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2014年肇庆市高中数学竞赛决赛试题及答案


2014 年肇庆市高中数学竞赛决赛试题 12.3
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置. ) 1 . 集合 A ? {0, 4, a} , B ? {1, a 4 } ,若 A ? B ? {0,1, 2, 4,16} ,则 a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2

D. 4
3 2 正视图 2 侧视图 (第 2 题图) 2

2 . 一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能 ... 是 长方形;② 正方形;③ 圆;④ 菱形. 其中正确的是 .① A.① ② B.② ③ C.③ ④ D.① ④ 3.设 a ? 0.5
?0.5

,

b ? log 0.3 0.4,

c ? cos

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

2? ,则 3 C. a ? b ? c

D. b ? c ? a

4. 平面上三条直线 x ? 2 y ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? ky ? 0 , 如果这三条直线将平面划分为六部分, 则实数 k 的 值为 A. 1

B. 2

C. 0 或 2

D. 0 , 1 或 2 )的图象如图所

| ? | ? ( x ?? ( ) 其中 A ? 0, ? 5 . 函 数 f ( x) ? A s i n

?
2

x的 图 像 , 则 只 要 将 f ( x) 的 图 像 示 , 为 了 得 到 g ( x) ? c o s 2

? 个单位长度 6 ? C. 向 左 平 移 个 单 位 长 度 6
A. 向 右 平 移

? 个单位长度 12 ? D. 向 左 平 移 个单位长度 12
B. 向 右 平 移

(第 5 题图)

6. 在棱长为 1 的正四面体 A 1 A2 ? Ai Aj (i, j ? 1, 2,3, 4, i ? j ) ,则 ai j 不同取值的 1A 2A 3 A4 中,记 ai j ? A 个数为 A.6 B .5 C .3 D.2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答 案填在答题卡相应题的横线上. ) 7.已知 a ? (m,?1) , b ? (1,?2) ,若 (a ? b) ? (a ? b) ,则 . 8.如图,执行右图的程序框图,输出的 T=

m=

.

9. 已知奇函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上单调递减,且 f (2) ? 0 , 则不等式 ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 的解集为 .
(第 8 题图)

10.求值:

1 1 ? ? ? cos70 3 sin 250?


第 1 页 共 10 页

11 . 对 任 意 实 数 x, y , 函 数 f ( x) 都 满 足 等 式 f ( x ? y 2 ) ? f ( x) ? 2 f 2 ( y) , 且 f (1) ? 0 , 则

f (2 0 1) 1 ?

.

12.在坐标平面内, 对任意非零实数 m , 不在抛物线 y ? mx2 ? ? 2m ?1? x ? ?3m ? 2? 上但在直线 y ? ? x ? 1 上的点的坐标为 .


题号 答案 1 2


3


4 5 6

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. )

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分. ) 7. 10. 8. 11. 9. 12.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.(本小题满分 12 分) 为预防 H1 N1 病毒暴发,某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效 的概率小于 90%,则认为测试没有通过),公司选定 2000 个流感样本分成三组,测试结果如下表: A组 疫苗有效 疫苗无效 673 77 B组 C组

x
90

y

z

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组的概率是 0.375. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个,问应在 C 组中抽取多少个? (3)已知 y ? 465 , z ? 25 ,求该疫苗不能通过测试的概率.

第 2 页 共 10 页

14. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos ( x ?
2

?
12

) ? sin 2 x .

(1)求 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; (2)若 f (? ) ? 1, ? ? (0, ? ) ,求 ? 的值.

15. (本题满分 13 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? AA 1 ? 2 , ?ACB ? 90 ? , E, F , G 分别是

AC, AA 1 , AB 的中点.
(1)求证: B1C1 // 平面 EFG ; (2)求证: FG ? AC1 ; (3)求三棱锥 B1 ? EFG 的体积.

