tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学 知识点练习答案圆锥曲线培优补差(二)


椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系

知识点回顾
1、椭圆、双曲线、抛物线

椭圆 1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1)

双曲线 1. 到两定点 F1,F2 的距

离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1)

抛物线

定义

与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.

轨迹条件

点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a=

点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

点集{M| |MF|=点 M 到直 线 l 的距离}.

图形



标准 方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y 2 ? 2 px



参数 方程

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?

范围 中心

─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0)

|x| ? a,y?R 原点 O(0,0)

x?0

顶点

(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b

(a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.

(0,0)

对称轴

x轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

p F ( ,0 ) 2

x=± 准 线

a2 c

x=±

a2 c

x=-

p 2

准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 焦距 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线垂直于实轴, 且在两顶点的 内侧. 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等.

离心率 补充: 双曲线:

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

(1)等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ? a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率
e? 2.

(2)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共 轭双曲线.
x2 a2 ? y2 b2

x2 y2 x2 y2 与 ? ? ? ? ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: a2 b2 a2 b2

? 0.

抛物线:

p p ,0),准线方程 x=,开口向右;抛物线 2 2 p p y 2 =-2px(p>0)的焦点坐标是(- ,0),准线方程 x= ,开口向左;抛物线 x 2 =2py(p>0)的 2 2 p p 2 焦点坐标是(0, ),准线方程 y=,开口向上;抛物线 x =-2py(p>0)的焦点坐标是 2 2 p p (0,- ) ,准线方程 y= ,开口向下. 2 2 p 2 (2)抛物线 y =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? x0 ? ;抛物线 2 p y 2 =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? ? x0 2 p 2 (3)设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ,顶点到 2
(1)抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标是(
2

准线的距离

p ,焦点到准线的距离为 p. 2
2

(4)已知过抛物线 y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则线段 AB 称为焦点弦, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB = x1 ? x2 +p, AF ? x1 ? 2、直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 、相切、相交、相离 (2) 、弦长公式:斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? ,两个不同的 点 AB ?

p ( AF 叫做焦半径). 2

? x1 ? x2 ?

2

? ( y1 ? y2 )2 ? 12 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ?

1 y1 ? y2 k2

3、常用方法 (1)巧用椭圆、双曲线的第二定义 (2)解圆锥曲线经常用“设而不求”的方法,设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生 的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是 一种常见的“设而不求”法 (3)巧用韦达定理,直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二 次方程问题, 最好用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题, 尤其在弦中点问题, 弦长问题, 可用韦达定理直接解决

经典练习:
一、选择题 1 、设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

(D)

? ?

2、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两 点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2

(C ) ?

(D) ?

3、已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦 2 a b

点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( ) (A) x 2 ?

8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

4、椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 8 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 8 x2 y 2 ? ?1 12 4

(C)

(D)

5、已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 |,
2 2

则 cos ?F 1 PF2 ? (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

6、 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点。若 M, O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

7、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 ) C、 4 D、 2 5

x y2 8、如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0) a b
的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条 渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.

2

2 3 3

B。

6 2

C. 2

D.

3

9、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ,则

?AOB 的面积为(



( A)

2 2

( B)

2

(C )

3 2 2

(D)

3 6 2

10、在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a≠0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x ? 2 的两点,过这两点引一 2 条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x ? 5 y ? 36 相切, 则抛物线顶点
2 2

的坐标为( (A) (?2, ?9)

) (B) (0, ?5) (C) (2, ?9) (D) (1, ?6)

二、填空题 1、 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值, 且 a ? 5) 的的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 a2 5 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
2

2、已知双曲线 x

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1⊥P F2,

2

则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 3、已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分别作
2

抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。

三、解答题

1、设抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+k 所得弦长|AB|=3



(1)求 k 的值; (2)以弦 AB 为底边,x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为 39 时,求点 P 的坐 标.

2、已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? . 2 3 a b

(1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在 圆 x ? y ? 5 上,求 m 的值.
2 2

x2 y 2 3 3 、 过 点 C (0,1)的 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 ,椭圆与 x 轴交于两点 a b 2

A? a,0? 、 B(?a, 0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直线 AC
与直线 BD 交于点 Q . (I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.

