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高中数学 知识点练习答案圆锥曲线培优补差(二)


椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系

知识点回顾
1、椭圆、双曲线、抛物线

椭圆 1.到两定点 F1,F2 的距离之 和为定值 2a(2a>|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之 比为定值 e 的点的轨迹. (0<e<1)

双曲线 1. 到两定点 F1,F2 的距

离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1)

抛物线

定义

与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.

轨迹条件

点集:({M||MF1+|MF2| =2a,|F 1F2|<2a=

点集:{M||MF1|-|MF2|. =±2a,|F2F2|>2a}.

点集{M| |MF|=点 M 到直 线 l 的距离}.

图形



标准 方程

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

y 2 ? 2 px



参数 方程

? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?

范围 中心

─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0)

|x| ? a,y?R 原点 O(0,0)

x?0

顶点

(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) x 轴,y 轴; 长轴长 2a,短轴长 2b

(a,0), (─a,0) x 轴,y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b.

(0,0)

对称轴

x轴

焦点

F1(c,0), F2(─c,0)

F1(c,0), F2(─c,0)

p F ( ,0 ) 2

x=± 准 线

a2 c

x=±

a2 c

x=-

p 2

准线垂直于长轴,且在椭圆 外. 焦距 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线垂直于实轴, 且在两顶点的 内侧. 2c (c= a 2 ? b 2 )

准线与焦点位于顶点两侧, 且到顶点的距离相等.

离心率 补充: 双曲线:

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

(1)等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 ? ? a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y ? ? x ,离心率
e? 2.

(2)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共 轭双曲线.
x2 a2 ? y2 b2

x2 y2 x2 y2 与 ? ? ? ? ? ?? 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: a2 b2 a2 b2

? 0.

抛物线:

p p ,0),准线方程 x=,开口向右;抛物线 2 2 p p y 2 =-2px(p>0)的焦点坐标是(- ,0),准线方程 x= ,开口向左;抛物线 x 2 =2py(p>0)的 2 2 p p 2 焦点坐标是(0, ),准线方程 y=,开口向上;抛物线 x =-2py(p>0)的焦点坐标是 2 2 p p (0,- ) ,准线方程 y= ,开口向下. 2 2 p 2 (2)抛物线 y =2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? x0 ? ;抛物线 2 p y 2 =-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点 F 的距离 MF ? ? x0 2 p 2 (3)设抛物线的标准方程为 y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为 ,顶点到 2
(1)抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标是(
2

准线的距离

p ,焦点到准线的距离为 p. 2
2

(4)已知过抛物线 y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则线段 AB 称为焦点弦, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长 AB = x1 ? x2 +p, AF ? x1 ? 2、直线与圆锥曲线的位置关系 (1) 、相切、相交、相离 (2) 、弦长公式:斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A ? x1 , y1 ? B ? x2 , y2 ? ,两个不同的 点 AB ?

p ( AF 叫做焦半径). 2

? x1 ? x2 ?

2

? ( y1 ? y2 )2 ? 12 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ?

1 y1 ? y2 k2

3、常用方法 (1)巧用椭圆、双曲线的第二定义 (2)解圆锥曲线经常用“设而不求”的方法,设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生 的弦中点问题,常用“点差法” ,即设弦的两个端点 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0),将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是 一种常见的“设而不求”法 (3)巧用韦达定理,直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二 次方程问题, 最好用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题, 尤其在弦中点问题, 弦长问题, 可用韦达定理直接解决

经典练习:
一、选择题 1 、设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

(D)

? ?

2、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两 点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2

(C ) ?

(D) ?

3、已知双曲线 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦 2 a b

点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( ) (A) x 2 ?

8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x 2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

4、椭圆的中心在原点,焦距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 8 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 8 x2 y 2 ? ?1 12 4

(C)

(D)

5、已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 |,
2 2

则 cos ?F 1 PF2 ? (A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

6、 如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点。若 M, O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3

B.2

C.

3

D.

2

7、已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y0 ) 。若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |? ( A、 2 2 B、 2 3 ) C、 4 D、 2 5

x y2 8、如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a,b>0) a b
的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条 渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交与点 M,若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A.

2

2 3 3

B。

6 2

C. 2

D.

