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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.3.1平面向量基本定理 2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教案


2.3 2.3.1

平面向量的基本定理及其坐标表示 平面向量的正交分解及坐标表示

平面向量基本定理 2.3.2

一、教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平 面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合 ,这样,如果将平面内向量的始点放在 一起,那么由平面向量基本定理

可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到 表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示 .这是引进平面 向量基本定理的一个原因. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常 用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究 带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发, 要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别 取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位 向量 i、j 作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知, 有且只有一对实数 x、y,使得 a=xi+yj. 于是,平面内的任一向量 a 都可由 x、 y 唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量 a 的终点 的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射 ,从而实现向量 的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 二、教学目标 1、知识与技能: 了解平面向量的基本定理及其意义; 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的 向量来表示,掌握平面向量正交分解及其坐标表示。 2、过程与方法: 初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;能够在具体问题中适当地选取基底, 使其他向量都能够用基底来表达。 3、情感态度与价值观: 通过平面向量的正交分解及坐标表示,揭示图形(向量)与代数(坐标)之间的联系。 三、重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面 向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是 可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的 分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢?又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下 的重力 G,可分解为使物体沿斜面下滑的力 F1 和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力 F2.我们知 道飞机在起飞时若沿仰角 α 的方向起飞的速度为 v,可分解为沿水平方向的速度 vcosα 和 沿竖直方向的速度 vsinα .从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特 别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段. 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么 a 与 e1、e2 之间有什么关系呢?在不共线的两个向量 中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两

1

个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作 为基底,是 否会给我们带来更方便的研究呢? 思路 2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义 ,如果将平面内向量的始 点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共 线向量来表示呢?这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或 者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件 来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有 什么样的结论? (二)推进新课、新知探究、提出问题

图1 ①给定平面内任意两个不共线的非零向量 e1、e2,请你作出向量 3e1+2e2、e1-2e2.平面内 的任一向量是否都可以用形如 λ 1e1+λ 2e2 的向量表示呢? ②如图 1,设 e1、 e2 是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通 过作图研究 a 与 e1、e2 之间的关系. 活动:如图 1,在平面内任取一点 O,作 OA =e1, OB =e2, OC =a.过点 C 作平行于直线 OB 的直线,与直线 OA;过点 C 作平行于直线 OA 的直线,与直线 OB 交于点 N.由向量的线性运算性 质 可 知 , 存 在 实 数 λ 1 、 λ 2, 使 得 OM =λ 1e1, ON =λ 2e2. 由 于 OC ? OM ? ON , 所 以 a=λ 1e1+λ 2e2.也就是说,任一向量 a 都可以表示成 λ 1e1+λ 2e2 的形式. 由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1、e2 表 示出来.当 e1、e2 确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极 大的方便. 由此可得:平面向量基本定理: 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且只 有一对实数 λ 1、λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. 定理说明:(1)我们把不共线向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1、e2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. 讨论结果:①可以. ②a=λ 1e1+λ 2e2. 提出问题 ①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗? ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示? 活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么 样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表 扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角, 关于向量的夹角,我们规定:

2

图2 已知两个非零向量 a 和 b(如图 2),作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°)叫做 向量 a 与 b 的夹角. 显然,当 θ =0°时,a 与 b 同向;当 θ =180°时,a 与 b 反向.因此,两非零向量的夹角在区 间[0°,180°]内. 如果 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量 a,均可以分解为不共线的两个向量 λ 1a1 和 λ 2a2,使 a=λ 1a1+λ 2a2. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向 量,叫做把向量正交分解.如上,重力 G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解 是向量分解中常见的一种情形. 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角 不一样. ②可以. 提出问题 ①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对 直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? ②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的?

图3 活动:如图 3,在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底.对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x、 y,使得 a=xi+yj ① 这样,平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标, 记作 a=(x,y) ② 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显 然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点: (1)向量 a 与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、 终点的具体位置没有关系,只与其相 对位置有关系.如图所示, A1 B1 是表示 a 的有向线段,A1、B1 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),

3

则向量 a 的坐标为 x=x2-x1,y=y2-y1,即 a 的坐标为(x2-x1,y2-y1). (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的起点,这时向量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确 定了,即点 A 的坐标就是向量 a 的坐标,流 程表示如下:

讨论结果:①平面内的任一向量 a 都可由 x、 y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a=(x,y). ②是一一对应的. (三)应用示例 思路 1 例 1 如图 4, ABCD, AB =a, AD =b,H、M 是 AD、DC 之中点,F 使 BF=

1 BC,以 a,b 为基底分 3

解向量 AM和HF .

