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《15.2.1 平方差公式》1


课前复习
1.如何进行多项式与多项式相乘的运算 ?
2

(a+b)(m+n) = am+an +bm +bn
1 1

2

3

4

3

2.计算下列多项式的积, 观察所给多项式有哪些特点?
从运算结果 2-2a+2a-4 2-4 a a ⑴ (a+2)(a-2)=____________=________ 看,你发现 什么? 9+3x-3x-x2 9-x2 ⑵ (3-x)(3+x)=____________=________

4

4m2-n2 ⑶ (2m+n)(2m-n)= 4m2-2mn+2mn-n2 =____

从前有一个狡猾的地主,他把一块长为x米 的正方形的土地租给张老汉种植,有一天,他对 张老汉说: “我把这块地的一边减少5米,另一 边增加5米,继续租给你,你也没有吃亏,你看 如何?”张老汉一听觉得没有吃亏,就答应了 , 回到家中,他把这件事对邻居讲了,邻居一听, 说:“张老汉你吃亏了!” 同学们,你能告诉张老汉这是为什么吗? 2- 52 x (x+5) (x-5) =
5米

(X+5)米

x 米
5米

(X-5)米

(a+b)· (a-b)=
a

2 2 a -b
b

a

a
b

2
b

b
2 2 a -b

2

长方形的面积=

(a+b)(a-b)

知识要 点
符号相同的项是a 一般地,我们有 平方差公式

(a+b)(a-b)=

2 2 a -b

符号相反的项是b 两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差.

应用平方差公式计算: (找出题中的a与b)
(1) (x+7)(x?7) 解: 原式= x2?72 (2) (1+2a)(1?2a) 解: 原式= 12?(2a)2

= x2?49
(3) (-x+4y)(-x?4y) 解: 原式= (-x)2?(4y)2

= 1?4a2
(4) (3y+5z)(3y?5z) 解:

原式= (3y)2?(5z)2

= x2?16y2

= 9y2?25z2

⑴ (a+1)(a-1)= a2-1 ⑵ (3+a)(3-a)= 9-a2

a2-(2b)2

⑶ (a+2b)(a-2b)= a2-4b2 (3x)2-(5y)2 ⑷ (3x+5y)(3x-5y)= 9x2-25y2 ⑸ (10s-3t)(10s+3t)= 100s2-9t2

⑹ (-m+n)(-m-n)=m2-n2
1 1 2-4b 2 2 2 ⑺ (1 a-2b)(2b+ a)= a (-m)4 -n 2 2

(10s)2-(3t)2

⑻ (-4x+y)(y+4x)=y2-(4x)2=y2-16x2

判断并改错: (1) (a+3)(a-3)=a?-3 ( × ) 改正: (a+3)(a-3)=a? -9 (2)(5y+2)(5y-2)=5y?-4 ( × ) 改正: (5y+2)(5y-2)=25y? -4 (3) (1-4xy)(-1-4xy)=1-16x?y? ( × ) 改正: 原式=(- 4xy+1)(- 4xy-1)=16x? y? -1 加法交换律 (4)(-ab+3c)(-3c-ab)=a?b?-9c? (√ ) 改正: 加法交换律 (-ab+3c)(-ab-3c) (5) (-m+7)(7-m)=m?-49 ( × ) 改正: 原式=(7-m)(7-m)=(7-m)?

下列各式能否用平方差公式进行计算 ⑴ (7a-3b)(7b+3a) (不能) ⑵ (-8+a)(a-8) (不能) ⑶ ( 2a ? 3b)( 2a ? 3b) (能 ) 2a2?3b2 = ⑷ - (a-b)(a+b) (能) 解:原式=?(a2 ?b2) 2?a2 = b 2 ) 9?m ⑸ (-3-m)(m-3) (能 = ⑹ (a-b)(b-a) (不能) ) a4?b4 ⑺ (a2+b2)(a2-b2) (能 =

(1) (2x+3)( 2X-3 )=4x2-9
2 1-4x (2) (-1-2x)( 2x-1)=

(3) (m+n)(n-m )=n2-m2 (4) ( -1+y )(-y-1)=1-y2 (5) (-3a2+2b2)( -3a2-2b2)=9a4-4b4

(a+b)(a?b)=a2?b2
(1)公式左边两个二项式必须是相同两数 的和与差相乘;
平方 差公 式的 结构 特征

(2)公式右边是这两个数的平方差; 即 相同项2-相反项2 符号相同的放在前面平方,符号相反的放在 后面平方.
(3)公式中的 a和b 可以是数,也可以是 式子.

⑴ 102×98= (100+2)(100-2)=9996
2 2 5 1 2 (50 + )(50 - )=2499 ⑵ 50 3 ×49 3 = 3 3 9

⑶ 59.8×60.2= (60-0.2)(60+0.2)=3599.96
⑷ 5678×5680-56792 =(5679-1)(5679+1)-56792

= 56792-1- 56792
=-1

利用平方差公式计算:
(1)(b+2)(b?2) (2)(a +2b)(a?2b)

(3)(?3x+2)(?3x?2) (4)(?4a+3)(?4a?3)

(5)(?3x+y)(3x+y)

(6)(y?x)(?x?y)

运用平方差公式进行计算:

(1)(x+m)(x-m)

(2)(3a+b)(3a-b)

(3)(5a-4b)(5a+4b) (4)(-5x-3y)(-5x+3y) 1 1 1 2 1 2 (5)( a ? 2b)( a ? 2b) (6)( a ? b)( a ? b) 3 3 4 3 4 3 1 1 (7)( a ? 0.2b)( a ? 0.2b) 5 5

(8)(x ?1)(x ? 1)(x ? 1)
2



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