tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(二)函数的概念及其性质(理科)


2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学(二) 函数的概念及其性质(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个选项是符合题目要求的. 1.函数 y=|x-1|+1 的图象的对称轴方程为( A.x=1 2.函数 y= A.[0,+∞) C.{0} B.x=-1 ) C.y=1 ) B.(0

,+∞) D.以上答案都不对 D.y=-1

a2 x (a≠0)的定义域为(

3.直角梯形 ABCD 如图 1,动点 P 从点 B 出发,由 B→C→D→A 沿边运动,设点 P 运动的 路程为 x,△ABP 的面积为 f(x).如果函数 y=f(x)的图象如图 2 所示,则△ABC 的面 积为( )

A.10

B.32

C.18

D.16

?(2 ? a) x ? 4a, x ? 1 4.已知函数 f(x)= ? 是(-∞,+∞)上的增函数,则实数 a 的取值范围是 ?ax, x ≥ 1
( )
1 B.[ ,2) 3

1 A.(0, ) 3

C.(-1,0)

D.(-1,2) )

5.若 f(x)=x2+ax+b-3,x∈R 的图象恒过(2,0),则 a2+b2 的最小值为( A.5 B.4 C.
1 4

D.

1 5

1

?1, x ≥ 0 6.已知函数 f(x)= ? ,g(x)=x3,则 f(x)?g(x)的奇偶性为( ??1, x ? 0
A.是奇函数不是偶函数 C.是奇函数也是偶函数 7.已知图甲为函数 y=f(x)的图象,则图乙中的图象 对应的函数可能为( )



B.是偶函数不是奇函数 D.不是奇函数也不是偶函数

A.y=|f(x)|

B.y=f(|x|)

C.y=f(-|x|)

D.y=-f(-|x|)

8.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,g(x)是定义在 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1) 则 f(2011)+f(2013)的值为( A.-1 B.1 ) C .0 D.无法计算

9.某商店已按每件 80 元的成本购进某种上装 1000 件,根据市场预测,当每件售价 100 元时 可全部售完,若定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件,若要获得最大利润,则销售价应定为 ( ) B.130 元 C.150 元 D.190 元 )

A.110 元

10.定义在 R 上的偶函数 f(x),满足 f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为递增,则( A.f (3) < f ( 2 ) < f (2) C.f (3) < f (2) < f ( 2 ) B.f (2) < f (3) < f ( 2 ) D.f ( 2 ) < f (2) < f (3)

11.已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数,h(x)=af(x)+bg(x)+2 在区间(0,+∞)上 有最大值 5,那么 h(x)在(-∞,0)上的最小值为( A.-5 B.-1 C.-3 ) D.5

12.已知定义在实数 R 上的函数 y=f(x)不恒为零,同时满足 f(x+y)=f(x)f(y),且当 x>0 时,f(x)>1,那么当 x<0 时,一定有( A.f(x)<-1 B.-1<f(x)<0 ) D.0<f(x)<1

C.f(x)>1

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.

?2 x ? 3, x ? 0 13.已知函数 f(x)= ? 是(-∞,+∞)上的奇函数,则 g(-1)= ? g ( x), x ? 0
14.已知函数 f(x)=x2+2x+4.若 x1+x2=0 且 x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是 15.已知函数 f(x)=x2-2x+a,x∈[0,3]的任意三个不同的函数值总可以作为一个三角形的 三边长,则实数 a 的取值范围 16.设函数 f(x)=|x|x+bx+c,给出下列 4 个命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④函数 f(x)至多有 2 个零点。上述命题中的所有正确命题的序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点 A(0,1)和 B(-1,0),且 b2-4a≤0. (1)求 f(x)的解析式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范 围.

18.已知定义在区间[0,1]上的两个函数 f(x)和 g(x),其中 f(x)=x2-ax+2(a≥0), g(x)=
x2 . x ?1

(1)求函数 f(x)的最小值 m(a); (2)若对任意 x1,x2∈[0,1],f(x2)>g(x1)恒成立,求 a 的取值范围.

