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汕头市2013届高三4月模拟考试数学(理科)


汕头市 2013 届高三 4 月模拟考试 理科数学
本试卷共页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题 共 40 分)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。请将答案填在答题卡上。 1.
A. C.

/>集合 A ? ? y ? R | y ? lg x, x ? 1 , B ? ?2, ?1,1,2? 则下列结论正确的是 ?

?

A ? B ? ??2, ?1?
A ? B ? (0, ??)

B.

(CR A) ? B ? (??,0)

D.

(CR A) ? B ? ??2, ?1?

2.
A.

若 (ax ? 1) 5 的展开式中 x 3 的系数是 80 ,则实数 a 的值是

?2

B.

2 2

C.

3

4

D.

2

3.
A.

设 a ? R ,且 (a ? i)2 i 为正实数,则 a ?

2

B.

1

C.

0

D.

?1

4.

已知命题 p : a, b ? (0, ??) , a ? b ? 1 时, ? 当 ? 恒成立,则下列命题是假命题的是

1 a

1 ?3; 命题 q : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 b

A.

(?p) ? (?q)

B.

(?p) ? (?q)

C.

(?p) ? q

D.

(?p) ? q

5.
A.

正项等比数列 {an } 满足 a3 ? 1 , S3 ? 13 , bn ? log3 an ,则数列 {bn } 的前 10 项和是

6.
A.

?25 ??? ??? ? ? ??? ? 已知 O, A, B 是平面上的三个点, 直线 AB 上有一点 C , 满足 2 AC ? CB ? 0 , OC ? 则 65
B. C.

?65

25

D.

??? ??? ? ? 2OA ? OB

B.

??? ? ??? ? ?OA ? 2OB

C.

? ? 2 ??? 1 ??? OA ? OB 3 3

D.

? ? 1 ??? 2 ??? ? OA ? OB 3 3

7.

? x ? y ? 1≥ 0, ? x?2 y 若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3 的最小值是 ? x ≤ 0, ?
0
B.

A.

1

C.

3

D.

9

1

8.

(?3 ? x ? 0) ?kx ? 1, ? 函数 y ? ? 8? 的图象如下图,则 ?2 sin(?x ? ? ), (0 ? x ? 3 ) ?
1 1 ? k ? ,? ? ,? ? 3 2 6 1 1 ? k ? ,? ? ,? ? 3 2 3 1 ? k ? ? , ? ? 2, ? ? 3 6
k ? ?3, ? ? 2, ? ?

A.
B.

C.
D.

?

3

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分)
二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请将答案填在答 题卷上。 (一)必做题(9~12 题) 9. 请写出下面运算输出的结果_____________.

a?5 b?3 c ? ( a ? b) / 2 d ? c?c PRINT " d ? "; d
10. 从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法共有________________种. 11. 过点 M (1, 2) 的直线 l 与圆 C : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 交于 A, B 两点, C 为圆心,当
2 2

?ACB 最小时,直线 l 的方程是_____________.
12. 观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有_______个小正方形,第 n 个图中 有 _______________个小正方形.

??
2

(二)选做题(13~15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,极点到曲线 ? cos( 是_____________. 14. (不等式选讲选做题)若 a、 b 为正实数, a ? b ? 3 ,则 1 ? a ? 1 ? b 的最大值是 _____________. 15. (几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB 的延长线 与弦 CD 的延长线相交于点 P ,点 E 是⊙O 上一点,

?
4

? ? ) ? 2 2 的距离

E

AE ? AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 ,则
PF ? _____________.

A

F

B
D

P

C
三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。见答题卷。 16.(本小题满分 12 分)
2 在 ?ABC 中,已知角 A 、 B 、 C 所对的三条边分别是 a 、 b 、 c ,且 b ? a ? c .

(1)求证: 0 ? B ?

?

