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07第七章 解三角形【讲义】


第七章 解三角形 一、基础知识 的三个内角, 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分 , , 分别表示△

?

sin(α + β ) sin β sin α = + w u v

,得证。 得证。

a+b+c 为半周长。 别表示它们所对的各边长, 为半周长。 别表示它们所对的各边长, p = 2 a b c 1.正弦定理: = = =2R(R 为△ABC .正弦定理: ( sin A sin B sin C
圆半径) 。 圆半径) 推 论 1 : △ABC 的 面 积

外接



1 1 1 S△ABC= ab sin C = bc sin A = ca sin B. 2 2 2
推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. : 推论 3:在△ABC 中,A+B= θ ,解 a 满足 :

a b = , sin a sin(θ ? a)

则 a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出, 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推 论 。 先证推论 1, 由正弦函数定义 , BC 边上的高为 bsinC , 所以 , S△ABC=

1 ab sin C 2

; 再 证 推 论 2 , 因 为 B+C=

π

-A , 所 以

2.正弦定理的应用。 .正弦定理的应用。 例 2 如 图 所 示 , △ABC 内 有 一 点 P , 使 得 ∠ BPC- ∠ BAC= ∠ CPA- ∠ CBA= ∠ APB- ∠ ACB。 。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 求证: · · · 。 证明】 , , , 【证明】 过点 P 作 PD ⊥ BC,PE ⊥ AC,PF ⊥ AB,垂足分别 为 D,E,F,则 P,D,C,E;P,E,A,F;P,D,B,F 三组四点 , , , , , , ; , , , ; , , , 共 圆 , 所 以 ∠ EDF= ∠ PDE+ ∠ PDF= ∠ PCA+ ∠ PBA= ∠ BPC- ∠ BAC。由题 。 ∠ BPC+ ∠ CPA+ ∠ APB=3600 可 得 设 及 ∠ BAC+ ∠ CBA+ ∠ ACB=1800。 所以 ∠ BPC- ∠ BAC= ∠ CPA- ∠ CBA= ∠ APB- ∠ ACB=600。 所以 ∠ EDF=600,同理 ∠ DEF=600,所以△DEF 是正三角形。 所以△ 是正三角形。 DE=EF=DF 所 以 , 由 正 弦 定 理 , CDsin ∠ ACB=APsin ∠ BAC=BPsin ∠ ABC,两边同时乘以△ABC 的 ,两边同时乘以△ 外接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: , · · · ,得证: 如图所示, 的各边分别与两圆⊙ 相切, 例 3 如图所示,△ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 求证: BC。 GF 与 DE 交于 P,求证:PA ⊥ BC。 证明】 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M, ,

sin(B+C)=sinA , 即 sinBcosC+cosBsinC=sinA , 两 边 同 乘 以 2R 得 bcosC+ccosB=a ; 再 证 推 论 3 , 由 正 弦 定理

于 cos( θ -A+a)=cos( θ -a+A),因为 0< θ -A+a, θ -a+A< π . 所以只有 , ,

sin a sin(θ ? a) = , 即 sinasin( θ -A)=sin( θ -a)sinA , 等 价 于 sin A sin(θ ? A) 1 1 ? [cos( θ -A+a)-cos( θ -A-a)]= ? [cos( θ -a+A)-cos( θ -a-A)], , 等价 2 2 b2 + c2 ? a2 2bc

a b = sin A sin B

,所以

θ -A+a= θ -a+A,所以 a=A,得证。 , ,得证。

2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ? .余弦定理:

cos A =

,下

面用余弦定理证明几个常用的结论。 面用余弦定理证明几个常用的结论。 斯特瓦特定理: D 边上任意一点, BD=p, (1) ) 斯特瓦特定理: △ABC 中, 是 BC 边上任意一点, 在 , DC=q,则 AD2= ,

同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos ∠ADC , · 因为 ∠ ADB+ ∠ ADC= π , 所以 cos ∠ ADB+cos ∠ ADC=0, , ×①+p×②得 +p×② 所以 q×①+p×②得
2 2 2 2 +pq(p+q), qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD = 2 2 2 2

【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ∠ADB , 证明】 · 2 2 2 所以 c =AD +p -2AD·pcos ∠ADB. · ① ②

b2 p + c2q ? pq. p+q

GM O1 A AF = = . MD AO2 AE AP AF PA AE = , = 由正弦定理 , sin(π ? ∠1) sin α sin(π ? ∠2) sin β AE sin ∠1 sin β = ? . 所以 AF sin ∠2 sin α GM PM MD PM = , = 另一方面, 另一方面, , sin α sin ∠1 sin β sin ∠2 GM sin ∠2 sin α ? = 所以 , MD sin ∠1 sin β GM AF = 所以 ,所以 PA//O1G, , MD AE 即 PA ⊥ BC,得证。 ,得证。
O 因为 O1G ⊥ BC, 2D ⊥ BC, , , 所以只需证 3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切 .一个常用的代换: , , , 线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 求证: 例 4 在△ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 证明】 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则 , abc=(x+y)(y+z)(z+x)

