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高考数学专题复习讲义


高考数学一轮专题复习之

不等式

不等式是历年高考的重点考查内容,其中不等式的性质和解不等式,特别是含参数的不等式的解 法,仍会继续渗透在其他知识中进行考查。对不等式的应用,突出渗透数学思想方法和不等式知识的 综合应用,特别是求最值问题、不等式证明问题,将继续强调考查逻辑推理能力,尤其是不等式与函 数、数列、三角、解析几何等问题的综合题型

,将会继续出现在高考的中、高档题中。 下面根据高考中不等式的高频和热点考点进行分析,来全方位突破这个重点内容。 考点一 不等式的解法

不等式的解法是高考必考内容,直接考查主要以选择题、填空题为主,这类题小巧灵活,常考常 新;但有时也以解答题形式出现,主要考查含参数的不等式的解法.间接考查则更多,常以工具作用出 现在函数、数列、三角函数、导数、解析几何,考查时重点考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对 值不等式. 例 1 (2012 年重庆高考)不等式

x ?1 ? 0 的解集为( 2x ?1
C. ? ??, ?

)

A. ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? ?

1? ? ? ?1, ? ? ? 2?

D. ? ??, ? ? ? ?1, ? ? ? 2

? ?

1? ?

导思:解分式不等式的一般过程是:“移项,通分,除化为乘,写解集”,本题直接除化为乘即 可. 解析:原不等式等价于 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,即 ?

1 ? x ? 1 或 x ? 1 ,所以不等式的解为 2

?

1 ? x ? 1 ,选 A 2
例2 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 m、n∈[-1,1],m+n≠0



f ( m) ? f ( n ) >0. m?n
(1)用定义证明 f(x)在[-1,1]上是增函数;

1 1 (2)解不等式:f(x+ )<f( ); 2 x ?1
(3)若 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围. 导思:(1)问单调性的证明,利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键,(3)问利用单调性 把 f(x)转化成“1”是点睛之笔.

1

(1)证明:任取 x1<x2,且 x1,x2∈[-1,1],则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= -x2) ∵-1≤x1<x2≤1,
f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) >0,又 x1-x2<0, x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( ? x 2 ) ·(x1 x1 ? x 2

∴x1+(-x2)≠0,由已知

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在[-1,1]上为增函数. (2)解:∵f(x)在[-1,1]上为增函数,
1 ? ?? 1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? ?1 ∴ ?? 1 ? x ? 1 ? 1 1 ? x? ? ? 2 x ?1 ?

解得:{x|-

3 ≤x<-1,x∈R} 2

(3)解:由(1)可知 f(x)在[-1,1]上为增函数,且 f(1)=1,故对 x∈[-1,1],恒有 f(x)≤1, 所以要 f(x)≤t2-2at+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即要 t2-2at+1≥1 成立,故 t2 -2at≥0,记 g(a)=t2-2at,对 a∈[-1,1],g(a)≥0,只需 g(a)在[-1,1]上的最小值大于等于 0,g(-1)≥0,g(1)≥0,解得,t≤-2 或 t=0 或 t≥2.∴t 的取值范围是:{t|t≤-2 或 t=0 或 t≥2}.

考点二

基本不等式

基本不等式是不等式的核心内容,在应用过程中要注意其三部曲:一正(相关变量为正号),二 定(出现和或者积为定值), 三相等(验证等号成立的条件), 任何一个环节出现问题都会使问题解决出现 偏差.基本不等式应用的难点是根据问题结构合理进行分拆、变形、组合、添加系数使之出现定值, 在给定范围的条件下,尤为重要的是检验等号成立的条件,等号成立的条件不满足时,可以考虑用函 数的单调性来处理. 例 1 .已知 x ?

5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值. 4 4x ? 5

导思:由于 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要调整符号. 解析:∵ x ?

5 ∴ 5 ? 4x ? 0 4
2

∴y=4x-2+

1 1 ? ? = ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ≤-2+3=1 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x=1 时,上式成立,故当 x=1 时, ymax ? 1 . 5 ? 4x

. 例 2 下列不等式一定成立的是( A. lg ? x 2 ? )

? ?

1? ? ? lg x ? x ? 0 ? 4?

B. sin x ?

1 ? 2 ? x ? k? , k ? Z ? sin x

C. x2 ? 1 ? 2 x ? x ? R ?

D.

1 ? 1? x ? R ? x ?1
2

导思:主要是利用基本不等式进行判断或者证明,判断的过程中要特别注意使用“一正、二定、 三相等”的条件. 解析: x2 ?1 ?| x |2 ?1 ? 2 | x | ?1 ? 2 | x | .故选 C.

x 例 3 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1
导思: 先求

x x x (x>0)的最大值,要使得 2 ≤a(x>0)恒成立,只要 2 (x x +3x+1 x +3x+1 x +3x+1
2

>0)的最大值小于等于 a 即可. x x 解析: 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,只需求得 y= 2 的最大值即可,因 x +3x+1 x +3x+1 为 x>0,所以 y= x = x2+3x+1 1 1 1 ≤ =5,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a 的取 1 1 x+x +3 2 x· x

?1 ? 值范围是?5,+∞? ? ?

