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浙江省杭州市学军中学2014届高三第九次月考数学(理)试题


本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那 么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 k n-k 的概率 Pn(k)= C k n p (1-p) (k=0,1,2,?,n) 台体的体积公式: 1 V= h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 (其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高)

柱体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示 柱体的高) 1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示 锥体的高) 球的表面积公式:S=4πR2 球的体积公式:V ? 4 ? R 3 (其中 R

3

表示球的半径)

第Ⅰ卷(选择题部分

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2x ? 1} , B ? {x | ln x ? 0} ,则 (CU A) A. ? C. {x | x ? 1} B. { x |

B ?(



1 ? x ? 1} 2

D. x 0 ? x ? 1

?

?


2. 已知 m ? 0 ,且 m cos ? ? sin ? ? 5 sin(? ? ? ) ,则 tan ? 为( A. ?

1 2

B.

1 2

C. 2

D. ?2 )

3. 若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为( A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8

4. 对于不重合的两平面 ? , ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? , 使得?,?都垂直于?; ②存在平面 ? , 使得?,?都平行于?; ③存在直线 l ? ? , m ? ? , 使得l // m ; ④存在异面直线 l , m, 使得l // ? , l // ? , m // ? , m // ?

其中可以判定 ? , ? 平行的条件有( A. ① ③ B.② ④

) C. ② D.①④ )

5. 已知 a ? R ,则“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x2 ? | x ? a | 在 ( ??, 0] 上是减函数”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 ( A.

) D.

(8 ? ? ) 3 6

B.

(8 ? 2? ) 3 6

C.

(6 ? ? ) 3 6

(9 ? 2? ) 3 6
3

7. 若(

1 x2 1 ,则展开 ? 3 ) n 展开式各项系数和为 ? 128 2 x
)项 C.6 D.7
1 正视图 2 2 侧视图

式中常数项是第( A.4 B.5

8.将 1,2,?,9 这 9 个数平均分成三组, 则每组的三个 数都成等差数列的概率是( A. ) C.
俯视图

1 56
2

B.

1 70

1 336

D.

1 420

9. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过 F 且倾斜角等于 60°的直线与 抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AB ? l ,垂足为 B ,则四边形 ABEF 的面积等于 A. 3 3 10.函数 f ( x) ? ? B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3 ( )

2 ? ?? x ? 2 x ? 3, x ? 0 ,直线 y ? m 与函数 f ( x) 的图像相交于四个不同的点, 2 ? ln x , x ? 0 ? ?

交点横坐标从小到大依次记为 a, b, c, d ,下列说法中错误的是 A. m ? ?3, 4 ? C. a ? b ? c ? d ? ? e 5 ?
4 B. abcd ? ? ?0, e

(

)

?

? ?

1 1 ? ? 2, e6 ? 2 ? 2 ? e e ?

D.若关于 x 的方程 f ? x ? ? x=m 恰有三个不同实根,则 m 的取值唯一

第Ⅱ卷(非选择题部分

共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11. 已知复数 z ?

3?i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部是______ 1? i

?x ? 1 ?y ? 0 ? 12. 若不等式组 ? 表示的平面区域是一个四边形,则实数 a 的取值范围是______. 2 x ? y ? 6 ? ? ?x ? y ? a
13. 已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 , 一条渐近线为 l , 抛物线 C2 : a 2 b2

y 2 ? 4x 的焦点为 F ,点 P 为直线 l 与抛物线 C2 异于原点的交点,则 PF ? _____
14. 某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大 学,且申请其中任何一所大学是等可能的.则被申请大学的个数 X 的数学期望 E(X)=______

15.已知直线 l1 : x ? y ? 2 ? 0 ,l2 : x ? y ? 4 2 ? 0 , ⊙C 的圆心到 l1 , l2 的距离依次 为 d1 , d 2 且 d 2 ? 2d1 , ⊙C 与直线 l2 相切, 则直线 l1 被⊙C 所截得的弦长为______.
n t ?EAF = 16.点 E , F 是正 ?ABC 的边 BC 上的点, 且 BE ? EF ? FC , 则a

.

17. 已知△ABC 中, A(0 , 1) , B(2 , 4) , C(6 , 1) , P 为平面上任一点,点 M 、 N 满足

PM ?