(1) )

≥ 8 xy ? yz ? zx =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。 .三角换元。 例 5 设 a, b, c∈R+ , 且 abc+a+c=b , 试 求 ∈

b2 p + c2q ? pq. p+q

P=

注 : 在 ( 1 ) 式 中 , 若 p=q , 则 为 中 线 长 公 式

AD =

2b 2 + 2c 2 ? a 2 . 2
1 1 (1b c sin A= b c (1-cos A)= 4 4 ? (b 2 + c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 (b[(b+c) -a ][a -(b-c) ?1 ? ?= 16 4b 2 c 2 ? ?
& 2

2 2 3 ? 2 + 2 的最大值。 的最大值。 a +1 b +1 c +1 a+c 【解】 由题设 b = ,令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1 ? ac
2

( 2 ) 海伦公式 : 因为 S ?ABC

=


2

tanβ=tan(α+γ),

2 2

2

2 2

2

1 4
2

2 2 bc

2 2

2

2

]=p(p-a)(p-b)(p]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里

a+b+c . 2 所以 S△ABC= p ( p ? a )( p ? b)( p ? c ). p=

二、方法与例题 1.面积法。 .面积法。 共线关系的张角公式)如图所示, 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线 满足 ∠POQ

= α , ∠QOR = β

u, w, v,这里 α,β,α+β∈(0, , , , ∈

sin β sin α sin(α + β ) + = . u v w
证 明 】 P ,

π ),则 P,Q,R 的共线的充要条件是 , , ,

,另外 OP,OQ,OR 的长分别为 , ,



Q



R



线

? S ?PQR = 0 ? S ?OPR = S ?OPQ + S ?ORQ
? 1 1 1 uv sin (α+β)= uwsinα+ vwsinβ 2 2 2

10 1? 10 ? ? 3? sin γ ? ? ≤ , 3 3? 3 ? π 1 2 2 , b = 2, c = 时, 当且仅当 α+β= ,sinγ= ,即 a= 2 3 2 4 10 Pmax= . 3 1 例 6 在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证 a2+b2+c2+4abc< . ,求证: 2 ? π? 证明】 【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β ∈ ? 0, ? . ? 2? 1 为三边长, 因为 a, b, c 为三边长,所以 c< , c>|a-b|, , 2 ? π? 从而 β ∈ ? 0, ? ,所以 sin2β>|cos2α·cos2β|. · ? 4?
P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤ 因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β · ·

1

=

1 [1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] 4 1 1 = + cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) 4 4 1 1 1 > + cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)= . 4 4 4 1 所以 a2+b2+c2+4abc< . 2
1.在△ABC 中,边 AB 为最长边,且 . 为最长边,

5.平面上有四个点 A,B,C,D,其中 A,B 为定点,|AB|= 3 , . , , , , , 为定点, C,D 为动点,且|AD|=|DC|=|BC|=1。记 S△ABD=S,S△BCD=T,则 S2+T2 , 为动点, 。 , , 的取值范围是____________. 的取值范围是 6.在△ABC 中,AC=BC, ∠ACB . ,

= 80 0 ,O 为△ABC 的一点, 的一点,

∠OAB = 10 0 , ∠ ABO=300,则 ∠ ACO=____________. π A B C 7.在△ABC 中,A≥B≥C≥ ,则乘积 cos sin cos . 6 2 2 2 C?A A+C + cos 2 2

的最

大值为____________,最小值为__________. ,最小值为 大值为 8 . 在 △ABC 中 , 若 c-a 等 于 AC 边 上 的 高 h , 则

三、基础训练题

2? 3 sinAsinB= ,则 4

sin

=____________.

cosAcosB 的最大值为 的最大值为__________.

2. △ABC 中, AB=1, . 在 BC=2, ∠C 的取值范围是 的取值范围是__________. 若 , , 则

3.在△ABC 中,a=4, b+c=5, tanC+tanB+ 3 = 3 tanCtanB, . , 的面积为__________. 则△ABC 的面积为 4 . 在 △ABC 中 , 3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1 , 则

∠C =__________.

5.在△ABC 中, a>b”是“sinA>sinB”的__________条件 . 条件. “ ” ” 条件 6.在△ABC 中,sinA+cosA>0, tanA-sinA<0,则角 A 的取值范围 . , 是__________.