3

19.函数 f(x)=

ax ? 1 (a 为常数). x?2

(1)若 a=1,证明:f(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数;
3 (2)若 a<0,且当 x∈(-1,2)时,f(x)的值域为(- ,3),求 a 的值. 4

20.已知函数 f(x)=x|x-m|+2x-3(m∈R). (1)若 m=4,求函数 y=f(x)在区间[1,5]的值域; (2)若函数 y=f(x)在 R 上为增函数,求 m 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=

ax 2 ? 1 (a,c∈R,b∈N,a>0,b>0)是奇函数,在区间(0,+∞) bx ? c
5 . 2

上,函数有最小值 2,且 f(1)< (1)求 f(x)的解析式.

(2)函数 f(x)图象上是否存在两点关于点(1,0)对称?若存在,求出这些点的坐标; 若不存在,说明理由.

4

22.对于定义域为 D 的函数 y=f(x),若同时满足:①f(x)在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间[a,b]?D,使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].那么把函数 y=f(x)(x∈D) 叫做“同族函数”. (1)求“同族函数”y=x2(x≥0)符合条件②的区间[a,b]. (2)是否存在实数 k,使函数 y=k+ x ? 2 是“同族函数”?若存在,求实数 k 的取值范围;若 不存在,请说明理由.

5

2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试示范卷数学(二) 函数的概念及其性质(理科)答案 1、解:把函数 y=|x|的图象向右平移 1 个单位、再向上平移 1 个单位,可得 y=|x-1|+1 的图象, ∵函数 y=|x|为偶函数,其图象关于 y 轴对称,即对称轴方程为 x=0, ∴函数 y=|x-1|+1 的图象关于 x=1 对称, ∴函数 y=|x-1|+1 的对称轴为 x=1, 2、解:由 a2x≥0,且 a2>0,解得 x≥0, ∴函数 y= a2 x 的定义域为{x|x≥0}=[0,+∞). 3、解:由题意知,BC=4,CD=5,AD=5 过 D 作 DG⊥AB ∴AG=3,由此可求出 AB=3+5=8.
1 1 S△ABC= AB?BC= × 8× 4=16. 2 2

故选:A.

故选:A.

故选 D.
?2 ? a ? 0 ? 4、解:由已知条件得, ? a ? 0 ; ? 2 ? 5a ≤ a ?
1 ∴ ≤ a< 2; 3 1 ∴实数 a 的取值范围是[ , 2 ).故选 B. 3

5、解:把(2,0)代入二次函数解析式得: 4+2a+b-3=0,即 2a+b=-1,解得:b=-1-2a,
2 2 1 )+ , 5 5 2 1 1 所以当 a=- ,b=- 时,a2+b2 的最小值为 . 故选 D. 5 5 5

则 a2+b2=a2+(-1-2a)2=5a2+4a+1=5(a+

3 ? ?x , x ≥ 0 6、解:f(x)?g(x)= ? 3 ,若 x>0,则-x<0, ? ?? x , x ? 0

则 f(-x)=-(-x)3=x3=f(x), 若 x<0,则-x>0,则 f(-x)=(-x)3=-x3=f(x), 故函数为偶函数不是奇函数, 故选:B.

7、解:比较图甲与图乙中两个函数的图象,x>0 时,函数图象与原函数图象相同,只有 B
6

符合, 观察图乙中函数的图象,图象关于 y 轴对称,故图乙中的图象对应的函数为偶函数,选项 B 仍符合, 故选:B.