1 1 PA ? PB , PN ? PA ? PB ? PC ,给出下列命题: 2 3
②直线 MN 的方程是 3x+10y-28=0;③直线 MN 必过△ABC 的外心;

?

?

?

?

① MN ∥ BC ;

④起点为 A 的向量 λ( AB ? AC )(λ∈R+)所在射线必过 N, 其中正确的命题是________.(将正确命题的序号全填上) 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)已知函数 f ?x? ? 3 sin?x ? cos?x ? c ( ? ? 0, x ? R ,c 是实数常数) 的图像上的一个最高点 ?
?? ? ? 2? ? ,1? ,与该最高点最近的一个最低点是 ? , ?3 ? , ?6 ? ? 3 ?

(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的解析式及其单调增区间;
1 (Ⅱ)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 AB ? BC ? ? ac ,角 A 的取值范围 2

是区间 M,当 x ? M 时,试求函数 f ?x ? 的取值范围. 19. (本题满分14分)数列 {an } 满足 a1 ?

1 1 , an ?1 ? (n ? N *) 2 2 ? an

(Ⅰ)求证: {

1 } 为等差数列,并求出 {an } 的通项公式; an ? 1

(Ⅱ)设 bn ?

m 1 成立,求整 ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,对任意 n ? 2 都有 B3n ? Bn ? 20 an

数 m 的最大值.

20. (本题满分 15 分)如图,四棱锥 S ? ABCD 中, ?SAB 是正三角形,四边形 ABCD
为正方形,平面 SAB ? 平面 ABCD , AB ? BC ? 4 , E 为 SB 中点,点 F 在线段 BC 上. (Ⅰ)当 EF ? BD 时,求 BF 的长度; (Ⅱ)设二面角 E ? AF ? B 的大小为 ? ,当点 F 在线段 BC 中点时,求 tan ? . D C

A
2 2

B S E

x y 7 21.(本题满分15分)已知椭圆C: ? ? 1,O为坐标原点,F为右焦点,AB为长为 的 4 3 2 动弦,P为直线x ? 4上的动点. (Ⅰ)若AB过点F      (ⅰ)求直线AB的方程;  (ⅱ)判断直线PA,PF,PB的斜率是否依次成等差数列,说明理由; (Ⅱ)求?AOB面积的取值范围.

22. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax ? x ? 4, a ? R.
2

(Ⅰ)若 x ? 0 是 f ( x ) 的极小值点, M 是 f ( x ) 的极大值。 (ⅰ)求实数 a 的取值范围 I ; (ⅱ)若对任意 a ? I , M ? k 恒成立,求实数 k 的最大值; (Ⅱ)若 a ? 0 , l 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线,证明曲线 y ? f ( x) 上的任意一点都不可能在 直线 l 的上方.

学军中学 2014 届高考适应性试卷

数学(理科)答题卷
一、选择题: 二、填空题: 11 . ; 12 . ; 13 . 14. ;15. ; 16. ;17. ; 三、解答题:本大题共 5 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)



19. (本小题满分 14 分)

20. (本小题满分 15 分)

D

C

A S E

B

21. (本小题满分 15 分)

22.(本小题满分 14 分)

18.(Ⅰ) ∵ (

?
6

,1) 和 (

2? , ?3) 分别是函数图像上相邻的最高点和最低点, 3

? T 2? ? ?2 ? 3 ? 6 , ?T ? ? , ? 2? ? ? , ∴ ?? ? 解得 ?c ? ?1, T ? ?? ? 2. ? ? ? ? 2sin( ? ? ? ) ? c ? 1. ? 6 6 ?
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ? 由 2 k? ?

?
6

) ?1 .

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

∴函数 f ( x ) 的单调递增区间是 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z . 3 6

?

19.(1) an ?1 ?