4、

椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题 1、 【答案】C∵△ F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形, ∴ ?PF2 A ? 600 , | PF2 |?| F 2 |=c, 1 F2 |? 2c ,∴ | AF ∴ 2c ?
0

3 3 a ,∴ e = ,故选 C. 4 2

2、 【答案】C 由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x2 ? y 2 ? a2 ,将 x ? 4 代入等轴 双曲线方程解得 y = ? 16 ? a2 ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a2 = 4 3 ,解得 a =2, ∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 3、【答案】D 解析:由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a,b,c 的关系可知 b ? 3a ,此题 应注意 C2 的焦点在 y 轴上,即(0,p/2)到直线 y ? 3x 的距离为 2,可知 p=8 或数形 结合,利用直角三角形求解。 4、 【答案】C 因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C c
5、 【答案】C【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF1 |? 2 x,| PF2 |? x , 则 | PF 1 F2 ? 4 ,利用余弦定理 1 | ? | PF 2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF 1 |? 4 2,| PF 2 |? 2 2 , F

PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 可得 cos ?F1PF2 ? ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2
6、 【答案】B 设椭圆的长轴为 2a, 双曲线的长轴为 2 a ? , 由 M, O, N 将椭圆长轴四等分, 则 2a ? 2 ? 2a? , 即 a ? 2 a ? ,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离心率为 e? ?

e?

c e? a ? 2. , ? a e a? p p ,0 ) ,准线方程为 x= ? , 2 2

c , a?

7、 【答案】B [解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为(

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
8、 【答案】B

b ? y ? x ? b, ? b ? c 【 解 析 】 由 题 意 知 直 线 F1 B 的 方 程 为 : y ? x ? b , 联 立 方 程 组 ? 得点 c ?x ? y ? 0 ?a b ? b ? y ? x ? b, ? ac bc ac bc ? c , ) ,联立方程组 ? , ) ,所以 PQ 的中点坐标为 Q( 得点 P (? c?a c?a c ? a c ? a x y ? ? ?0 ? ?a b
( a 2c c 2 c2 c a 2c , ) y ? ? ? ( x ? ) ,令 y ? 0 ,得 , 所 以 PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 : b2 b b b b2 a2 a2 ) c ( 1 ? ) ? 3c , 所 以 a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2a 2 , 即 3a 2 ? 2c 2 , 所 以 , 所 以 b2 b2

x ? c(1 ?

e?

6 。故选 B 2

9、【答案】C

10、

二、填空题 1、 【答案】

2 , 3
2 2

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5

? c ? 2,? e ?
2、 【答案】 2 3

c 2 ? a 3

【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?

2,? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2,

? PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 4

2

2

PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? (2c)2 ? 8,? 2 PF1 PF2 ? 4, ? ( PF1 ? PF2 )2 ? 8 ? 4 ? 12,? PF1 ? PF2 ? 2 3
3、 【答案】 ? 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y , 则y ?

2

2

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所 2

以 过 点 P , Q 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 分 别 为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联 立 方 程 组 解 得

x ? 1, y ? ? 4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4
三、解答题

1、解:

(1)设 A

、B

,由



,∴k<



又由韦达定理 = · . 即 =3

,∴|AB|= ,∴k=-4.

·

(2)设 x 轴上点 P(x,0),P 到 AB 的距离为 d,则

d= ∴|2x-4|=26.

=

,

S△PAB=

· 3

·

=39,

∴x=15 或 x=-11. ∴P 点为(15,0)或(-11,0).

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 . 2、解: (1)由题意,得 ? ?c ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(2)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2
2 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

另解:设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y12 x ? ?1 ? 1 ? 1 2 由? ,两式相减得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . 2 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 ? ? 2
由直线的斜率为 1, x0 ?

x 1 ? x2 y ?y , y0 ? 1 2 代入上式,得 y0 ? 2 x0 . 2 2

又 M ( y0 , x0 ) 在圆上,得 y02 ? x02 ? 5 ,又 M ( y0 , x0 ) 在直线上,可求得 m 的值.

