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【名师一号】高中数学人教B版必修1双基限时练18 函数零点近似解的一种计算方法——二分法


双基限时练(十八) 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
基 础 强 化 1.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法 正确的是( )

A.若 f(a)· f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 B.若 f(a)· f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c

)=0 C.若 f(a)· f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 D.若 f(a)· f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 解析 ∵f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线, 若 f(a)· f(b)<0,则 f(x)在(a,b)上至少存在一个零点; 若 f(a)· f(b)>0,则 f(x)在(a,b)上可能存在零点,也可能不存在零点.故 C 正 确. 答案 C 2.下列函数的图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点近似值 的是( )

解析 二分法适合用于变号零点,故选 B. 答案 B 3.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次 计算,参考数据如下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625

f(1.25)=-0.984 f(1.4375)=0.165

f(1.375)=-0.260 f(1.40625)=-0.052 )

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( A.1.2 C.1.4 B. 1.3 D.1.5

解析 由参考数据可知,f(x)的零点在区间(1.40625,1.4375)内,由于所给精 确度为 0.1,故 f(x)的近似零点为 1.4. 答案 C 4.下面关于二分法的叙述,正确的是( A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位 C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成 D.只有在求函数零点时才用二分法 解析 二分法只能求函数的变号零点,且可以在计算机上完成运算,故 A、 C、D 均错误. 答案 B 5.在求 f(x)=ax3-4ax+3 的变号零点时,取第一个区间为[-1,1],第二个 区间为[0,1],则 a 的可能值是( A.-1 C.-2 解析 ∵f(0)=3>0,
?f?1?≤0, ?-3a+3≤0, ? ? ∴? ∴? ∴a≥1. ? ? ?f?-1?>0. ?3a+3>0.

)

) B.2 D.-3

答案 B 6. 在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时, 经计算, f(0.64)<0, f(0.72)>0,

f(0.68)<0,则函数的一个精确到 0.1 的正实数零点的近似值为( A.0.68 C.0.7 解析 B.0.72 D.0.6

)

已 知 f(0.64)<0 , f(0.72)>0 , 则 函 数 f(x) 的 零 点 的 初 始 区 间 为

1 [0.64,0.72].又 0.68=2(0.64+0.72),且 f(0.68)<0,所以零点在区间[0.68,0.72]上, 且该区间的左、右端点精确到 0.1 所取的近似值都是 0.7,所以 0.7 就是所求函数 的一个正实数零点的近似值. 答案 C 7.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0, f(0.5)>0,可得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 解析 由于 f(0)· f(0.5)<0,故 x0∈(0,0.5),依二分法,第二次应计算 f(0.25). 答案 (0,0.5) f(0.25) 8.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象是连续不断的,且有如下部分对应值 表: x f (x ) 1 2 3 4 5 -52.5 6 -232.1

136.1 15.6 -3.9 10.9

则 f(x)的零点至少有________个. 解析 因为 f(2)>0, f(3)<0, f(4)>0, f(5)<0, ∴f(2)· f(3)<0, f(3)· f(4)<0, f(4)· f(5)<0, 故 f(x)的零点至少有 3 个. 答案 3 能 力 提 升 9. 用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根, 取区间中点 x0=2.5, 那么下一个有根的区间是______. 解析 设 f(x)=x3-2x-5, f(2)=8-4-5=-1<0,

f(3)=27-6-5=16>0, 125 45 f(2.5)= 8 -10= 8 >0. ∴下一个有根的区间为[2,2.5]. 答案 [2,2.5] 10.函数 f(x)=8x2-10x-3 在[-1,2]上有无变号零点,请说明理由. 解 f(-1)=8+10-3=15>0,

f(2)=8×4-10×2-3=9>0,
?1? 1 1 f?2?=8×4-10×2-3=-6<0. ? ?

1? ?1 ? ? ∴f(x)在区间?-1,2?,?2,2?上各至少有一个零点.
? ? ? ?

11.用二分法求函数 f(x)=x3-4 的零点的近似值(精确到 0.1). 解 由于 f(1)=-3<0,f(2)=4>0,故可以取区间[1,2]作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算,列表如下: 端点或中点的横坐标 a0=1,b0=2 x0=(1+2)/2=1.5 x1=(1.5+2)/2=1.75 x2=(1.5+1.75)/2=1.625 x3=(1.5+1.625)/2= 1.5625 计算端点或中点的函数值 f(1)=-3,f(2)=4 f(x0)=-0.625 f(x1)=1.359375 f(x2)=0.291015625 f(x 3)=-0.185302734375 定区间 [1,2] [1.5,2] [1.5,1.75] [1.5,1.625] [1.5625,1.625]

由上表计算可知, 区间[1.5625,1.625]的左右端点精确到 0.1 所取的近似值 都是 1.6,因此,1.6 就是 f(x)=x3-4 的一个零点的近似值. 12.(1)m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点? ②有两个零点且均比-1 大?

(2)若函数 F(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解 (1)①若函数 f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点, 则等价于 Δ=4m2-4(3m+4)=0, 即 4m2-12m-16=0, 即 m2-3m-4=0, 解得 m=4 或 m=-1. ②设两个零点分别为 x1,x2,且 x1>-1,x2>-1,x1≠x2, 则 x1+x2=-2m,x1· x2=3m+4, Δ=4m -4?3m+4?>0 ? ? 故只需??x1+1?+?x2+1?>0 ? ??x1+1??x2+1?>0 m -3m-4>0 ? ? ??-2m+2>0 ? ?3m+4+?-2m?+1>0
2 2

m<-1或m>4, ? ? ??m<1, ? ?m>-5.

故 m 的取值范围是{m|-5<m<-1}. (2)若 F(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点, 即|4x-x2|+a=0 有四个根, 即|4x-x2|=-a 有四个根. 令 g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a. 则作出 g(x)的图象,如下图所示

由图象可知要使|4x-x2|=-a 有四个根, 则需 g(x)的图象与 h(x)的图象有四个交点,

∴0<-a<4,即-4<a<0. 品 味 高 考 13.若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)· (x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)· (x-a)的两 个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 ) B.(-∞,a)和(a,b)内

C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 解析 令 y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)[ 2x-(a+c)],y2=-(x-

c)(x-a),由 a<b<c 作出函数 y1,y2 的图象(图略),由图可知两函数图象的两个交 点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,即函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和 (b,c)内. 答案 A


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