3 5 ,cosB= ,则 cosC=__________. 5 13 A C 1 = ” 8. △ABC 中,三边 a, b, c 成等差数列”“tan ? tan 成等差数列” . 在 “ 是 2 2 3
7.在△ABC 中,sinA= . 条件. 的__________条件 条件 9.在△ABC 中,若 sinC=2cosAsinB,则三角形形状是 . ,则三角形形状是__________. 10.在△ABC 中,tanA·tanB>1,则△ABC 为__________角三角 . · , 角三角 形. 11.三角形有一个角是 600,夹这个角的两边之比是 8:5,内切圆 . : , 求这个三角形的面积。 的面积是 12 π ,求这个三角形的面积。 12.已知锐角△ABC 的外心为 D,过 A,B,D 三点作圆,分别与 .已知锐角△ , , , 三点作圆, AC,BC 相交于 M,N 两点。求证:△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径等于△ , , 两点。求证: 的外接圆半径。 的外接圆半径。 13.已知△ABC 中,sinC= . 已知△ 四、高考水平训练题 1.在△ABC 中,若 tanA= .

9.如图所示,M,N 分别是△ABC 外接圆的弧 AB ,AC 中点,P 中点, .如图所示, , 分别是△ 上的动点, PM 交 AB 于 Q, 交 AC 于 R, ABC 的内心为 I, PN 为 BC 上的动点, , , △ , 求证: , , 三点共线。 求证:Q,I,R 三点共线。 10.如图所示,P,Q,R 分别是△ABC 的边 BC,CA,AB 上一 .如图所示, , , 分别是△ , , 求证: AB+BC+CA≤2 PQ+QR+RP) 点, AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。 且 。 求证: ( ) 。 11.在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC,△ADC,△AEB,使 外作三个等腰三角形△ . , , , BF=FC,CD=DA,AE=EB, ∠ ADC=2 ∠ BAC, ∠ AEB=2 ∠ ABC, , , , , , ∠ BFC=2 ∠ ACB,并且 AF,BD,CE 交于一点,试判断△ABC 的形 交于一点,试判断△ , , , 状。 六、联赛二试水平训练题 1.已知等腰△ABC,AB=AC,一半圆以 BC 的中点为圆心,且与 的中点为圆心, .已知等腰△ , , 两腰 AB 和 AC 分别相切于点 D 和 G,EF 与半圆相切,交 AB 于点 E, , 与半圆相切, , 的垂线, 垂线, 交 AC 于点 F,过 E 作 AB 的垂线,过 F 作 AC 的垂线,两垂线相交于 , P,作 PQ ⊥ BC,Q 为垂足。求证: PQ , , 为垂足。求证:

=

EF 2 sin θ

,此处 θ = ∠ B。 。

证:H1H2 ⊥ MN。 。 3.已知△ABC,其中 BC 上有一点 M,且△ABM 与△ACM 的内 .已知△ , , 切圆大小相等 求证: 切圆大小相等,求证: AM

2.设四边形 ABCD 的对角线交于点 O,点 M 和 N 分别是 AD 和 . , BC 的中点,点 H1,H2(不重合)分别是△AOB 与△COD 的垂心,求 的中点, 不重合)分别是△ 的垂心,

= P( P ? a) ,此处 P =

ABC=

1 (a+b+c), a, 2
AED=900 ,

b, c 分别为△ABC 对应三边之长。 分别为△ 对应三边之长。 4 . 已 知 凸 五 边 形 ABCDE , 其 中

sin A + sin B ,试判断其形状。 试判断其形状。 cos A + cos B 1 1 , tanB= ,且最长边长为 1,则最短 , 2 3

∠ BAC= ∠ EAD,BD 与 CE 交于点 O,求证:AO ⊥ BE。 , ,求证: 。



边长为__________. 边长为 2.已知 n∈N+,则以 3,5,n 为三边长的钝角三角形有 长的钝角三角形有________ . ∈ , , 为三边长的钝角三角形有 个. 3 . 已 知 p, q∈R+, p+q=1 , 比 较 大 小 : ∈ 2 psin A+qsin2B__________pqsin2C. 4. △ABC 中, sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC, △ABC . 在 若 , 则 角三角形. 为__________角三角形 角三角形 5. A 为△ABC 的内角, . 若 的内角, 比较大小: cot 比较大小:

5.已知等腰梯形 ABCD,G 是对角线 BD 与 AC 的交点,过点 G . 的交点, , ∠ 与上、 下底平行, 求证: 作 EF 与上、 下底平行, E 和 F 分别在 AB 和 CD 上, 点 求证: AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。 。 6 . AP , AQ , AR , AS 是 同 一 个 圆 中 的 四 条 弦 , 已 知 ∠ PAQ= ∠ QAR= ∠ RAS,求证:AR(AP+AR)=AQ(AQ+AS) ,求证: ( ) ( ) 。 7.已知一凸四边形的边长依次为 a, b, c, d,外接圆半径为 R,如果 . , , a2+b2+c2+d2=8R2,试问对此四边形有何要求? 试问对此四边形有何要求? 8.设四边形 ABCD 内接于圆,BA 和 CD 延长后交于点 R,AD 和 内接于圆, . , BC 延长后交于点 P, ∠ A, ∠ B, ∠ C 指的都是△ABC 的内角,求 , , , 指的都是△ 的内角, 证:若 AC 与 BD 交于点 Q,则 ,

cos A cos C cos B + = . AP CR BQ

A ? cot A __________3. 8

6.若△ABC 满足 acosA=bcosB,则△ABC 的形状为 . 的形状为__________. , 7.满足 A=600,a= . 8 acos2 . +sin2 设

θ
2

θ
2

θ
-cos2

6 , b=4 的三角形有__________个. 的三角形有 个
三 角 形 最 小 内 角 , 且



θ
2

-asin2

θ
2

=a+1,则 a 的取值范围是 , 的取值范围是__________.

9.A,B,C 是一段笔直公路上的三点,分别在塔 D 的西南方向, 的西南方向, . , , 是一段笔直公路上的三点, 正西方向, 方向, 正西方向,西偏北 300 方向,且 AB=BC=1km,求塔与公路 AC 段的最 , 近距离。 近距离。 10.求方程 x .

y ? 1 + y x ? 1 = xy 的实数解。 的实数解。 1 7 0 11.求证: < sin 20 < . .求证: 3 20
sin B cos A + 2 cos C = ,则△ABC sin C cos A + 2 cos B
任 意 的 △ABC

五、联赛一试水平训练题 1. △ABC 中, 2=ac, sinB+cosB 的取值范围是 b 的取值范围是____________. . 在 , 则 2.在△ABC 中,若 . 状为____________. 状为 3 . 对 的形



A B C T ≤ cot + cot + cot 2 2 2
____________. 4.在△ABC 中, sin .

-(cotA+cotB+cotC),则 T 的最大值为 ,

A sin B sin C 的最大值为 的最大值为____________. 2
2

量积记作 a·b=|a|·|b|cos θ =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中 · · · ,也称内积,其中|b|cos θ 上的投影( 投影可能为负值) 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值) 。 平面向量的坐标运算: 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), , 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), . , 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, . · · · ,

a= λb. f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对 平面向量的基本定理, 不共线, 同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 , , , a, b 称为一组基底。 称为一组基底 基底。 向量的坐标,在直角坐标系中, 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同 作为基底, 的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯 , 坐标。 一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y)叫做 c 坐标。 , , ) 定义 4 向量的数量积,若非零向量 a, b 的夹角为 θ ,则 a, b 的数 向量的数量积,

9. P 是△ABC 内一点, P 至 BC, , 的垂线分别为 PD, 内一点, CA, AB . 设 点 , , PE , PF ( D , E , F 是 垂 足 ) , 求 证 : PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD),并讨论等号成立之条件。 · · · · ,并讨论等号成立之条件。 第八章 平面向量 一、基础知识 既有大小又有方向的量,称为向量。 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来 表示,线段的长度表示向量的模。 表示,线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭 或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量, 头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如 a. |a| 表示向量的模, 模为零的向量称为零向量, 规定零向量的方向是任意的。 表示向量的模, 模为零的向量称为零向量, 规定零向量的方向是任意的。 零向量和零不同, 的向量称为单位向量。 零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量 或共线向量) 规定 (或共线向量) , 零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 零向量与任意一个非零向量平行和结合律。 向量的运算,加法满足平行四边形法规, 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形 法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 法则。加法和减法都满足交换律和结合律。 , 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 λ ≠ 0,使得

3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= . ·

x1 x 2 + y1 y 2
2 2 x12 + y12 ? x 2 + y 2

(a, b ≠ 0),

BP + DP + 2 PQ + 2( BP + DP) ? PQ = BP + DP + 2 PQ .
① 又因为 BQ + QC
2

2

2

2

2

2

2

4. a//b ? x1y2=x2y1, a ⊥ b ? x1x2+y1y2=0. 的一点, 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实 数 λ,使 P , 1