B1 C1

A1

F

B

G E C

A

第 3 页 共 10 页

16. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? t 2 ? 3t .当 x ? [t , ? ?) 时,记 f ( x) 的最小值为 q(t ) . (1)求 q(t ) 的表达式; (2)是否存在 t ? 0 ,使得 q(t ) ? q( ) ?若存在,求出 t ;若不存在,请说明理由.

1 t

第 4 页 共 10 页

17. (本题满分 14 分) 已知圆 M : 2 x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ?1 ? 0 和直线 l : x ? y ? 9 ? 0 ,点 C 在圆 M 上,过直线 l 上一点 A 作

?MAC .
(1)当点 A 的横坐标为 4 且 ?MAC ? 45 时,求直线 AC 的方程;
?

(2)求存在点 C 使得 ?MAC ? 45 成立的点 A 的横坐标的取值范围.
?

第 5 页 共 10 页

18. (本题满分 14 分) 在区间 D 上,若函数 y ? g ( x) 为增函数,而函数 y ? 上的“弱增”函数.已知函数 f ( x) ? 1 ?

1 g ( x ) 为减函数,则称函数 y ? g ( x) 为区间 D x

1 . 1? x
1 x2 ? x1 ; 2

(1)判断函数 f ( x ) 在区间 (0,1] 上是否为“弱增”函数,并说明理由; (2)设 x1 , x2 ??0, ?? ?, x1 ? x2 ,证明 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? (3)当 x ??0,1? 时,不等式 1 ? ax ?

1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 1? x

2014 年高中数学竞赛决赛
参考答案
一、选择题:C B A D D C 二、填空题:7. ?2 8. 29 9. (??,?2) ? (0,1) ? (2,??) 12. ( , ? ), (1, 0), ( ?3, 4)

10.

4 3 3

11.

2011 2

3 2

1 2

三、解答题: 13. (本题满分 12 分) 解: (1)因为在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组的概率 0.375,

??????3 分 (2)C 组样本个数为 y+z=2000-(673+77+660+90)=500, ??????4 分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个,则应在 C 组中抽取个数为

x ? 90 ? 0.375 , 2000 即 x ? 660 .
所以

??????2 分

360 ? 500 ? 90 个. 2000
(3)设事件“疫苗不能通过测试”为事件 M.

??????7 分

由(2)知 y ? z ? 500 ,且 y, z ? N ,所以 C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有: (465,35) 、 (466,34) 、 (467,33) 、??(475,25)共 11 个. ?????? 9 分 由于疫苗有效的概率小于 90%时认为测试没有通过,所以疫苗不能通过测试时,必须有

673 ? 660 ? y ? 0.9 , 2000
即 673? 660 ? y ? 1800, 解得 y ? 467 ,
第 6 页 共 10 页

???????10 分

所以事件 M 包含的基本事件有: (465,35) 、 (466,34)共 2 个.

???????11 分

2 所以 P( M ) ? , 11
故该疫苗不能通过测试的概率为

2 . 11

???????12 分

14. (本小题满分 12 分) 解: f ( x) ? 1 ? cos( 2 x ?

?
6

) ? sin 2 x

???????1 分

? 1 ? cos 2 x cos

?
6

? sin 2 x sin

?
6

? sin 2 x
??????? 2 分

? 1?

3 1 cos2 x ? sin 2 x 2 2

? sin( 2 x ?

?
3

) ? 1. 2? ?? ; 2

???????4 分 ???????5 分 ???????6 分 ???????7 分 ???????8 分 ???????9 分 ???????10 分 ???????12 分

(1) f ( x) 的最小正周期为 T ? 又由 2 x ?

?
3

? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?

5? ? , k? ? ]( k ? Z ) , 12 12 5? ? , k? ? ]( k ? Z ) . 从而 f ( x) 的单调增区间为 [ k? ? 12 12
得 x ? [k? ? (2)由 f (? ) ? sin( 2? ? 所以 2? ?