3 1 ? sin 2 B (2)求函数 y ? 的值域. sin B ? cos B



17.(本小题满分 14 分) 某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味 性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选手 累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则 被淘汰.已知选手甲答题的正确率为

2 . 3

(1)求选手甲可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

3

18.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, S n ? n ? N ? 均在函数 y ? 3x 2 ? 2 x 的图像上. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

(2)设 bn ?

m 3 , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的 20 a n a n ?1

最小正整数 m .

19.(本小题满分 14 分)
2 已知抛物线 C : x ?

1 y ,过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. 2

(1)求证: OA ? OB 为定值; (2)设 M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N ,证明:抛物线 C 在 点 N 处的切线与 AB 平行.

??? ??? ? ?

4

20.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 3a ? ?

1 ? a ? 0, a ? R ? . 2

(1)求函数 y ? f ? x ? 的极值; (2)若函数 y ? f ? x ? 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A? 2, 0? 、 B ? ?2, 0? , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 的

3 4 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
斜率之积为 ? .

?1 ? (2)过点 ? , 0 ? 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求直线 MA 的 ?2 ?
斜率 k 的取值范围.

5

参考答案
一、选择题: DDDB DABA 二、填空题: 9. d ? 16 ; 10. 140 ; 11. x ? y ? 3 ? 0 ; 12. 28 、 13. 2 2 ; 14. 10 ; 15. 3 ; 三.解答题: 16.(1)? b 2 ? a ? c 由余弦定理得 cos B ? 又 b ? (0, ? ) (2)y ?

(n ? 1)( n ? 2) ; 2

a 2 ? c 2 ? b 2 2ac ? ac 1 ? ? 2ac 2ac 2

----------------------(3 分)

?0 ? B ?

?
3

-----------------------------(2 分)

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ? ? ? cos B ? sin B ? 2 sin(B ? ) ----- 4 分) ( sin B ? cos B sin B ? cos B 4

?0 ? B ?

?
3

?

?
4

? B?

?
4

?

?1 ? 2 s i nB ? (

?
4

7? 12

) ? 2 ,即:函数的值域是 (1, 2 ] ----------------------- 3 分) ( 2 3

3 17.(1)选手甲答 3 道题可进入决赛的概率为 ( ) ?

8 ; 27 8 2 2 2 1 2 选手甲答 4 道题可进入决赛的概率为 C 3 ( ) ? ? ? ; 3 3 3 27 1 2 2 16 2 2 2 选手甲答 5 道题可进入决赛的概率为 C 4 ( ) ? ( ) ? ? ; 3 3 3 81 8 8 16 64 ? ∴ 选手甲可进入决赛的概率 p ? + + . ---------------------- 6 分) ( 27 27 81 81
---------------------(1 分) --------------------(1 分)

(2)依题意,? 的可能取值为 3, 4, 5 .
3 3 则 p (? ? 3) ? ( ) ? ( ) ?

2 3

1 3

1 , 3

2 1 2 1 2 1 10 p(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? , ---------------------(1 分) 3 3 3 3 3 3 27 1 2 1 1 8 2 2 2 2 p(? ? 5) ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? C4 ( ) 2 ? ( ) 2 ? ? , ----------------------- 1 分) ( 3 3 3 3 3 3 27

6

因此,有

?
p

3
1 3

4

5
8 27
-----------------------------(2 分) ------------------------------(2 分)

10 27

1 10 8 107 26 ? E? ? 3 ? ? 4 ? ? 5? ? ?3 . 3 27 27 27 27
18. (1)依题意: Sn ? 3n2 ? 2n

------------------------------(2 分)

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 6n ? 5 ∴an ? 6n ? 5 (2)∵bn ? ----------------------------(4 分)

1? 1 1 ? ------------------------(2 分) ? ? ? ? 6n ? 5?? 6n ? 1? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ? ? 3

∴Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ??1 ? 7 ? ? ? 7 ? 13 ? ? ? ? ? 6n ? 5 ? 6n ? 1 ?? ? 2 ?1 ? 6n ? 1 ? ---------------(2 分) 2 ?? ? ? ? ? ?? ? ?
依题意: ?n ? N ? , Tn ?

m 1 ? ? ,即: ?n ? N ? , m ? 10 ?1 ? ? 20 ? 6n ? 1 ?
------------------------(4 分)

∴m ? 10 ,即:最小的正整数 m ? 10 19. (1)设直线 l 的方程为: y ? kx ?

