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2015-2016学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 5全称量词与存在量词课时作业 新人教A版选修2-1


课时作业(五)

全称量词与存在量词

A 组 基础巩固 1.下列命题中,不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以 0 都等于 0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 解析:D 选项是特称命题. 答案:D 2.下列命题中,真命题是( ) 2 A.? m0∈R,使函数 f(x)=x +m0x(x∈R)是偶函数 2 B.? m0∈R,使函数 f(x)=x +m0x(x∈R)是奇函数 2 C.? m∈R,函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是偶函数 2 D.? m∈R,函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是奇函数 2 解析:当 m0=0 时,函数 f(x)=x +m0x 是偶函数. 答案:A 3.命题“存在实数 x,使 x>1”的否定是( ) A.对任意实数 x,都有 x>1 B.不存在实数 x,使 x≤1 C.对任意实数 x,都有 x≤1 D.存在实数 x,使 x≤1 解析:该命题为存在性命题,其否定为“对任意实数 x,都有 x≤1”. 答案:C 4.下列命题中,是真命题且是全称命题的是( ) 2 2 A.对任意实数 a,b,都有 a +b -2a-2b+2<0 B.梯形的对角线不相等 2 C.? x∈R, x =x D.对数函数在定义域上是单调函数 2 2 2 2 解析:A 是全称命题,且 a +b -2a-2b+2=(a-1) +(b-1) ≥0,是假命题; B 中隐含量词“所有的”,是全称命题,但等腰梯形的对角线相等,是假命题; C 是特称命题;易知 D 是全称命题且是真命题. 答案:D 5.设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:? x∈A,2x∈B,则( ) A.綈 p:? x0∈A,2x0∈B B.綈 p:? x0?A,2x0∈B C.綈 p:? x0∈A,2x0?B D.綈 p:? x?A,2x?B 解析:原命题的否定是? x0∈A,2x0?B. 答案:C x x 3 2 6.已知命题 p:? x∈R,2 <3 ;命题 q:? x∈R,x =1-x ,则下列命题中为真命题的 是( ) A.p∧q B.(綈 p)∧q C.p∧(綈 q) D.(綈 p)∧(綈 q) 0 0 3 2 解析:由 2 =3 知,p 为假命题.令 h(x)=x -1+x , ∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0, 3 2 ∴x -1+x =0 在(0,1)内有解. 3 2 ∴? x∈R,x =1-x ,即命题 q 为真命题. 由此可知只有綈 p∧q 为真命题,故选 B. 答案:B
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7.命题“? x∈R,cosx≤1”的否定是__________. 解析:全称命题的否定是特称命题. 答案:? x0∈R,cosx0>1 2 8 .命题“对任意一个实数 x, x + 2x+1 都不小于零”用“? ”或“? ”符号表示为 ________. 2 答案:? x∈R,x +2x+1≥0 9.若对任意 x>3,x>a 恒成立,则 a 的取值范围是________. 解析:对于任意 x>3,x>a 恒成立,即大于 3 的数恒大于 a,∴a≤3. 答案:(-∞,3] 10.判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号写出其否定并判断命题的否定的真 假性. 2 2 (1)有一个实数 α ,sin α +cos α ≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; 1 (3)存在实数 x,使得 2 =2. x -x+1 解: 2 2 (1)特称命题,否定:? α ∈R,sin α +cos α =1,真命题. (2)全称命题,否定:? 直线 l,l 没有斜率,真命题. 1 (3)特称命题,否定:? x∈R, 2 ≠2,真命题. x -x+1 B 组 能力提升 11.已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项 的命题中为假命题的是( ) A.存在 x∈R,f(x)≤f(x0) B.存在 x∈R,f(x)≥f(x0) C.对任意 x∈R,f(x)≤f(x0) D.对任意 x∈R,f(x)≥f(x0)
2

解析:由题知:x0=- 为函数 f(x)图象的对称轴方程,所以 f(x0)为函数的最小值,即 2a 对所有的实数 x,都有 f(x)≥f(x0),因此对任意 x∈R,f(x)≤f(x0)是错误的,故选 C. 答案:C 2 12.若存在 x0∈R,使 ax0+2x0+a<0,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<1 B.a≤1 C.-1<a<1 D.-1<a≤1 2 解析:当 a≤0 时,显然存在 x0∈R,使 ax0+2x0+a<0. 2 当 a>0 时,需满足 Δ =4-4a >0, 得-1<a<1,故 0<a<1, 综上所述,实数 a 的取值范围是 a<1. 答案:A 2 13.若 x∈[-2,2],不等式 x +ax+3≥a 恒成立,求 a 的取值范围. 2 解:设 f(x)=x +ax+3-a,则问题转化为当 x∈[-2,2]时,[f(x)]min≥0. ①当- <-2,即 a>4 时,f(x)在[-2,2]上单调递增,[f(x)]min=f(-2)=7-3a≥0, 2 7 解得 a≤ ,又 a>4,所以 a 不存在. 3 ②当-2≤- ≤2,即-4≤a≤4 时, 2 2 ? a? 12-4a-a ≥0,解得-6≤a≤2. [f(x)]min=f?- ?= 4 ? 2?
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b

a

a

又-4≤a≤4,所以-4≤a≤2. ③当- >2,即 a<-4 时,f(x)在[-2,2]上单调递减,[f(x)]min=f(2)=7+a≥0, 2 解得 a≥-7,又 a<-4,所以-7≤a<-4. 综上所述,a 的取值范围是{a|-7≤a≤2}. x x 14.若关于 x 的方程 4 -(a+1)2 +9=0 有实数解,求实数 a 的取值范围. x x x 2 解:令 t=2 ,则 t>0,即将 4 -(a+1)2 +9=0 有实数解转化为 t -(a+1)t+9=0 在 (0,+∞)上有实数解. 2 设 f(t)=t -(a+1)t+9,

a

a+ -36≥0, ? ? ∵f(0)=9>0,∴有?a+1 >0. ? ? 2
故所求的 a 的取值范围为 a≥5.

2

解得 a≥5.

?1? x 2 15 .已知函数 f(x) = x , g(x) = ? ? - m ,若对 ? x1 ∈ [ - 1,3] , ? x2 ∈ [0,2] ,使得 ?2? f(x1)≥g(x2),求实数 m 的取值范围. 解:因为 x∈[-1,3],所以 f(x)∈[0,9], 又因为对? x1∈[-1,3],? x2∈[0,2],使得 f(x1)≥g(x2), ?1?x 即? x∈[0,2],g(x)≤0,即? ? -m≤0, ?2? 1 ?1?x ?1?2 所以 m≥? ? ,m≥? ? ,即 m≥ . 2 2 4 ? ? ? ?

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