图4 活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以 让学生到黑板上 板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程 的同学给予提示和鼓励. 解:由 H、M、F 所在位置,有

AM ? AD ? DM ? AD ?

1 1 1 1 1 DC ? AD ? AB ? b ? a AB =b+ a. 2 2 2 2 2

1 1 HF ? AF ? AH ? AB ? BF ? AH ? BC ? AD 3 2 1 1 ? AB ? AD ? AD 3 2
=a ?

1 b. 6

点评:以 a、b 为基底分解向量 AM 与 HF ,实为用 a 与 b 表示向量 AM 与 HF . 变式训练

图5 已知向量 e1、e2(如图 5),求作向量-2.5e1+3e2.?
4

作法:(1)如图,任取一点 O,作

OA =-2.5e1, OB =3e2.
(2)作 OACB.

故 OC OC 就是求作的向量.

图6 例 2 如图 6,分别用基底i、j 表示向量 a、b、c、d,并求出它们的坐标. 活动:本例要求用基底 i、j 表示 a、b、c、d,其关键是把 a、b、c、d 表示为基底 i、j 的线性组合.一种方法是把 a 正交分解,看 a 在 x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量 a 用 i、 j 表示出来,进而得到向量 a 的坐标.另一种方法是把向量 a 移到坐标原点,则向量 a 终点的 坐标就是向量 a 的坐标.同样的方法,可以得到向量 b、 c、 d 的坐标.另外,本例还可以通过四 个向量之间位置的几何关系:a 与 b 关于 y 轴对称,a 与 c 关于坐标原点中心对称,a 与 d 关于 x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标. 解:由图可知,a= AA1 + AA 2 =xi+yj, ∴a=(2,3). 同理,b=-2i+3j=(-2,3); c=-2i-3j=(-2,-3); d=2i-3j=(2,-3). 点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 变式训练 i,j 是两个不共线的向量,已知 AB =3i+2j, CB =i+ λ j, CD =-2i+j,若 A、B、D 三点共线, 试求实数 λ 的值. 解:∵ BD = CD - CB =(-2i+j)-(i+λ j)=-3i+(1-λ )j, 又∵A、B、D 三点共线, ∴向 量 AB 与 BD 共线.因此存在实数 υ ,使得 AB =υ BD , 即 3i+2j=υ [-3i+(1-λ )j]=-3υ i+υ (1-λ )j. ∵i 与 j 是两个不共线的向量, 故?

?? 3v ? 3, ?v(1 ? ? ) ? 2,
5

∴?

?v ? ?1, ∴当 A、B、D 三点共线时,λ =3. ?? ? 3.

例 3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平 面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向 量,其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解 ,教师引导学生认真地分析和理解 平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的 ,只要是同 一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底. 解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面 内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量. 综上所述,②③正确. 答案:B 点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解. 思路 2

图7 例 1 如图 7,M 是△ABC 内一点,且满 足条件 AM ? 2BM ? 3CM ? 0,延长 CM 交 AB 于 N,令

CM =a,试用 a 表示 CN .
活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理 ,它是解决平面向量计算问题的重要工 具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论: 推论 1:e1 与 e2 是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数 λ 1、 λ 2,使得 λ 1e1+λ 2e2=0, 则 λ 1=λ 2=0. 推 论 2:e1 与 e2 是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 , 若 存 在 实 数 a1,a2,b1,b2, 使 得 a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则 ?

? ?a1 ? b1 , ? ?a 2 ? b2 .

解:∵ AM ? AN ? NM , BM ? BN ? NM , ∴由 AM ? 2BM ? 3CM =0,得 ( AN ? NM ) ? 2(BN ? NM ) ? 3CM ? 0. ∴ AN ? 3NM ? 2BN ? 3CM =0. 又∵A、N、B 三点共线,C、M、N 三点共线, 由平行向量基本定理,设 AN ? ? BN, CM ? ? NM ,

6

∴ ? BN ? 3NM ? 2BN ? 3? NM ? 0. ∴(λ +2) BN +(3+3μ ) NM =0. 由于 BN 和 NM 不共线, ∴?