8、解:∵f(-x-1)=g(-x)=-g(x)=-f(x-1),又 f(x)为偶函数 ∴f(x+1)=f[-(x+1)]=f(-x-1),于是 f(x+1)=-f(x-1) ∴f(x+1)+f(x-1)=0. ∴f(2011)+f(2013)=f(2012-1)+f(2012+1)=0, 9、解:假设提高售价 x 元,获得总利润 y 元 由题意得,y=(20+x)(1000-5x)-80× 5x=-5x2+500x+20000(0≤x≤200,x∈N) ∵对称轴 x=50 ∴当 x=50 即售价定为 150 元时,利润最大; 故选 C.

ymax=-5× 2500+500× 50+20000=32500 ∴售价定为 150 元时,利润最大. 10、解:因为 f(x+1)=-f(x), 所以 f(x+2)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x). 所以 f(x)是以 2 为周期的函数. 又 f(x)为偶函数,且在[-1,0]上递增, 所以 f(x)在[0,1]上递减, 又 2 为周期,所以 f(x)在[1,2]上递增,在[2,3]上递减, 故 f(2)最大, 又 f(x)关于 x=2 对称,且 2 离 2 近,所以 f( 2 )>f(3),故选 A. 11、解:令 F(x)=h(x)-2=af(x)+bg(x), 则 F(x)为奇函数. ∵x∈(0,+∞)时,h(x)≤5, ∴x∈(0,+∞)时,F(x)=h(x)-2≤3. 又 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∴F(-x)≤3?-F(x)≤3?F(x)≥-3. ∴h(x)≥-3+2=-1, 故选 B. 故选 C

12、解:对任意 x,y∈R,恒有 f(x+y)=f(x)?f(y), 可令 x=1,y=0 可得 f(0+1)=f(0).f(1) 因为当 x>0 时,f(x)>1,故 f(1)>1>0
7

所以 f(0)=1 再取 x=-y,可得 f(0)=f(-y+y)=f(-y)?f(y)=1 所以 f(-y)=
1 1 ,同理得 f(-x)= , f ( y) f ( x) 1 >1 f ( x)

当 x<0 时,-x>0,根据已知条件得 f(-x)>1,即 变形得 0<f(x)<1; 故选 D.

13、解:由题意 g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(2× 1-3)=1, 故答案为:1. 14、解:根据题意,x1=-x2,x2>0; f(x1)-f(x2)=x 2 2 -2 x 2 +4- x 2 2 -2 x 2 -4=-4 x 2 < 0 ; ∴f(x1)<f(x2). 故答案为:f(x1)<f(x2). 15、解:由 f(x)=x2-2x+a=(x-1)2+a-1,x∈[0,3], 得到 f(x)的最大值为 f(3)=a+3,最小值为 f(1)=a-1, 由题意可知:2(a-1)>a+3,解得 a>5. 则实数 a 的取值范围是 a>5. 故答案为:a>5

2 ? ?x ? c 16、解:①、当 b=0,c>0 时,f(x)=|x|x+c= ? 2 ,结合图形知 f(x)=0 只有一个实数 ? ?? x ? c

根,故①正确; ②、当 c=0 时,f(x)=|x|x+bx,有 f(-x)=-f(x)=-|x|x-bx,故 y=f(x)是奇函数,故② 正确; ③、y=f(x)的图象可由奇函数 f(x)=|x|x+bx,向上或向下平移|c|而得到,y=f(x)的图 象与 y 轴交点为(0,c),故函数 y=f(x)的图象关于(0,c)对称,故③正确; ④、举例可得,方程|x|x-5x+6=0 有三个解-6、2、3,即三个零点,故④错误; 故答案为①②③. 17、解:(1)由题设得:f(0)=c=1,f(-1)=a-b+1=0,b=a+1; 代入 b2-4a≤0,得(a+1)2-4a≤0,即(a-1)2≤0,解得 a=1,b=2; 所以 f(x)=x2+2x+1; (2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1; 因为当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数;
8

所以-

2?k 2?k ≤-2 或≥2; 2 2

解得,k≤-2,或 k≥6; ∴实数 k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).

