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最新2014解析几何


以细心为兄弟,以希望为哨兵。
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 。 1 1 ? ? ? 1(2010· 苏州模拟)若 ab<0,则过点 P? ?0,-b?与 Q?a,0?的直线 PQ 的倾斜角的取值 是 ( π )A.?0, 2 ?

>
?

?

π B.? 2 ,π?

?

?

π C.?-π,- 2 ?

?

?

π D.?- 2 ,0?

?

?

2.当 a 为任意实数时,直线 (2a ? 3) x ? y ? 4a ? 2 ? 0 恒过定点 P,则过点 P 的抛物线的 标准方程是 ( )

1 x 2 1 2 2 C. y ? 32 x 或 x ? ? y 2
A. x ? 32 y 或 y 2 ? ?
2

1 x 2 1 2 2 D. y ? ?32 x 或 x ? y 2
B. x ? ?32 y 或 y ?
2

2

3. 设双曲线 x2 –y2=1 的两条渐近线与直线 x=

2 围成的三角形区域 (包含边界) 为 E,P(x,y) 2
( )

为该区域内的一个动点,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的取值范围为

A.[ 0,

2 ] 2

B.[

2 3 2 , ] 2 2

C.[

2 5 2 , ] 2 2

D. [ 0,

5 2 ] 2

4.短轴长为 2,离心率 e=3 的双曲线两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交双曲线于 A、B 两点, 且|AB|=8,则△ABF2 的周长为 ( ) A.3 B.6 C.12 D.24 5.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若△ ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A.

3 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

3 2
( )

6.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 7.已知抛物线 x ?

D.第四象限

x2 y2 2 2 y (? nx n)与椭圆 ? 0) ? =1 有一个相同的焦点,则动点 (m, n) 的轨 m ??(0 9 n m

迹是( ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.抛物线的一部分 D.直线的一部分 π 8. .直线 2x-y-2=0 绕它与 y 轴的交点逆时针旋转 所得的直线方程是 ( 2 A.-x+2y-4=0 B.x+2y-4=0C.-x+2y+4=0 D.x+2y+4=0

)

9. . (2010· 广州调研)已知点 A(1,0), 直线 l: y=2x-4, 点 R 是直线 l 上的一点, 若 RA = AP , 则点 P 的轨迹方程为 ( )

??? ?

??? ?

A.y=-2x 10.若双曲线

B.y=2x C.y=2x-8D.y=2x+4

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 ,则 2 a b 4
( ) )

该双曲线的渐近线方程是

A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. x ? 3 y ? 0 D. 3 x ? y ? 0 11.(2009· 海淀模拟)若直线 l1: y=k(x-4)与直线 l2 关于点(2,1)对称, 则直线 l2 恒过定点( A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)

12. 过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2PA 且 OQ ? AB =1,则点 P 的轨迹方程是 A. 3 x 2 ? C.

??? ?

??? ?

???? ??? ?





3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B. 3 x 2 ? D.

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

二、填空题:请把答案填在题中横线上(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 。 1 4 13 若直线 ax+by+1=0(a、b>0)过圆 x2+y2+8x+2y+1=0 的圆心,则 + 的最小值为 a b
2 14.已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于 A,B 两点.设

FA ? FB ,则

| FA | 的值等于 | FB |



15.已知两条直线 l1 : 3x ? 2ay ? 1 ? 0 , l2 : ax ? y ? 2 ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a =__

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 个大题,共 74 分)。 17.(本小题满分 12 分)已知 A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线 x+y-7=0 及 x+y-5=0 上, 求 AB 中点 M 到原点距离的最小值.

18. (12 分) 设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,A 是抛物线上的一个动点, FA

??? ?

与 x 轴正方向的夹角为 600,求| OA |的值.

??? ?

19. (12 分)已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切. (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时, 直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

20. (12 分)双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦

AB 、 OB 成等差数列,且 点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? BF 与 FA 同向.

(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 21. (12 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
2 2

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 ,椭 2

圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12. 圆 C k : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的 圆心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程 (2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由.

22.(12 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) ,l 交椭圆于 A、B 两个不同 点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

23.(本小题满分 12 分)(2010· 诸城模拟) (本小题满分 14 分)抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A、B 两点,且|AB|= (1)求抛物线的方程; (2)在 x 轴上是否存在一点 C,使△ABC 为正三角形?若存在,求出 C 点的坐标;若 不存在,请说明理由. 8 6 . 11

24.(14 分) 设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点. a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B, 且 OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理 由。

??? ?

??? ?

