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椭圆的简单几何性质导学案(定稿)


2.2.2 椭圆的几何性质导学案
学习目标 1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解 a,b,c,e 的几何意义 2 、 通过对椭圆标准方程的讨论,理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何 问题的。 3 、初步利用椭圆的几何性质解决问题。 学习重点与难点 学习重点:椭圆的几何性质 学习难点:椭圆的几何性质的探讨以及 a,b,c,e 的关系 复习旧知 (1)椭圆的定义: (2)椭圆的标准方程: 焦点在 x 轴上时: (3)椭圆中 a,b,c 的关系是: 学习过程 一、课内探究 .焦点在 y 轴上时: . . .

x2 y 2 探究一:观察椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的形状,你能从图形上看出它的范围吗? a b

它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?
y

x o

1 、范围 : (1)从图形上看,椭圆上点的横坐标的范围是 __________ _______ 。 椭圆上点的纵坐标的范围是 __________ __________ .。 (2)由椭圆的标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 知: a2 b2

x2 y2 ① 2 ____ 1,即 ____ ? x ? ____ ,② 2 ____ 1;即 ____ ? y ? ___ a b

因此

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 位于直线 a2 b2

和 __________ 围成的矩形里。

2 、对称性 (1)从图形上看,椭圆关于 _________ , __________ , __________ 对称 (2)从方程上看,在椭圆的标准方程
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中 a2 b2

① 把 x 换成-x 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称。 ②把 y 换成-y 方程不变,说明图像关于 __________ 轴对称。 ③把 x 换成-x,同时把 y 换成-y 方程不变,说明图形关于 __________ 对称, 因此 __________ __ 是椭圆的对称轴, _________ 是椭圆的对称中心, 椭圆的对称中心叫做 __________ _ 。 3 、顶点: (1)椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有 ______ 个交点, 分别为: A1 ( , )

A2 (

,

)

B1 (

,

)

B2 (

,

)

(2)线段 A1 A2 叫做椭圆的 _______ ,其长度为 __________ 线段 B1 B2 叫做椭圆的 ________ ,其长度为 __________ a 和 b 分别叫做椭圆的 ________ 和 __________ _ 探究二:同为椭圆为什么有些椭圆 “圆”些,有些椭圆“扁”些?是什么因素影响 了椭圆的扁圆程度? 4 、椭圆的离心率: (1)定义: __________ __________ __________ 叫做椭圆的离心率, 用 表示,即 ______? ______

(2)由于 a>c>0,所以离心率 e 的取值范围是 __________ ___ (3) 若 e 越接近 1, 则 c 越接近 a, 从而 b ? a 2 ? c 2 越 ____ , 因而椭圆越 _______ ; 若 e 越接近 0,则 c 越接近 0,从而 b ? a 2 ? c 2 越 ____ ,因而椭圆越接近于

要点总结: 标准方程
x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1, (a ? b ? 0) a2 b2

图形 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 轴长 焦距 a,b,c 关系 离心率 短轴长 ,长轴长 __________ _______ .

二、典例剖析 例1 求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐

标,并用描点法画出它的图形.

跟踪训练 1 已知椭圆方程为 6 x2 ? y 2 ? 6 , 它的长轴长是: 。 短轴长是: 。 焦距是: 焦点坐标是:_________________________。 顶点坐标是:_________________________。 .离心率是: 。

例 2 :求适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)经过点



;(2)长轴长等于 20,离心率等于



跟踪训练 2

椭圆的中心在原点,一个顶点是(0,2) ,离心率 e ?

3 2

,求椭

圆的标准方程。

三、小结反思

四、分层作业 : 教材 48 页:必做题 3、4 选作题 7



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