? a2 a2 2 a2 ?2 ? , 0 ≤ a ? 2 18、解:(1)由 f(x)=(x- ) +2- 得 m(a)= ? . 4 2 4 ?3 ? a, a ≥ 2 ?
(2)令 0≤x0< x0? ≤1, 则 g(x0)-g( x0? )= ∵x0< x0? , ∴x0- x0? <0,∴
( x0 ? x0? )( x 0 x0? ? x0 ? x0? ) <0, ( x 0 ?1)( x0? ? 1)
2 x0 x ?2 ( x ? x ? )( x 0 x0? ? x0 ? x0? ) , ? 0 ? 0 0 x0 ? 1 x0? ( x 0 ?1)( x0? ? 1)

即 g(x0)<g( x0? ), ∴函数 g(x)在[0,1]上为增函数,值域为[0, 由题设,得 f(x2)min>g(x1)max,
1 ], 2

?0 ≤ a ? 2 ?a ≥ 2 ? ? 2 故? a 1 ,解得 0≤a<, 1 或? 3? a ? ? ?2 ? ? 2 ? 4 2 ?
所求 a 的取值范围为[0, 19、 解:(1)证明:若 a=1,则 f(x)=
x ?1 , x?2 5 ). 2

设任意 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=
x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? 1)( x1 ? 2) x1 ? x2 ? = = , ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

因为 x1+2>0,x2+2>0,且 x1-x2<0, 则 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(-2,+∞)上是增函数. (2)若 a<0,且当 x∈(-1,2)时, 同理可证明 f(x)在(-1,2)上为减函数,
9

所以 f(2)<f(x)<f(-1), 即
2a ? 1 <f(x)<1-a. 4 3 ,3), 4

因为当 x∈(-1,2)时,f(x)的值域为(3 ? 2a ? 1 ?? ? 所以 ? 4 4 ? ?1 ? a ? 3

解得 a=-2.

2 2 ? ? x ? 2 x ? 3( x ≥ 4) ? ?( x ? 1) ? 4( x ≥ 4) 20、解:(1)f(x)=x|x-4|+2x-3= ? 2 =? ( 6 分) 2 ? x ? 6 x ? 3( x ? 4) ? ( x ? 3) ? 6( x ? 4) ? ? ? ?

∵x∈[1,5] ∴f(x)在[1,3]上递增,在[3,4]上递减,在[4,5]上递增. ∵f(1)=2,f(3)=6,f(4)=5,f(5)=12, ∴f(x)的值域为[2,12]( 10 分)
2 ? ? x ? (, ?2) x ? 3( x ≥ m ) (2)f(x)=x|x-m|+2x-3= ? 2 ? ?? x ? (m ? 2) x ? 3( x ? m)

m?2 2 m?2 2 ? (x ? ) ?3?( ) ( x ≥ m) ? ? 2 2 =? ? ? ( x ? m ? 2 ) 2 ? 3 ? ( m ? 2 ) 2 ( x ? m) ? ? 2 2 ?m ? 2 ≤m ? ? 2 因为 f(x)在 R 上为增函数,所以 ? ?m ? 2 ≥ m ? ? 2

-2≤m≤2. (15 分)

21 、 解:(1)因为函数 f(x)=

ax 2 ? 1 是奇函数, bx ? c

所以 f(-x)=-f(x),即

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ,化简得 c=0. ?bx ? c bx ? c

因为 a>0,b>0,所以当 x∈(0,+∞)时, f(x)=

ax 1 ax 1 a ? ≥2 ? ? 2 2 ? 2, b bx b bx b
ax 1 1 ? ,即 x= x ? 时,等号成立, b bx a

当且仅当

10

1 . bx 1 5 1 由 f(1)=b+ < ,解得 <b<2. b 2 2

所以 a=b2,f(x)=bx+

又 b∈N,所以 b=1,a=b2=1.故 f(x)=

x2 ? 1 . x

(2)设存在两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)关于点(1,0)对称,

1 ? ? x1 ? x2 y1 ? x1 ? ? 1 ? ? x1 ? 2 ? 则有① ? ②? ? y1 ? y2 ? 0 ? y ? x ? 1 2 2 ? ? ? 2 x2 ?
? ? x1 ? x2 ? 2 ?x ? 1? 2 ? ?x ? 1? 2 ②代人①化简,得 ? 解得 ? 1 或? 1 ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? x2 ? 1 ? 2 ? ? x2 ? 1 ? 2