参考答案
一、选择题 1.A;解析:已知椭圆的离心率为

1 2 ,焦点是(-3,0),(3,0),则 c=3,a=6,b ? 36 ? 9 ? 27 , 2

椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,选 A. 36 27

2.C;解析:将直线方程化为 (2 x ? 4)a ? 3x ? y ? 2 ? 0 ,可得定点 P(2,-8) ,再设抛物线 方程即可; 3.D;解析:双曲线 x2 –y2=1 的两条渐近线为: x ? y ? 0 ,渐近线 x ? y ? 0 与直线 x=

2 2

的交点坐标分别为( 围 为[ 0,

2 2 2 2 , )和 ( ,).利用角点代入法得 z ? 3x ? 2 y 的取值范 2 2 2 2

5 2 ]. 2

4.B;解析:由于 b ? 2, e ?

2 c , ? 3 ,∴ c ? 3a ,∴ 9a 2 ? a 2 ? 4 ,∴ a ? 2 a

由双曲线的定义知: |AF2|- |AF1|= 2 , |BF2|- |BF1|= 2 , ∴|AF2|+|BF2|- |AB|=2 2 ,∴|AF2|+|BF2|=8+2 2 , 则△ABF2 的周长为 16+2 2 .

3 b2 3 2 3 | F1F2 | ,∴ ? ? 2c 即 a 2 ? c 2 ? ac 5. A;解析:由题 | AF1 |? 3 a 3 3
∴c ?
2

2 3 2 3 3 2 ac ? a 2 ? 0 , e ? 1 ? 0 解之得:e ? ∴e ? (负值舍去). 故答案选 A. 3 3 3

6.C;解析:∵直线 Ax+By+C=0 化为 y ? ? ∴ AB>0,∴ ?

A C x ? ,又 AC<0,BC<0 B B

A C ? 0, ? ? 0 ,直线过一、二、四象限,不过第三象限.故答案选 C. B B 2 2 m m y (? nx n)得 ? 0) y 2 ? nx?x (n ? 0) 7.C;解析:由 x ? ,其焦点为 ( ,0) ( m ? 0 ), m ??( 0 m 2 8
因为抛物线与椭圆有一个相同的焦点,所以椭圆 ∴ 9 ? n ? (?

x2 y2 m =1 的一个焦点为( ,0), ? 9 n 8

m 2 ) ,得 m2 ? ?64(n ? 9) . ( m ? 0 , 0 ? n ? 9 ) 8

8.D;解析:由 MP=MC , 知 M 在 PC 的垂直平分面内,又 M∈面 ABCD ∴M 在两平面的交线上.故答案选 D. 9.B;解析:由题意

4 m ?n
2 2

>2 即 m2+n2<4,点(m,n)在以原点为圆心,2 为半径的圆内,

与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的交点个数为 2,故答案选 B. 9 4

10. C; 解析: 对于双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离因为 b , a 2 b2 1 3 b 1 c, ? ,因此 b ? c, a ? c 2 ? b 2 ? 而 2 2 2c 4 b 3 ? ? ,因此其渐近线方程为 x ? 3 y ? 0 . a 3
由 BP ? 2PA

11.D;解析:设 P(x,y),则 Q (-x,y),

??? ?

??? ?

∴A( ?

??? ??? ? ? 33 3 x, 0 ),B(0,3y), ∴ AB AB ?? ( -( x,3 x,3 y )y ) . 2 22

从而由 OQ ? AB =(-x,y)·(得

???? ??? ?

3 x ,3y)=1. 2

3 2 x ? 3 y 2 ? 1其中 x>0,y>0,故答案选 D. 2

12.D;解析:⑴静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁右顶 点反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 2(a ? c) ,则选 B;⑵静放在点 A 的小 球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点 A 时, 小球经过的路程是 2(a ? c) ,则选 C;⑶静放在点 A 的小球(小球的半径不计)从点 A 沿直线出发,经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 4a , 则选 A. 由于三种情况均有可能,故选 D. 二、填空题: 13. (1,-2,3 ) (1,2,3) 4 解析:过 A 作 AM⊥xOy 交平面于 M,并延长到 C,使 CM=AM,则 A 与 C'关于坐标平面 xOy 对称且 C(1,2,3). 过 A 作 AN⊥x 轴于 N, 并延长到点 B, 使 NB=AN, 则 A 与 B 关于 x 轴对称且 B(1,-2,3). ∴A(1,2,-3)关于 x 轴对称的点 B(1,-2,3 ). 又 A(1,2,-3)关于坐标平面 xOy 对称的点 C(1,2,3);
2 2 2 ∴|BC|= (1 ? 1) ? (?2 ? 2) ? (3 ? 3) =4.

14 .

