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行测答题技巧:容斥原理之三者容斥问题


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行测答题技巧:容斥原理之三者容斥问题
中公教育考试研究院宋丽娜:容斥原理是行测数学运算中常考知识点。容斥原理是指在 计数时,必须注意无一重复,且无遗漏。这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把 包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去, 使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

例 1:一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种,其中喜欢数学课的有 49 人, 喜欢语文课的有 52 人,二者都喜欢的有 21 人,则这个班级有多少人?

中公点拨:本题就是一个容斥问题,解决此问题的方法就是先算:49+52=101(把含于某 内容中的所有对象的数目先计算出来),然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即: 101-21=80 人,则整个班级的人数就有 80 人。

三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。所谓三者容斥是指在题 干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体,例如上题中喜欢数学的人构成 一个集合)。

三者容斥问题有一个基本公式:A,B,C 代表三个集合,则有

A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C

这个公式表达的含义是, A+B+C 再减去两两相交之后, 中间 E(即 A∩B∩C)这部分被减没
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了。而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉,故要再加回来,所以又加了一个 A∩B∩C 。

例 2. 实验小学的小记者对本校 100 名同学进行调查,调查他们对三种大球(篮球、足球、 排球)的与否。结果显示:他们都至少喜欢三种大球中的一种,其中有 58 人喜欢篮球,有 68 人喜欢足球,有 62 人喜欢排球,而且,篮球和足球都喜欢的有 45 人,足球和排球都喜 欢的有 33 人,三种球都喜欢的有 12 人。篮球和排球都喜欢的多少人?

中公教育解析:由题意可画图如下:

则有上述公式可知:

58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100 人

故喜欢篮球和排球的人有 22 人。

例 3. 实验小学的小记者对本校 100 名同学进行调查, 调查他们对三种大球(篮球、 足球、 排球)的与否。结果显示:其中有 58 人喜欢篮球,有 68 人喜欢足球,有 62 人喜欢排球,而 且,篮球和足球都喜欢的有 45 人,足球和排球都喜欢的有 33 人,三种球都喜欢的有 12 人, 还有 5 人三种球都不喜欢,则篮球和排球都喜欢的多少人?

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中公教育解析:本题和上题相比,较一般的三者容斥更为复杂。因为,题干中所出现的 喜欢篮球、喜欢足球、喜欢排球的三种集合都是在全集 100 人中考查,且题干中出现了同时 不属于这三种集合的元素。

中公点拨:此类型题的做法大家只要记住构造全集即可,题干中不知道的设为未知数。

外框的长方形代表全集,用 I 来表示,D 代表同时不属于集合 A,B,C 三个集合的元素。 构造全集 I= A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C+D

由此可得本题:设篮球和排球都喜欢的有 x 人,则有

100=58+68+62-45-33-x+12+5

解得 x=27。

中公教育专家提醒考生:容斥问题的关键在于计数时不能重复,不能漏掉。如三者容斥 这种比较复杂的容斥问题可以现根据题意画出其图形(叫文氏图), 然后再根据公式及题干所 求问题计算。

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