= BC , BQ + QA = BA, QA + QC = O,
2 2 2 2

同理

P = λ PP2

BA + BC = QA + QC + 2 BQ
2 2 2 2


2

② ③ 可 得

,λ 叫 P 分 P 1

P2

所成的比, 所成的比,若 O 为平面内 由

OP1 + λ OP2 任意一点, 任意一点,则 OP = 1+ λ
分 别 为 (x1, y1), (x,

CD + DA = QA + QC + 2QD

2 2






2


2


2

。由此可得若 P1,P,P2 的坐标 , y), (x2, y2) , 则

BA + BC + CD = 4QA + 2( BQ + QD )
= AC + 2(2 BP + 2 PQ ) = AC + BD + 4 PQ
2 2 2 2 2 2

2

? x1 + λx 2 ?x = x ? x1 y ? y1 ? 1+ λ = .λ = . ? x2 ? x y2 ? y y1 + λy 2 ?y = ? 1+ λ ?
是坐标平面内的一个图形, 定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形, F 上所有的点按照向量 将 a=(h, k)的方向,平移 的方向, 的方向 平移|a|=

得证。 。 得证。

2.证利用定理 2 证明共线。 . 证明共线。 例 4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H , , 。求证: , , 为共线, 为共线,且 OG:GH=1:2。 : : 。 【证明】 首先 OG 证明】 = OA +

= OA + AG = OA +

2 AM 3

h2 + k 2

个单位得到图形 F ' ,这一过程叫

做 平 移 。 设 p(x, y) 是 F 上 任 意 一 点 , 平 移 到

F' 上对应的点为

1 1 ( AB + AC ) = OA + (2 AO + OB + OC ) 3 3

? x' = x + h p ' ( x ' , y ' ) ,则 ? 称为平移公式。 称为平移公式。 ? y' = y + k
定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且 · · , |a+b|≤|a|+|b|. 证 明 【 】 因 为 |a|2·|b|2-|a·b|2= ( x1 ·
2 2 2 + y12 )( x 2 + y 2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又 ,

又 AH ⊥ BC,所以 AH//CE。 , 。 又 EA ⊥ AB,CH ⊥ AB,所以 AHCE 为平行四边形。 , , 为平行四边形。 所以 AH 所

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE ⊥ ,

1 = (OA + OB + OC ). 3

BC .

= EC ,


|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, · · , 所以|a|· 所以 ·|b|≥|a·b|. · 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得 本定理的两个结论均可推广。 ) 维向量, 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,…,xn), … , b=(y1, y2, … , yn) , 同样 有 · b|≤|a| · |b| , 化简 即 为柯 西不 等式 : 有|a
2 2 2 2 ( x12 + x 2 + L + x n )( y12 + y 2 + L + y n ) ≥

OH = OA + AH = OA + EC = OA + EO + OC = OA + OB + OC
, 所以 OH

(x1y1+x2y2+



+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, , · · , 所以|a|· 所以 ·|b|≥|a·b|. · 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得 本定理的两个结论均可推广。 ) 维向量, 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,…,xn), … 有|a b=(y1, y2, … , yn) , 同样 有 · b|≤|a| · |b| , 化简 即为柯 西不 等式 :
2 2 2 2 ( x12 + x 2 + L + x n )( y12 + y 2 + L + y n ) ≥ (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。 …

= 3OG , 共线, 所以 OG 与 OH 共线,所以 O,G,H 共线。 , , 共线。
所以 OG:GH=1:2。 : : 。 3.利用数量积证明垂直。 .利用数量积证明垂直

求证: 例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a ⊥ b. 的充要条件是 【 证 明 】 |a+b|=|a-b| ? (a+b)2=(a-b)2 ? a2+2a· b+b2=a2-2a· b+b2 ? a· b=0 · · ·

? a ⊥ b.

2)对于任意 n 个向量,a1, a2, …,an,有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+… 个向量, ) … +|an|。 。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 .向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是 正 n 边 形 A1A2 … An 的 中 心 , 求 证 :

已知△ 内接于⊙ , AB=AC, 为 AB 中点, 为△ACD D 中点, E 例 6 已知△ABC 内接于⊙O, , 重心。求证: 重心。求证:OE ⊥ CD。 。 【证明】 设 OA 证明】 则 OD

= a, OB = b, OC = c ,

OA1 + OA2 + L + OAn = O. = OA1 + OA2 + L + OAn ,若 S ≠ O ,则将 2π 边形重合, 不变, 正 n 边形绕中心 O 旋转 后与原正 n 边形重合,所以 S 不变,这不 n 可能, 可能,所以 S = O.
【证明】 记 S 证明】 例 2 给 定 △ABC , 求 证 : G 是 △ABC 重 心 的 充 要 条 件 是

GA + GB + GC = O.
【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 证明】必要性。如图所示, , , , AD 至 P,使 DP=GD,则 AG = 2GD , , 互相平分, 又因为 BC 与 GP 互相平分,

= GP. = CP.