3

9、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若 AF ? 3 ,则

?AOB 的面积为(



( A)

2 2

( B)

2

(C )

3 2 2

(D)

3 6 2

10、在抛物线 y ? x2 ? ax ? 5(a≠0) 上取横坐标为 x1 ? ?4 , x ? 2 的两点,过这两点引一 2 条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x ? 5 y ? 36 相切, 则抛物线顶点
2 2

的坐标为( (A) (?2, ?9)

) (B) (0, ?5) (C) (2, ?9) (D) (1, ?6)

二、填空题 1、 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值, 且 a ? 5) 的的左焦点为 F , 直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 a2 5 B , ?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
2

2、已知双曲线 x

?

y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1⊥P F2,

2

则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 3、已知 P,Q 为抛物线 x ? 2 y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P、Q 分别作
2

抛物线的切线,两切线交于 A,则点 A 的纵坐标为__________。

三、解答题

1、设抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+k 所得弦长|AB|=3



(1)求 k 的值; (2)以弦 AB 为底边,x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为 39 时,求点 P 的坐 标.

2、已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? . 2 3 a b

(1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在 圆 x ? y ? 5 上,求 m 的值.
2 2

x2 y 2 3 3 、 过 点 C (0,1)的 椭 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 ,椭圆与 x 轴交于两点 a b 2

A? a,0? 、 B(?a, 0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D ,并与 x 轴交于点 P ,直线 AC
与直线 BD 交于点 Q . (I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.

4、

椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题 1、 【答案】C∵△ F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形, ∴ ?PF2 A ? 600 , | PF2 |?| F 2 |=c, 1 F2 |? 2c ,∴ | AF ∴ 2c ?
0

3 3 a ,∴ e = ,故选 C. 4 2

2、 【答案】C 由题设知抛物线的准线为: x ? 4 ,设等轴双曲线方程为: x2 ? y 2 ? a2 ,将 x ? 4 代入等轴 双曲线方程解得 y = ? 16 ? a2 ,∵ | AB | = 4 3 ,∴ 2 16 ? a2 = 4 3 ,解得 a =2, ∴ C 的实轴长为 4,故选 C. 3、【答案】D 解析:由双曲线离心率为 2 且双曲线中 a,b,c 的关系可知 b ? 3a ,此题 应注意 C2 的焦点在 y 轴上,即(0,p/2)到直线 y ? 3x 的距离为 2,可知 p=8 或数形 结合,利用直角三角形求解。 4、 【答案】C 因为 2c ? 4 ? c ? 2 ,由一条准线方程为 x ? ?4 可得该椭圆的焦点在 x 轴上县

a2 ? 4 ? a 2 ? 4c ? 8 ,所以 b2 ? a 2 ? c2 ? 8 ? 4 ? 4 。故选答案 C c
5、 【答案】C【解析】解:由题意可知, a ? 2 ? b,?c ? 2 ,设 | PF1 |? 2 x,| PF2 |? x , 则 | PF 1 F2 ? 4 ,利用余弦定理 1 | ? | PF 2 |? x ? 2a ? 2 2 ,故 | PF 1 |? 4 2,| PF 2 |? 2 2 , F

PF12 ? PF22 ? F1F22 (4 2)2 ? (2 2)2 ? 42 3 可得 cos ?F1PF2 ? ? ? 。 2PF1 ? PF2 4 2? 2 2 ? 4 2
6、 【答案】B 设椭圆的长轴为 2a, 双曲线的长轴为 2 a ? , 由 M, O, N 将椭圆长轴四等分, 则 2a ? 2 ? 2a? , 即 a ? 2 a ? ,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为 c,则双曲线的离心率为 e? ?

e?

c e? a ? 2. , ? a e a? p p ,0 ) ,准线方程为 x= ? , 2 2

c , a?

7、 【答案】B [解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为(

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
8、 【答案】B

b ? y ? x ? b, ? b ? c 【 解 析 】 由 题 意 知 直 线 F1 B 的 方 程 为 : y ? x ? b , 联 立 方 程 组 ? 得点 c ?x ? y ? 0 ?a b ? b ? y ? x ? b, ? ac bc ac bc ? c , ) ,联立方程组 ? , ) ,所以 PQ 的中点坐标为 Q( 得点 P (? c?a c?a c ? a c ? a x y ? ? ?0 ? ?a b
( a 2c c 2 c2 c a 2c , ) y ? ? ? ( x ? ) ,令 y ? 0 ,得 , 所 以 PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 : b2 b b b b2 a2 a2 ) c ( 1 ? ) ? 3c , 所 以 a 2 ? 2b2 ? 2c 2 ? 2a 2 , 即 3a 2 ? 2c 2 , 所 以 , 所 以 b2 b2

x ? c(1 ?

e?