?? ? 2 ? 0, ?? ? ?2 ∴? ?3 ? 3? ? 0, ?? ? ?1

∴ CM ? ? NM ? MN. ∴ CN ? CM ? MN ? 2CM =2a. 点评:这里选取 BN, NM 作为基底,运用化归思想,把问题归结为 λ 1e1+λ 2e2=0 的形式 来解决. 变式训练 设 e1 与 e2 是两个不共线向量,a=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数 λ 、μ 满足 λ a+μ b=5e1-e2,求 λ 、μ 的值. 解:由题设 λ a+μ b=(3λ e1+4λ e2)+(-2μ e1+5μ e2)=(3λ -2μ )e1+(4λ +5μ )e2. 又 λ a+μ b=5e1-e2. 由平面向量基本定理,知 ? 解之,得 λ =1,μ =-1.

?3? ? 2? ? 5, ?4? ? 5? ? ?1.

图8

例 2 如图 8,△ABC 中,AD 为△ABC 边上的中线且 AE=2EC,求

AG BG 及 的值. GD GE

活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与 三角形中的边相联系?利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设

AG BG ? ?, ?? GD GE

∵ BD = DC ,即 AD - AB = AC - AD , ∴ AD =

1 ( AB + AC ). 2

又∵ AG =λ GD =λ ( AD - AG ), ∴

AG

=

? 1? ?

AD

=

?
2(1 ? ? )

AB

+

?
2(1 ? ? )

AC

.

7

① 又∵ BG =μ GE ,即 AG - AB =μ ( AE - AG ), ∴(1+μ ) AG = AB +μ AE, AG =

1 ? AB ? AE 1? ? 1? ?


又 AE =

1 2 AB + 2? AC . AC ,∴ AG = 1? ? 3 3(1 ? ? )

比较①②,∵ AB 、 AC 不共线,

1 ? ? ?? ? 4, ? 2(1 ? ? ) ? 1 ? ? , AG BG 3 ? ? ? 4, ? ∴? 解之,得 ? 3∴ GD GE 2. 2? ?? ? ? ? ? . 2 ? ? ? 2(1 ? ? ) 3(1 ? ? )
点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应 相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果. 变式训练 过△OAB 的重心 G 的直线与边 OA 、 OB 分别交于 P 、 Q, 设 OP =h OA , OQ ? k OB , 试 证:

1 1 ? ?3 h k

1 1 ( OA ? OB )= (a+b)(图略). 2 2 2 1 1 1 1 ? 3k ∴ OG = OD = (a+b), QG ? OG ? OQ = (a+b)-kb= a+ b, 3 3 3 3 3
解:设 OA =a, OB =b,OG 交 AB 于 D,则 OD =

QP ? OP ? OQ =ha-kb.
∵P、G、Q 三点共线,∴ QG ? ?QP .

?1 ? ?h, ? 1 1 ? 3k ?3 ∴ a+ b=λ ha-λ kb.∴ ? 3 3 ?1 ? 3k ? ??k . ? 3 ?
两式相除,得 ∴

1 h ? ? ? k ? h ? 3hk . , 1 ? 3k k

1 1 ? =3. h k

(四)知能训练 1.已知 G 为△ABC 的重心,设 AB =a, AC =b,试用 a、b 表示向量 AG .

8

2.已知向量 a=(x+3,x -3x-4)与 AB 相等,其中 A(1,2),B(3,2),求 x.

2

图9 解答: 1.如图 9, AG =

2 AD , 3

而 AD ? AB ? BD ? AB ?

1 1 1 1 BC ? a+ (b-a)= a+ b, 2 2 2 2



AG ?

2 2 AD ? ( 1 a+ 1 b)= 1 a+ 1 b. 3 3 2 2 3 3

点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.

2.∵A(1,2),B(3,2),∴ AB =(2,0). ∵a= AB ,∴(x+3,x -3x-4)=(2,0).
2

∴?

? x ? 3 ? 2, ? x ? 3x ? 4 ? 0
2

解得 ?

? x ? ?1, ? x ? ?1或x ? 4.

∴x=-1. 点评:先将向量 AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. (五)课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义, 平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本 节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形 结合,几何作图. (六)作业

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