为平行四边形, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG // PC,所以 GB , 所以 GA + GB + GC

1 (a + b) , 2 1? 1 1 1 ? 1 OE = ?a + c + (a + b)? = c + a + b. 3? 2 2 6 ? 3 1 又 CD = ( a + b) ? c , 2 1 1 ? ?1 1 ?1 ? 所以 OE ? CD = ? a + c + b ? ? ? a + b ? c ? 3 6 ? ?2 2 ?2 ? 1 1 1 1 1 = a2 + b2 ? c2 + a ? b ? a ? c 4 12 3 3 3 1 = a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) · 因为 3 =
的中垂线。 又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 , , 。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE ⊥ CD。 · 4.向量的坐标运算。 .向量的坐标运算。 是正方形, 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延 , , 长线交 BA 的延长线于点 F,求证:AF=AE。 ,求证: 。 证明】 如图所示, 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立 直角坐标系, 直角坐标系,设正方形边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和(0, , , 坐标分别为( , ) , 1) 设 E 点的坐标为(x, y) 则 BE =(x, y-1), ) ,设 点的坐标为( ,则 , ) ,

= GC + CP + PG = O. 充分性。 充分性。若 GA + GB + GC = O ,延长 AG 交 BC 于 D,使 , GP=AG,连结 CP,则 GA = PG. 因为 GC + PG + PC = O ,则 , , GB = PC ,所以 GB // CP,所以 AG 平分 BC。 , 。
同理 BG 平分 CA。 。 为重心。 所以 G 为重心。 P 例 3 在凸四边形 ABCD 中, 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中 求证: 点,求证:AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 证明】 如图所示, 【证明】 如图所示,结结 BQ,QD。 , 。 因为 BP +
2

AC = (1,?1) ,因为

BE // AC ,所以 所以-x-(y-1)=0. 又因为 | CE |=| AC | ,所以 x2+y2=2.
由①,②解得 x

PQ = BQ, DP + PQ = DQ ,
+ DQ = ( BP + PQ) 2 + ( DP + PQ) 2
2 2 2

所以 BQ = BP =
2

+ DP + 2 PQ + 2 BP · PQ + 2 DP ? PQ

1+ 3 1? 3 ,y = . 2 2 ? 3 + 3 ?1? 3 ? ?, | AE | 2 = 4 + 2 3. 所以 AE = ? ? 2 , ? 2 ? ? =

3



F (x' ,1)

, 则

CF = (x' ,1)

。 由

CF



CE

共 线 得

的解析式及定义域; (2) (1)求 y=f(x)的解析式及定义域; )求 ) 的解析式及定义域 (

1? 3 1+ 3 x'? = 0. 2 2 所以 x ' = ?( 2 + 3 ) ,即 F ( ?2 ? 3 ,1) ,
所以 |

T S

的取值范围。 的取值范围。

12 . 已 知 两 点 M ( -1 , 0 ) N ( 1 , 0 ) 有 一 点 P 使 得 , ,

MP ? MN , PM ? PN , NM ? PN 成公差小于零的等差数列。 成公差小于零的等差数列。
的轨迹是什么? 若点 P 坐标为 0, y0), (2) 坐标为(x (1) ) 试问点 P 的轨迹是什么? ) ( 的夹角, 与 PN 的夹角,求 tan θ . 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系内,O 为原点,点 A,B 坐标分别为(1,0)( , .在直角坐标系内, 为原点, , 坐标分别为( , )(0, , 2) 当实数 p, q 满足 ) ,当实数 , 且 OC

AF | 2 =4+ 2 3 =| AE | 2 ,所以 AF=AE。 。

θ 为 PM

三、基础训练题 1.以下命题中正确的是 的充要条件是|a|=|b|, .以下命题中正确的是__________. ①a=b 的充要条件是 , 且 a//b;②(a·b)·c=(a·c)·b;③若 a·b=a·c,则 b=c;④若 a, b ; · · · · ; · · , ; 不 共 线 , 则 xa+yb=ma+nb 的 充 要 条 件 是 x=m, y=n ; ⑤ 若

AB = a, CD = b ,且 a,

b 共线,则 A,B,C,D 共线;⑥a=(8, 1) 共线, , , , 共线;

上的投影为-4。 在 b=(-3, 4)上的投影为 。 上的投影为 2 . 已 知 正 六 边 形 ABCDEF , 在 下 列 表 达 式 中 : ①

1 1 + = 1 时,若点 C,D 分别在 x 轴,y 轴上, 轴上, , p q

= pOA, OD = qOB ,则直线 CD 恒过一个定点,这个定点 恒过一个定点, = x, OB = y, OC = z. 则 OP =___________ 用 (

BC + CD + EC ; ② 2 BC + DC ; 2 ED ? FA 与 AC ,相等的有 相等的有__________.