3、解析: ( I ) 因 为 椭 圆 过 C(1,0) , 所 以 b=1. 因 为 椭 圆 的 离 心 率 是

3 ,所以 2

x2 c 3 ? , 又a 2 ? b2 ? c 2 ,故 a ? 2, c ? 3 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 4 a 2

? x2 ? 8 3 ? y 2 ? 1, ? x ? , ? x ?4 ? 7 l l ? y ? 1 ,由 ? 当直线 过椭圆右焦点时,直线 的方程为 得? 或 3 ? x ? y ? 1, ? y ? ? 1 , ? 3 ? 7 ? ?
?8 3 ? ? 8 3 ? ? 1 ?2 16 ? x ? 0, 则 C ? 0,1? , D ? ? ? 1? ? . ? ? 7 , ?1? ? ,故 | CD |? ? ? 7 ? ? ?? 7 ? y ? 1. ? ? ? ? ? 7 ? x (Ⅱ)直线 CA 的方程为 ? y ? 1 ① . 设点 P ? x0 ,0? ( x0 ? ?2) ,则直线 CD 的方程为 2
2

x ? y ?1 x0

②.

把②代入椭圆方程,得 xD ?

? 8x0 x0 2 ? 4 ? 8 x0 ,从而可求 . D , ? 2 2 ? 4 ? x0 2 4 ? x 4 ? x 0 0 ? ?
x0 ? 2 ? x ? 2? 2 ? x0 ? 2 ?
③,

因为 B(-2,0),所以直线 BD 的方程为 y ?

由①③可得 xQ ?

?4 4 2? ,从而求得 Q ? ,1 ? ? . x0 x0 ? ? x0

OP ? OQ ? x0 ?

? 4 2? ? 0 ? ?1 ? ? ? 4 , x0 ? x0 ?

所以 OP ? OQ 为定值.

4、


推荐相关:

福州八中高三数学培优补差辅导专题讲座-解析几何单元易...

培优补差辅导专题讲座-解析几何单元易错题分析与练习...二.考试要求: (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆...【注意】圆锥曲线是解析几何的重点,也是高中数学的...


高考数学培优资料--第6讲 高一第一学期期末复习题——...

1/2 同系列文档 高一上学期数学知识点总结... ...函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数...圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率...


中学学科网2009年高考数学第二轮复习精品资料三压轴题

函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数...圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率...多以传统的综合题或常用题型,与高等数学有关知识或...


高三文科圆锥曲线培优辅差试卷

培优班高考复习圆锥曲线 5页 20财富值 高二周末培优...16页 2财富值 高中培优高中数学专题:... 13页...2 圆锥曲线题型(总结每题知识点) 一、选择题 1....


补差训练二抛物线与第二定义

高二级数学培优补差训练二:抛物线与圆锥曲线的共同性质 一、 抛物线 知识回顾:1...将两准线间的距离四等分,则它的焦点与短轴端点连线的夹角为 参考答案:一、 1...


2015高三文科数学第一轮复习计划

因为学生掌握 了整个高中数学的基本知识结构、基本...4 实施分层教学,培优补差,优中更优第 2 页共 6...双曲线 抛物线 直线和圆锥曲线的位置关系 曲线与方程...


高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析...

高一上册数学(沪教版)知识... 高一数学重要知识...第九章 圆锥曲线 暂无评价 20页 2财富值如要投诉违规...高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析...


2016高三文科数学第一轮复习计划

因为学生掌握 了整个高中数学的基本知识结构、基本...4 实施分层教学,培优补差,优中更优 文科学生基础差...双曲线 抛物线 直线和圆锥曲线的位置关系 曲线与方程...


2005高考数学真题--安徽卷试题及答案(理)

高一数学重要知识点归纳1/2 相关文档推荐 ...函数培优 补差 艺术 复习 教案 集合 概念 竞赛 数...圆锥曲线 立体几何 排列组合 二项式 导数 极限 概率...


高三数学解析几何部分 专题讲练

高一上册数学(沪教版)知识... 高一数学重要知识...24页 2财富值 高三数学培优补差辅导专题... 25页...(点的轨迹)方程的求解方法和用定义法求圆锥曲线方程...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com