所以存在点(1+ 2 ,2 2 )、(1-

2 ,-2

2 )关于点(1,0)对称.

22 、 解:(1)由题意,函数 f(x)=x2 在[a,b]上单调递增,

?a ? a 2 ? ?a ? 0 则 ?b ? b 2 ,解得 ? ?b ? 1 ?b ? a ? 0 ?
即所求的区间为[0,1]. (2)若函数 y=k+ x ? 2 是“同族函数”, 则存在区间[a,b],在区间[a,b]上,函数 y=f(x)的值域为[a,b]. 而函数 y=k+ x ? 2 在定义域内单调递增,
?a ? k ? a ? 2 ? 所以 ? 则 a,b 是关于 x 的方程 x=k+ x ? 2 的两个实数根, b ? k ? b ? 2 ? ?

即方程 x2-(2k+1)x+k2-2=0 (x≥-2,x≥k)有两个不相等的实数根. 记 f(x)=x2-(2k+1)x+k2-2,
? ?? ? 0 ? 当 k≤-2 时,有 ? f ( ?2) ≥ 0 ? 2k ? 1 ? ? ?2 ? 2

9 解得- <k≤-2. 4

11

? ?? ? 0 ? 当 k>-2 时,有 ? f (k ) ≥ 0 无解. ? 2k ? 1 ? ?k ? 2
9 综上所述,实数 k 的取值范围是(- ,-2]. 4

12


推荐相关:

2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(二)函数的概念及其性质(理科)

2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(二)函数的概念及其性质(理科)_数学_高中教育_教育专区。此文档本人编辑整理。2014 年 4 月全国 100 所名校单元测试...


2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(一)集合与常用逻辑用语(理科)

2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(一)集合与常用逻辑用语(理科)_数学...b=a?c 为真命题. 故选:A. 9、解:由题意,结合函数性质可得 x>1,f(x)...


2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(三)指数函数、对数函数、幂函数(理科)

2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(三)指数函数、对数函数、幂函数(理科)_数学_高中教育_教育专区。此文档本人整理编辑。2014 年 4 月全国 100 所名校...


2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(一)集合与常用逻辑用语(理科)

2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(一)集合与常用逻辑用语(理科)_韩语学习_外语学习_教育专区。2014年4月全国100所名校单元测试示范卷数学(一)集合与常用...


2016届全国100所名校高考数学模拟示范卷(理科)(七)解析版

2016 年全国 100 所名校高考数学模拟示范卷(理科) ...4-5:不等式选讲] 24. (2014?兴庆区校级模)...【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z...


全国100所名校单元测试示范卷高三物理卷(十五)第十五元 必考部分综合(教师用卷)

全国100所名校单元测试示范卷高三物理卷(十五)第十五元 必考部分综合(教师用卷)_理化生_高中教育_教育专区。全国100所名校单元测试示范卷高三物理卷(十五)第十五元...


2016全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷(一) 扫描版无答案

2016全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷(一) 扫描版无答案_高中教育_教育专区。1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 +申请认证 文档贡献者 张金凤 教师 46...


全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(四)

全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(四) 数学(理科) 数学(理科) 本试卷共 4...三角函数、三角函数的性质等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)∵函数 f (...


全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(二)

全国100所名校最新高考模拟示范卷(二) 数学(理科) 一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的个选项中,只有一项符合 要求) 1.若...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com