FE + ED

; ④

的坐标为___________. 的坐标为 2.p 为△ABC 内心,角 A,B,C 所对边长分别为 a, b, c. O 为平 内心, . , , 面内任意一点, OA 面内任意一点,

3.已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0,则|x|+|y|=__________. . · , 4.设 s, t 为非零实数,a, b 为单位向量,若|sa+tb|=|ta-sb|,则 a 和 . 为非零实数, 为单位向量, , b 的夹角为 的夹角为__________. 5. 不共线, . 已知 a, b 不共线,MN =a+kb, MP =la+b, “kl-1=0” “M, , 则 ” 是 , N,P 共线”的__________条件 , 共线” 条件. 条件 6. 在 △ABC 中 , M 是 AC 中点 , N 是 AB 的三等分点 , 且 中点, 的三等分点, .

a, b, c, x, y, z 表示). 表示) 3.已知平面上三个向量 a, b, c 均为单位向量,且两两的夹角均为 均为单位向量, . 的取值范围是___________. 1200,若|ka+b+c|>1(k∈R),则 k 的取值范围是 ∈ , 4 . 平 面 内 四 点 A , B , C , D 满 足

| AB |= 3, | BC |= 7, | CD |= 11, | DA |= 9 , AC ? BD 的取值有 则
___________个. 个 5.已知 A1A2A3A4A5 是半径为 r 的⊙O 内接正五边形,P 为⊙O 上 内接正五边形, . 任 意 一 点 , 则

BN = 2 NA , 与 CN 交于 D, BD = λ BM , λ=__________. BM , 若 则 7 . 已 知 OA, OB 不 共 线 , 点 C 分 AB 所 成 的 比 为 2 ,

OC = λ OA + ? OB ,则 λ ? ? = __________.
8.已知 OA .

| PA1 | 2 + | PA2 | 2 + | PA3 | 2 + | PA4 | 2 + | PA5 | 2 取值的集合
是___________. 6.O 为△ABC 所在平面内一点,A,B,C 为△ABC 的角,若 所在平面内一点, , , 的角, . sinA · OA +sinB · OB +sinC · OC = O , 则 点 O 为 △ABC 的 ___________心. 心 7.对于非零向量 a, b, “|a|=|b|”是“(a+b) ⊥ (a-b)”的___________ . 是 ” 条件. 条件 8.在△ABC 中, AB .

= a, OB =b, a·b=|a-b|=2,当△AOB 面积最大时,a 面积最大时, · ,

的夹角为__________. 与 b 的夹角为 9.把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象, 的图象, . c=(1, -1), 若 a

⊥ b ,c·b=4,则 b 的坐标为 的坐标为__________. · ,

10.将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转 . 绕原点按逆时针方向旋转

π

4

得到向量 b,则 b ,

的坐标为__________. 的坐标为 11.在 Rt△BAC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为 . △ , 中点, 试问 PQ 与 BC 的夹角 θ 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出 的值最大? 中点, 这个最大值。 这个最大值。 12. . 在四边形 ABCD 中, AB

= a, BC = c, CA = b ,又(c·b):(b·a): · : · :
= O ,CP

(a·c)=1:2:3,则△ABC 三边长之比 :|b|:|c|=____________. · 三边长之比|a|: : : : , 9.已知 P 为△ABC 内一点,且 PA + 2 PB + 3PC . 内一点, 交 AB 于 D,求证: DP = PC . ,求证: 10.已知△ABC 的垂心为 H,△HBC,△HCA,△HAB 的外心分 .已知△ , , , 别为 O1,O2,O3, HA 令

= a, BC = b, CD = c, DA = d ,

的形状。 如果 a·b=b·c=c·d=d·a,试判断四边形 ABCD 的形状。 · · · · , 四、高考水平训练题 1.点 O 是平面上一定点,A,B,C 是此平面上不共线的三个点, 是平面上一定点, , , 是此平面上不共线的三个点, . 动点 P 满足 OP

= a, HB = b, HC = c, HO1 = p ,求证: 求证:

? AB AC ? ?, λ ∈ [0,+∞ ). = OA + λ ? + ? | AB | | AC | ? ? ?