3

解 析 : 由 题 意 知 , 直 线 的 方 程 为 y ? 3 ( x ? 1) , 与 抛 物 线 C :y ? 4 x 联 立 得
2

1 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0 , 求得交点的横坐标为 x ? 3 或 x ? ,∵ FA ? FB ,又根据抛物线 3
的定义得 | FA |? 4, | FB |?

4 | FA | ,∴ =3. 3 | FB |

15. 0

解析:当 a ? 0 时, l1 : 3x ? 1 ? 0 , l2 : ? y ? 2 ? 0 , l1 ? l2 .

当 a ? 0 时, k1 ? ? ∴若 l1 ? l2 ,则 4 16.①③

3 3 , k2 ? a ,若 l1 ? l2 .则 k1 ? k2 ? ? ? a ? ?1 ,上式显然不成立. 2a 2a

a =0.

解析:∵ |PM|-|PN|=6 ∴点 P 在以 M 、N 为焦点的双曲线的右支上,即 4

x2 y 2 ? ?1 9 16
(x>0),将直线方程与其联立,方程组有解,判断其答案为①③. 三.解答题 17.解:由题意设 4

A( x ?

P p , 3x) 代入 y2=2px 得 ( 3x) 2 ? 2 p( x ? ) 2 2
6分 12 分

解得 x=p(负值舍去). ∴A(4

??? ? 3 21 3 p p, 3 p ) ∴4 | OA |? ( p) 2 ? 3 p 2 ? 2 2 2

18. 解: (1) 因为动圆 M,过点 F4 等于到直线 4

(1, 0) 且与直线 4 l : x ? ?1相切,所以圆心 M 到 F 的距离

l 的距离.所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, 4 l 为准线的抛物线,且 4

p ? 1 ,4 2

p ?2,
y2 ? 4x y 2 ? 4 x 上,
5分

所以所求的轨迹方程为 4 (2) 假设存在 A,B 在 4

所以,直线 AB 的方程:4

y ?y y ? y1 ? 2 1 ( x ? x1 ) ,即 4 x2 ? x1

y2 ? y1 y12 y ? y1 ? 2 (x ? ) y2 y12 4 ? 4 4

7分 即 AB 的 方 程 为 :4

y12 4 y ? y1 ? (x ? ) y1 ? y2 4

,



4

( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4 x ? y12
即:4 令4

( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 ,

10 分

y ? 0 ,得 4

x ? 4,
12 分

所以,无论 4

y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0)

19.解: (Ⅰ)设 OA ? m ? d , AB ? m , OB ? m ? d 由勾股定理可得: (m ? d ) ? m ? (m ? d )
2 2 2

2分

得: d ?

1 b AB 4 m , tan ?AOF ? , tan ?AOB ? tan 2?AOF ? ? 4 a OA 3
2

b a ? 4 ,解得 b ? 1 ,则离心率 e ? 5 . 由倍角公式? 2 2 3 a 2 ?b? 1? ? ? ?a?
(Ⅱ)过 F 直线方程为 y ? ?

6分

x2 y 2 a ( x ? c) ,与双曲线方程 2 ? 2 ? 1 联立 a b b
15 2 8 5 x ? x ? 21 ? 0 4b 2 b
8分

将 a ? 2b , c ?

5b 代入,化简有

2 ? ? a ?2 ? ?a? 4 ? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? ? ?b? ? ? ?b? ? ?

?? 32 5b ?2 28b 2 ? ? ,解得 b ? 3 将数值代入,有 4 ? 5 ?? ? 4 ? ? 15 5 ?? ? ? ?? ?
故所求的双曲线方程为

10 分

x2 y 2 ? ? 1. 36 9 x2 y 2 ? ? 1 (4 a 2 b2

12 分

20.解: (1)设椭圆 G 的方程为:4

a ? b ? 0 )半焦距为 c;

则4

? 2a ? 12 ? ?c 3 , 解得 4 ? ? 2 ?a

? ? a?6 2 2 2 , 4 ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 ? ? ?c ? 3 3

所求椭圆 G 的方程为:4 ( 2 ) 点 4

x2 y 2 ? ?1. 36 9
AK
的 坐 8分 标 为

6分 4

? ?K , 2?

,4

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 . 2 2
(3)若 4

k ? 0 ,由 4

62 ? 02 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 4

Ck 外,
若4 外; 4 ?不论 K 为何值圆 4
2 2 由 4 (?6) ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点 (-6, 0) 在圆 4 Ck k ? 0,

Ck 都不能包围椭圆 G.

12 分

21.解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 解得? 2 则? 4 1 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a
∴椭圆方程

2分

x2 y2 ? ?1 8 2

4分

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 4 又 K OM ?

y 轴上的截距为 m

1 2

∴l 的方程为: y ?