1 1 , ? 2 ? an an ? 1

2 ? an 1 1 ? ? ?1 ? 1 an ? 1 ? 1 an ? 1 2 ? an



1 ? ?1 an ?1 ? 1 an ? 1 ?
∴{

1

1 1 =-2+(n-1)×(-1)=-(n+1) } 为首次为-2,公差为-1 的等差数列∴ an ? 1 an ? 1

n n ?1 n ?1 1 1 1 (2) bn ? ? 1 ? 令 Cn ? B3n ? Bn ? ? + n n n ? 1 n+2
∴ an ? ∴

+

1 3n

21 ( 1) 1? AB : x ? ty ? 1代入3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0, 消去x,可得:(3t 2 ? 4) y 2 ? 6ty ? 9 ? 0, ?6t ?9 49 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 , 则由弦长公式 =AB2 =(1+t 2 )(( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ), 可知 3t ? 4 3t ? 4 4 2 2 t?? , 直线AB : x ? ? y ?1 3 3 y ? y1 y0 ? y2 6 y0 ? (3 ? ty0 )( y1 ? y2 ) ? 2ty1 y2 2 2?, 不妨令P(4,y 0 ), k PA ? k PB ? 0 ? ? ? y0 ? k PF 3 ? ty1 3 ? ty2 9 ? 3t ( y1 ? y2 ) ? t 2 y1 y2 3 7 (2不妨令AB:y=kx+m(k不存在时,弦长的最大值是短轴长2 3 ? , k 一定存在) 2 ?8km 4m 2 ? 12 代入椭圆方程:(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0, x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? , 4k ? 3 4t 2 ? 3 49 49 (4k 2 ? 3) 2 ? (1 ? k 2 )(( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ) ? m 2 ? 4k 2 ? 3 ? ,又有: 4 192 k 2 ? 1 1 49 4k 2 ? 3 49 4k 2 ? 3 2 4k 2 ? 3 2 2 S2 = AB d ? ( ? ( ) ), 令 t ? ? [3, 4), 可转化为: ?AOB 4 16 1 ? k 2 192 1 ? k 2 1? k2 492 96 21 S2 =(t ? ) 2 ? 3, t ? 3时,S?AOB = 5,考虑到AB可以过中心,故 ?AOB 16 ? 192 49 32 21 取值范为为(0, 5] 32
22. (Ⅰ) (ⅰ) f ( x) ?
/

1 ? x[2ax ? (2a ? 1)] ? 2ax ? 1 ? ( x ? ?1). x ?1 x ?1

当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (?1, 0) 上递增,在 (1, ??) 上递减,不符合题意。

2a ? 1 ) / 2 a 当 a ? 0 时, f ( x) ? ( x ? ?1). x ?1 2a ? 1 / ? (?1, ??). 令 f ( x) ? 0 得 x ? 0 , x ? ? 2a 1 2a ? 1 ? 0. 解得 a ? ? . 因为 x ? 0 是 f ( x ) 的极小值点,所以 ? 2 2a 2a ? 1 1 1 2 1 ) ? ln(? ) ? a(?1 ? ) ? (?1 ? ) ? 4 (ⅱ)由(ⅰ)得 M ? f (? 2a 2a 2a 2a 1 1 ? ln(? ) ? ? a ? 4. 2a 4a 1 1 ? t ,因为 a ? ? , 所以 t ? (0,1). 设? 2a 2 1 1 1 1 M ? ln t ? t ? ? 4 ,设 g (t ) ? ln t ? t ? ? 4(0 ? t ? 1), 2 2t 2 2t ?2ax( x ?
(t ? 1)2 ? 0(0 ? t ? 1), 故 g (t ) 在 (0,1) 上递减, M ? g (t ) ? g (1) ? 4. 因此 k ? 4. 因 g (t ) ? ? 2t 2
/

故 k 的最大值为 4。 (Ⅱ)设 M ( x0 , f ( x0 )) 是直线 l 与曲线 y ? f ( x) 的切点,则直线 l 的方程为

y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )( x ? x0 ). 即 y ? (
设 h( x) ? f ( x) ? [(

1 ? 2ax0 ? 1)( x ? x0 ) ? f ( x0 ). x0 ? 1

1 ? 2ax0 ? 1)( x ? x0 ) ? f ( x0 )]. x0 ? 1

h / ( x) ?

1 1 ? 2ax ? 1 ? ( ? 2ax0 ? 1)( x ? ?1). x ?1 x0 ? 1

因为 a ? 0 ,所以 h / ( x) 在 (?1, ??) 上递减,又 h/ ( x0 ) ? 0 , 故 h( x) 在 (?1, x0 ) 上递增,在 ( x0 , ??) 上递减。 所以 h( x) ? h( x0 ) ? 0. 命题得证。


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