2

],

?

k? ? ? (k ? Z ) . 3 2 6 ? 5? 又因为 ? ? (0, ? ) ,所以 ? ? 或 . 3 6 ? k? , ? ?
15. (本题满分 13 分) 解: (1)因为 G、E 分别是 AB、AC 的中点,所以 GE // BC ;??1 分 又 B1C1 // BC ,所以 B1C1 // GE ; 又 GE ? 平面 EFG , B1C1 ? 平面 EFG , 所以 B1C1 // 平面 EFG . ????3 分 B ????2 分

?

3

) ? 1 ? 1 得 sin( 2? ?

?

3

) ? 0,

B1 C1

A1

F

G E C

A

(2)直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,因为 ?ACB ? 90? , 所以 BC ? 平面 AA 1C1C ; 又 GE // BC ,所以 GE ? 平面 AA 1C1C ,即 GE ? AC1 ;
第 7 页 共 10 页

?????4 分 ?????5 分

又因为 AC ? AA 1 ? 2 ,所以四边形 ACC1 A 1 是正方形,即 A 1C ? AC 1; 又 E , F 分别是 AC, AA 1 的中点,所以 EF // A 1C ,从而有 EF ? AC1 , 由 EF ? GE ? E ,所以 AC1 ? 平面 EFG ,即 FG ? AC1 . (3)因为 B1C1 // 平面 EFG ,所以 VB1 ? EFG ? VC1 ? EFG ? VG ? EFC1 . 由于 GE ? 平面 AA 1C1C ,所以 VG ? EFC1 ?

?????6 分 ?????7 分 ?????8 分 ?????10 分

1 1 S ?EFC1 ? GE ,且 GE ? BC ? 1 .????11 分 3 2 1 3 又由于 S ?EFC1 ? S正方形ACC1 A1 ? S ?AEF ? S ?A1 FC1 ? S ?ECC1 ? 4 ? 1 ? 1 ? ? ,?????12 分 2 2 1 1 3 1 1 所以 VG ? EFC1 ? S ?EFC1 ? GE ? ? ? 1 ? ,即 VB1 ? EFG ? . ?????13 分 3 3 2 2 2
16. (本题满分 13 分) 解: (1) f ( x) ? x2 ? 2x ? t 2 ? 3t
f ( x)

? ( x ? 1)2 ? t 2 ? 3t ? 1.

?????1 分
O 1

①当 t ? 1 时, f ( x) 在 x ? [t , ? ?) 时为增函数,所以

x

f ( x) 在 x ? [t , ? ?) 时的最小值为 q(t ) ? f (t ) ? t ;?????3 分
②当 t ? 1 时, q(t ) ? f (1) ? ?t 2 ? 3t ? 1 ; 综上所述, q(t ) ? ? ?????5 分

t (t ? 1) .w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 ??t ? 3t ? 1 (t ? 1) ?

?????6 分

2 (2)由(1)知,当 t ? 0 时, q(t ) ? ?t ? 3t ? 1 ,

1 3 ? ?1 . t2 t 1 1 3 2 由 q(t ) ? q( ) 得: ? t ? 3t ? 1 ? ? 2 ? ? 1 , t t t
所以当 t ? 0 时, q( ) ? ? 即 t ? 3t ? 3t ? 1 ? 0 ,
4 3

1 t

?????7 分 ?????8 分 ?????9 分 ?????11 分

整理得 (t ? 1)(t ? 3t ? 1) ? 0 ,
2 2

解得:t ? ?1 或 t ?

3? 5 . 2
1 t

?????12 分

又因为 t ? 0 ,所以 t ? ?1 .即存在 t ? ?1 ,使得 q(t ) ? q( ) 成立.

?????13 分

17. (本题满分 14 分)
第 8 页 共 10 页

解: (1)圆 M 的方程可化为: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ?
2 2

17 34 ,所以圆心 M (2,2) ,半径 r = . ??1 分 2 2
?????2 分

由于点 A 的横坐标为 4 ,所以点 A 的坐标为(4,5) ,即 AM ? 13 .

