望高中质检)为 2008 年奥运会的召开,某工艺品加工 厂生产了具有收藏价值的奥运会标志——“中国印· 舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福 娃”.该厂所用的主要原料为 A、B 两种贵金属,已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原 料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒 和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1200 元,该厂月初一 次性购进原料 A、B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各 多少套才能使该厂月利润最大,最大利润为多少? [解析] 设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别 x,y 套,月利润为 z 元,由题意得

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?4x+5y≤200 ?3x+10y≤300 ?x≥0 ?y≥0 ?



目标函数为 z=700x+1200y. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域,如图:

7 z 目标函数可变形为 y=- x+ , 12 1200 4 7 3 ∵- <- <- , 5 12 10 ∴当 y=- 7x z + 通过图中的点 A 时,z 最大. 12 1200

?4x+5y=200 ? 解? ,得点 A 坐标为(20,24), ? ?3x+10y=300

将点 A(20,24)代入 z=700x+1200y 得 zmax=700× 20+1200× 24=42800 元. 答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20,24 套时月利润最大,最大利润为 42800 元. (理)(2011· 河南焦作一中月考)要将甲、乙两种大小不同的钢板截成 A、B 两种规格,每张钢板 可同时截得 A、B 两种规格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 甲 乙 A 2 1 B 1 3

已知库房中现有甲、乙两种钢板的数量分别为 5 张和 10 张,市场急需 A、B 两种规格的成品 数分别为 15 块和 27 块. (1)问各截这两种钢板多少张可得到所需的成品数,且使所用的两种钢板的总张数最少? (2)有 5 个同学对线性规划知识了解不多,但是画出了可行域,他们每个人都在可行域的整点 中随意取出一解,求恰好有 2 个人取到最优解的概率. [解析] 设需截甲、乙两种钢板的张数分别为 x、y 则

?2x+y≤15, ?x+3y≥27, ?0≤x≤5, ?0≤y≤10, ?

作出可行域如图

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(1)因为目标函数为 z=x+y(x、y 为整数),所以在一组平行直线 x+y=t(t 为参数)中,经过可 行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x+y=12,其经过的整点是(3,9)和(4,8),它们都是 最优解. 1 (2)因为可行域内的整点个数为 8 个,而最优解有两个,所以每个人取得最优解的概率为 .所 4 1 3 135 以 5 个人中有 2 个人取到最优解的概率为 C3?4?2?4?3= . 5? ? ? ? 512 答:两种钢板的张数分别为 3、9 或 4、8. 135 5 个人中恰好有 2 个人取到最优解的概率为 . 512

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