1 , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 。 ---------------(1 分) 8

? 2 1 ?x ? 2 y 1 1 1 ? 2 ? 0 ,∴x1 x2 ? ? 由? 得: x ? kx ? -----------------(4 分) 1 2 64 16 ? y ? kx ? ? 8 ?
3 为定值------------------(3 分) 64 k k (2)由(1)得:点 M 的横坐标为 ,∴ N 的横坐标为 -------------------(3 分) 点 4 4 ∵y ' ? 4x ∴y ' | k ? k -------------------(3 分)
∴OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 4 ? x1 x2 ? ? ?
2

??? ??? ? ?

x?

4

∴ …平行

k2 x1 ? x2 k 2 ? , y0 ? 2 x0 ? 另解:设 N ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? ------------------(2 分) 2 4 8

7

设抛物线 C 在点 N 处的切线为 y ?

k2 k? ? ? m? x ? ? 8 4? ?

? k2 k? ? 2 ?y ? 8 ? m? x ? 4 ? ? ? ? 得: x 2 ? m x ? mk ? k ? 0 -------------------(2 分) 由? 2 8 16 ? x2 ? 1 y ? ? 2
∴? ?

? mk k 2 ? m2 ? 4? ? ? ? 0 ,解得: m ? k ------------------------(2 分) 4 8 16 ? ?
2

∴ …平行 20.(1) f ' ? x ? ? 3x ? 6ax ? 3x ? x ? 2a ? 由 f ' ? x ? ? 0 得: x ? 0 或 x ? 2a ------------------------------(1 分) -----------------------------(1 分)

当 x 变化时, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下表:

x
f '? x?
f ? x?

? ??, 0?
?
?

0

? 0, 2a ?
?
?

2a

? 2a, ? ??
?
?

0
极大值

0
极小值

∴ x ? 0 时, f ? x ? 的极大值 f ? 0 ? ? 当

1 2 1 ? 4a 3 ----------------------------(4 分) 2

当 x ? 2a 时, f ? x ? 的极小值 f ? 2a ? ? (2)∵ y ? f ? x ? 有三个不同零点 ∴ 由(1)得: 解得: a ?

1 ? 4a 3 ? 0 2

----------------------------(1 分) -----------------------------(1 分)

1 2

21. (1)依题意,有 kPA ? kPB ?

y y 3 , ? ? ? ( x ? ?2 ) x?2 x?2 4

------------------------(2 分)

x2 y2 化简得: 4 ? 3 ? 1( x ? ?2 ) ,为所求动点 P 的轨迹 C 的方程----------(2 分)
(2)依题意,可设 M ( x , y ) 、 E ( x ? m , y ? n) 、 F ( x ? m , y ? n) ,则有

? ( x ? m)2 ( y ? n)2 ? ?1 ? ? 4 3 , ? ( x ? m)2 ( y ? n)2 ? ? ?1 ? 4 3 ?
8

两式相减,得

4mx 4n n 3x y ? 0 , ? ? 0 ? kEF ? ? ? ? 4 3 m 4y x ? 1 2

由此得点 M 的轨迹方程为: 6 x2 ? 8 y 2 ? 3x ? 0 ( x ? 0 ) .-------------------(4 分) 设直线 MA : x ? my ? 2 (其中 m ?

1 ) ,则 k
-----------------------(3 分)

? x ? my ? 2 ? (6m2 ? 8) y 2 ? 21my ? 18 ? 0 , ? 2 2 ?6 x ? 8 y ? 3x ? 0
故由 ? ? (21m)2 ? 72(6m2 ? 8) ? 0 ?| m |? 8 ,即

1 ?8 , k

? 1 1? 解得: k 的取值范围是 ? ? , ? . ? 8 8?

---------------------------(3 分)

9


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