例 4 甲、乙两地相距 s km ,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不超过 c km/h ,已知汽车每小时的运 ..... 输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v km/h 的平方成正比,且比例 ... 系数为 b ;固定部分为 a 元.
3

(1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v km/h 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 导思::需由实际问题构造函数模型,转化为函数问题求解 解析:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 h ,全程运输成本为

s v

a s s a y ? a ? ? bv 2 ? ? s ( ? bv ) .故所求函数为 y ? s ( ? bv ) ,定义域为 v ? (0,c) . b v v v
(2)由于 s、a、b、v 都为正数,

故有 s( ? bv) ? s ? 2

a v

a a ? bv ,即 s ( ? bv ) ? 2 s ab . v b

当且仅当

a a ? bv ,即 v ? 时上式中等号成立. v b



a a ? c 时,则 v ? 时,全程运输成本 y 最小; b b
a a a ? c ,易证 0 ? v ? c ,函数 y ? f (v) ? s ( ? bv ) 单调递减,即 v ? c 时, ymin ? s ( ? bc ) . v c b



综上可知,为使全程运输成本 y 最小,在

a a ? c 时,行驶速度应为 v ? ; b b



a ? c 时,行驶速度应为 v ? c . b
考点三 不等式的证明

高考要求掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.不等式证明是高中数学的重要内容,同 时也是高中数学的难点,加之题型广泛,涉及面广,证法灵活,因而备受命题者的青睐,成为高考的 热点问题. 例. 已知 a,b∈R,且 a+b=1.求证: ?a ? 2? ? ?b ? 2? ?
2 2

25 2

4

导思:这是非常有代表性的不等式证明题,不同的分析切入点,会有丰富多彩的方法。 证法一:比较法,作差消 b,化为 a 的二次函数,

也可用分析法、综合法,反证法,实质与比较法相同. 证法二:(放缩法)∵ a ? b ? 1 , ∴左边= ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ?
2
2 1 25 ? ? =右边 ? a ? b ? ? 4? ? ? 2 2

2

? ? a ? 2? ? ?b ? 2? ? ? 2? ? 2 ? ?

2

?

证法三:(均值换元法)∵ a ? b ? 1 ,所以可设 a ?

1 1 ? t ,b ? ? t , 2 2
2 2

∴左边= ? a ? 2 ? ? ? b ? 2 ?
2

2

1 1 25 25 ? 5? ? 5? ? ( ? t ? 2) 2 ? ( ? t ? 2) 2 ? ? t ? ? ? ? t ? ? ? 2t 2 ? =右边 ? 2 2 2 2 ? 2? ? 2?

当且仅当 t=0 时,等号成立. 证法四:(判别式法) 设 y= (a+2)2+(b+2)2,由 a+b=1,有 y ? (a ? 2) 2 ? (3 ? a) 2 ? 2a 2 ? 2a ? 13, 所以 2a 2 ? 2a ? 13 ? y ? 0 ,因为 a ? R ,所以 ? ? 4 ? 4 ? 2 ? (13 ? y) ? 0 ,即 y ?

25 2

故 ?a ? 2? ? ?b ? 2? ?
2 2

25 2 .
考点四 线性规划

线性规划的基础是用不等式(组)表示平面区域,高考中解决线性规划问题,关键在于正确地作 出可行区域,然后平行移动目标函数,从而找出最优解.由于线性规划与不等式和解析几何结合 的紧密性,近年一些非线性规划问题,如求距离(平方)、斜率等,也炙手可热,复习中要注意 加强训练.

? x , y?0, ? 例 1 (2012 年全国新课标)设 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 , 则 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ? x? y ?3 , ?

5

导思:先准确地画出约束条件表示的平面区域,即可行域,再利用图解 法直观地求出最优解. 解析:做出不等式所表示的区域如图1,由 z ? x ? 2 y 得 y ? 平移直线 y ?

1 1 x? z, 2 2

1 1 1 x ,由图象可知当直线经过点 D ? 3, 0? 时,直线 y ? x ? z 2 2 2
图1

的截距最小,此时 z 最大,为 z ? x ? 2 y ? 3 ,当直线经过 B 点时,直线

截距最大,此时 z 最小,由 ?

? x ? y ? ?1 , ?x ? 1 , 解得 ? 即 B ?1, 2? ,此时 z ? x ? 2 y ? 1 ? 4 ? ?3 ,所以 ?x ? y ? 3 , ?y ? 2 ,

?3 ? z ? 3 ,即 z 的取值范围是 ? ?3, 3? .
考点五 不等式与其他知识渗透 不等式作为解题工具,可以有机渗透到函数、三角、数列、解析几何等知识中,形成中等题或者压 轴题,命题老师对此乐此不彼,常考常新。 例.设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;
f ( x) 的最小值;
(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1 的解集. f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 ....

(3)设函数 h( x) ?

【解析】(1)若

f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?

?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 ?? a ? ? 2a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? f (?a), a ? 0 ? ??2a , a ? 0 ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

6

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 , ? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2

当a ? ?

6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 或a ? 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ? ( x ? )( x ? )?0 当? 时,△>0,得: ? ?a? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

当 a ? (?

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3

当 a ? [?

a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3

7


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