1 x?m 2

1 ? y ? x?m ? ? 2 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8

? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0

6分

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0,
∴m 的取值范围是 {m | ?2 ? m ? 2且m ? 0} (3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 可得
x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ? 8分

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? ?
?

x1 x 2 ? (m ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)( ?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
10 分

∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 22. 解:(1)因为椭圆 E: 4

12 分

x2 y 2 ? ? 1(a,b>0)过 M(2,4 a 2 b2
?1 1 ? ? ? a2 8 所以 4 ? ?1 ?1 ? ? b2 4

2) ,N(4

6 ,1)两点,

以 4

?4 2 ? ?1 ? ? a 2 b2 解得 4 ? ? 6 ? 1 ?1 ? ? a 2 b2

?a 2 ? 8 椭圆 E 的方程为 4 ? 2 ?b ? 4

x2 y 2 ? ?1 8 4

4分

(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,

??? ? ??? ? 且 4 OA ? OB ,设该圆的切线方程为 4

y ? kx ? m 解方程组 4

? y ? kx ? m ? 2 得4 ?x y2 ? ?1 ? 4 ?8

x 2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 4
则 △ =4

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,
, 即 4

16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 8) ? 8(8k 2 ? m2 ? 4) ? 0

8k 2 ? m2 ? 4 ? 0

4

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 8 ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m2 ? 8k 2 2 ? ? m ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

4

k 2 (2m2 ? 8) 4k 2 m2 m 4 ? ? m2 ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

要使 4

??? ? ??? ? OA ? OB ,需使 4

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 4

2m 2 ? 8 m 2 ? 8k 2 ? ? 0 ,所以 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

4

3m2 ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,

所以 4

3m2 ? 8 k ? ? 0 又 4 8k 2 ? m2 ? 4 ? 0 , 8
2

所以 4

? m2 ? 2 ,所以 4 ? 2 ?3m ? 8

m2 ?

8 ,即 4 3

m?

2 6 或4 3

m??

2 6 , 3

因为直线 4

y ? kx ? m 为圆心在原点的圆的一条切线,
所求的圆为 4

8 x 2 ? y 2 ? ,此时圆的切线 4 3

y ? kx ? m 都满足

4

m?

2 6 或4 3

m??

2 6 , 3 x?? 2 6 与椭圆 4 3

而当切线的斜率不存在时切线为 4

x2 y 2 ? ? 1 的两个交点为 4 8 4

(

2 6 2 6 ,? )或 4 3 3

(?

??? ? ??? ? 2 6 2 6 ,? ) 满足 4 OA ? OB , 3 3

综上, 存在圆心在原点的圆 4 个交点 A,B,且 4

8 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两 x2 ? y 2 ? , 3

??? ? ??? ? OA ? OB .

因为 4

4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 , ? 2 2 m ? 8 ? xx ? ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
以 4



( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?
| AB |? ( x1 ? x2 ) ? ? y1 ? y2 ?
2 2

4km 2 2m2 ? 8 8(8k 2 ? m2 ? 4) ) ? 4 ? ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 (1 ? 2k 2 ) 2
8(8k 2 ? m 2 ? 4) ? (1 ? k )( x1 ? x2 ) ? (1 ? k ) (1 ? 2k 2 ) 2
2 2 2

4

4

32 4k 4 ? 5k 2 ? 1 32 k2 ? ? ? [1 ? 4 ], 3 4k 4 ? 4k 2 ? 1 3 4k ? 4k 2 ? 1

8分

①当 4

k ? 0 时 4 | AB |?

32 1 [1 ? ] 1 3 2 4k ? 2 ? 4 k

因为 4

4k 2 ?

1 ? 4 ? 8 所以 4 k2

0?

1 1 ? , 1 4k 2 ? 2 ? 4 8 k

所以 4

32 32 1 ? [1 ? ] ? 12 , 1 3 3 2 4k ? 2 ? 4 k
r? m 1? k 2
,4

所以圆的半径为 4

r2 ?

m2 ? 1? k 2

m2 8 ? ,4 2 3m ? 8 3 1? 8
2 时取“=” . 2

r?

2 6 , 3

所以 4

4 6 ?| AB |? 2 3 当且仅当 4 3
4 6 . 3

k ??

②4

k ? 0 时,4 | AB |?

③当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 4

(

2 6 2 6 ,? )或 4 3 3

(?

2 6 2 6 ,? ), 3 3

所以此时

EMBED Equation.DSMT4

,

12 分

综 上 , |AB | 的 取 值 范 围 为 14 分

EMBED Equation.DSMT4

即:

EMBED


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