(2) 的外心。 (1)2p=b+c-a; )H 为△O1O2O3 的外心。 ) ; ( 11.设坐标平面上全部向量的集合为 V,a=(a1, a2)为 V 中的一个单 . , 为 位向量, 确定, 位向量,已知从 V 到 V ' 的变换 T,由 T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)确定, , · ∈ 确定 求证: (1)对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证:T(x)·T(y)=x·y; ) · · ; (2)对于 V 的任意向量 x,计算 T[T(x)]-x; ) , ; (3)设 u=(1, 0); V ) ;

则点 P

的轨迹一定通过△ 的轨迹一定通过△ABC 的________心。 心 2.在△ABC 中, AB . 状是__________. 状是 3.非零向量 OA .

= a, BC = b ,且 a·b<0,则△ABC 的形 · ,
B 关于 OA 所在直线对称

= (0,1) ,若 T (u ) = V

,求 a.

六、联赛二试水平训练题 1. .已知 A, 为两条定直线 AX,BY 上的定点,P 和 R 为射线 AX ,B , 上的定点,

= a, OB = b ,若点
O △ABC

的点为 B1,则 OB1 =__________. 4 . 若 为 的 内 心 , 且

(OB ? OC ) ? (OB + OC ? 2OA) = O
__________.

, 则 △ABC 的 形 状 为

AP AR = 为定比, , , 为定比,M,N,T BQ BC AM PN RT = = 为另一定比, 分别为线段 AB,PQ,RS 上的点, , , 上的点, 为另一定比, MB NQ TS
上两点, 上的两点, 上两点,Q 和 S 为射线 BY 上的两点, 试问 M,N,T 三点的位置关系如何?证明你的结论。 , , 三点的位置关系如何?证明你的结论。 2.已知 AC,CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M,N 的两条对角线, . , , 分别内分 AC,CE,使得 AM:AC=CN:CE=r,如果 B,M,N 三点 , , : : , , , 共线, 共线,求 r. 3.在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点 A,B 的 . , 上的射影, 点 M,点 P,Q,R,S 是 M 分别在直线 AD,AB,BC,CD 上的射影, , , , , , , , 求证: 互相垂直。 求证:直线 PQ 与 RS 互相垂直。 4.在△ABC 内,设 D 及 E 是 BC 的三等分点,D 在 B 和 F 之间, 的三等分点, 之间, . F 是 AC 的中点,G 是 AB 的中点,又设 H 是线段 EG 和 DF 的交点, 的中点, 的中点, 的交点, 求比值 EH:HG。 : 。 5.是否存在四个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和 .是否存在四个平面向量,两两不共线, 均与其余两个向量之和垂直? 均与其余两个向量之和垂直? 6.已知点 O 在凸多边形 A1A2…An 内,考虑所有的 ∠ AiOAj,这 . 中不同的自然数,求证: 个不是锐角。 里的 i, j 为 1 至 n 中不同的自然数,求证:其中至少有 n-1 个不是锐角。 7.如图,在△ABC 中,O 为外心,三条高 AD,BE,CF 交于点 为外心, .如图, , , H, , 直线 ED 和 AB 交于点 M, 和 AC 交于点 N, FD 求证: ) , , 求证: 1) ⊥ DF, ( OB , (2) OC ⊥ DE, )OH ⊥ MN。 , ( 。 8. 平面上两个正三角形△ 字母排列顺序一致, . 平面上两个正三角形△A1B1C1 和△A2B2C2, 字母排列顺序一致,

5. O 点在△ABC 内部, OA + 2OB + 3OC = O , △AOB 内部, . 设 点在△ 且 则 的面积比为__________. 与△AOC 的面积比为 6 . P 是 △ABC 所 在 平 面 上 一 点 , 若

PA ? PB = PB ? PC = PC ? PA ,则 P 是△ABC
7 . 已

的__________心. 心 知 ,

OP = (cos θ , sin θ ), OQ = (1 + sin θ ,1 + cos θ )(θ ∈ [0, π ])
的取值范围是__________. 则| PQ |的取值范围是 的取值范围是

8.已知 a=(2, 1), b=(λ, 1),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范 的夹角为锐角, . , 围是__________. 围是 9.在△ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点, 若 AM=2,则 上的一个动点, . ,

OA ? (OB + OC ) 的最小值为 的最小值为__________.
10.已知集合 M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R},集合 N={a|a=(-2, -2)+ . ∈ , λ(4, 5), λ∈R},mj M I N=__________. ∈ 11.设 G 为△ABO 的重心,过 G 的直线与边 OA 和 OB 分别交于 的重心, . P 和 Q,已知 OP , 别为 S 和 T, , 4

= xOA, OQ = yOB ,△OAB 与△OPQ 的面积分

过平面上一点 O 作 OA 为正三角形。 △ABC 为正三角形。

= A1 A2 , OB = B1 B2 , OC = C1 C 2

求证 ,



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