若直线 AC 的斜率不存在,很显然直线 AM 与 AC 夹角不是 45 ,不合题意,故直线 AC 的斜率 一 定 存 在 , 可 设 AC 直 线 的 斜 率 为 k , 则 AC 的 直 线 方 程 为 y ? 5 ? k ( x ? 4 ) ,即

kx ? y ? 5 ? 4k ? 0 .
由于 ?MAC ? 45 所以 M 到直线 AC 的距离为 d ?
?

?????3 分

2 26 ,此时 d ? r ,即这样的 | AM |? 2 2
?????4 分

点 C 存在. 由

2k ? 2 ? 5 ? 4k k 2 ?1

?

3 ? 2k 1 26 26 ,得 ,解得 k ? ?5 或 k ? . ? 5 2 2 k 2 ?1

?????5 分

所以所求直线 AC 的方程为 5x ? y ? 25 ? 0 或 x ? 5 y ? 21 ? 0 . (2) 当 | AM |?

?????6 分

2r 时,过点 A 的圆 M 的两条切线成直角,从而存在圆上的点 C (切点)使得
?????7 分

?MAC ? 45? .
设点 A 的坐标为 ( x , y ) ,则有

? ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 ? 34 ? 17 , ? 2 ? x ? y ? 9 ? 0 ?
解得 ?

?????8 分

? x ? 3 ?x ? 6 或? . ?y ? 6 ?y ? 3
l
y

?????9 分

记点 (3,6) 为 P ,点 (6,3) 为 Q ,显然当点 A 在 线段 PQ 上时,过 A 的圆的两条切线成钝角,从

A
而必存在圆上的一点 C 使得 ?MAC ? 45 ;??11 分
?

当点 A 在线段 PQ 的延长线或反向延长线上时,过

?M
O

A 的圆的两条切线成锐角,从而必不存在圆上的
点 C 使得 ?MAC ? 45 ,
?

x

????13 分

所以满足条件的点 A 为线段 PQ 上的点,即满足条件的点 A 的横坐标取值范围是 ?3,6? .??14 分
第 9 页 共 10 页

18. (本题满分 14 分) 解: (1)由 f ( x) ? 1 ?

1 可以看出,在区间 (0,1] 上, f ( x ) 为增函数. 1? x

??????1 分



1 1 1 1 1 ? x ?1 1 x 1 ,?????3 分 f ( x) ? (1 ? )? ? ? x x x 1? x x 1 ? x ( 1 ? x ? 1) 1 ? x ? 1 ? x 1? x

显然

1 f ( x ) 在区间 (0,1] 上为减函数, x
??????4 分

? f ( x) 在区间 (0,1] 为“弱增”函数.
(2) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 1 ? ? 1 ? x2 1 ? x1

1 ? x1 ? 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x1

?

x2 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 ( 1 ? x2 ? 1 ? x1 )

.?6 分

x1 , x2 ??0, ??? , x1 ? x2 ,
? 1 ? x1 ? 1 , 1 ? x2 ? 1 , 1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,即
1 ? x2 1 ? x1 ( 1 ? x2 ? 1 ? x1 ) ? 2 ,
? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?
??????8 分 ??????9 分 ??????10 分

1 x2 ? x1 . 2

(3)当 x ? 0 时,不等式 1 ? ax ?

1 显然成立. 1? x

“ 当 x ? ? 0,1? 时 , 不 等 式 1 ? ax ?

1 恒 成 立 ” 等 价 于 “ 当 x ? ? 0,1? 时 , 不 等 式 1? x
??????11 分

a?

1 1 1 (1 ? ) 即 a ? f ( x) 恒成立” . x x 1? x 1 f ( x)] min 成立” . x

也就等价于:“ 当 x ? ? 0,1? 时, a ? [

??????12 分

由(1)知

1 2 1 . ?????13 分 f ( x) 在区间 (0,1] 上为减函数, 所以有 [ f ( x)]min ? f (1) ? 1 ? x x 2 2 2 1 ,即 a ? 1 ? 时,不等式 1 ? ax ? 对 x ??0,1? 恒成立. ?????14 分 2 2 1? x

? a ? 1?

第 10 页 共 10 页


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