6 。故选 B 2

9、【答案】C

10、

二、填空题 1、 【答案】

2 , 3
2 2

[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5

? c ? 2,? e ?
2、 【答案】 2 3

c 2 ? a 3

【解析】由双曲线的方程可知 a ? 1, c ?

2,? PF1 ? PF2 ? 2a ? 2,

? PF1 ? 2 PF1 PF2 ? PF2 ? 4

2

2

PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? (2c)2 ? 8,? 2 PF1 PF2 ? 4, ? ( PF1 ? PF2 )2 ? 8 ? 4 ? 12,? PF1 ? PF2 ? 2 3
3、 【答案】 ? 4 【解析】因为点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,代人抛物线方程得 P,Q 的纵坐标分别为 8,2.
2 由 x ? 2 y , 则y ?

2

2

1 2 x ,? y ? ? x, 所以过点 P,Q 的抛物线的切线的斜率分别为 4, ? 2,所 2

以 过 点 P , Q 的 抛 物 线 的 切 线 方 程 分 别 为 y ? 4 x ? 8, y ? ?2 x ? 2, 联 立 方 程 组 解 得

x ? 1, y ? ? 4, 故点 A 的纵坐标为 ? 4
三、解答题

1、解:

(1)设 A

、B

,由



,∴k<



又由韦达定理 = · . 即 =3

,∴|AB|= ,∴k=-4.

·

(2)设 x 轴上点 P(x,0),P 到 AB 的距离为 d,则

d= ∴|2x-4|=26.

=

,

S△PAB=

· 3

·

=39,

∴x=15 或 x=-11. ∴P 点为(15,0)或(-11,0).

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 . 2、解: (1)由题意,得 ? ?c ? 3 ? ?a
∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

2

y2 ? 1. 2

(2)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2
2 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

另解:设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y12 x ? ?1 ? 1 ? 1 2 由? ,两式相减得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . 2 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 ? ? 2
由直线的斜率为 1, x0 ?

x 1 ? x2 y ?y , y0 ? 1 2 代入上式,得 y0 ? 2 x0 . 2 2

又 M ( y0 , x0 ) 在圆上,得 y02 ? x02 ? 5 ,又 M ( y0 , x0 ) 在直线上,可求得 m 的值.

3、解析: ( I ) 因 为 椭 圆 过 C(1,0) , 所 以 b=1. 因 为 椭 圆 的 离 心 率 是

3 ,所以 2

x2 c 3 ? , 又a 2 ? b2 ? c 2 ,故 a ? 2, c ? 3 ,椭圆方程为 ? y 2 ? 1. 4 a 2

? x2 ? 8 3 ? y 2 ? 1, ? x ? , ? x ?4 ? 7 l l ? y ? 1 ,由 ? 当直线 过椭圆右焦点时,直线 的方程为 得? 或 3 ? x ? y ? 1, ? y ? ? 1 , ? 3 ? 7 ? ?
?8 3 ? ? 8 3 ? ? 1 ?2 16 ? x ? 0, 则 C ? 0,1? , D ? ? ? 1? ? . ? ? 7 , ?1? ? ,故 | CD |? ? ? 7 ? ? ?? 7 ? y ? 1. ? ? ? ? ? 7 ? x (Ⅱ)直线 CA 的方程为 ? y ? 1 ① . 设点 P ? x0 ,0? ( x0 ? ?2) ,则直线 CD 的方程为 2
2

x ? y ?1 x0

②.

把②代入椭圆方程,得 xD ?

? 8x0 x0 2 ? 4 ? 8 x0 ,从而可求 . D , ? 2 2 ? 4 ? x0 2 4 ? x 4 ? x 0 0 ? ?
x0 ? 2 ? x ? 2? 2 ? x0 ? 2 ?
③,

因为 B(-2,0),所以直线 BD 的方程为 y ?

由①③可得 xQ ?

?4 4 2? ,从而求得 Q ? ,1 ? ? . x0 x0 ? ? x0

OP ? OQ ? x0 ?

? 4 2? ? 0 ? ?1 ? ? ? 4 , x0 ? x0 ?

所以 OP ? OQ 为定值.

4、


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