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速解多面体外接球问题


酶 

解题技巧 与方法 
一  一  一  一  …蜊  …   …  … 一 
棒 

黜 

逮蘸多   傣珠接  臻  题 
◎ 闫银 翠  王 丽敏  ( 内蒙 古 包 头 市 一机 一 中 0 1 4 0 3 0 )  

【 摘 要】 近几年高考 中, 有

关 多 面体 的 外接 球 的 问题 , 常 
常 是 困 扰 学 生 的 难 点. 外 接球 的球 心 在 哪?半径 是 多少?   解 决 了这 两 个 问题 , 外 接 球 的 问题 就 迎 刃 而解 了. 根据 不 同   类 型 的 多 面体 介 绍 了三种 快速 找 到 外 接 球 的 球 心 和 半 径 的   方 法: 补成长方体和 正方体 、 利 用直 角三 角形 的性质 、 利用  
线 面垂 直 的 性质 .  
侧 视 图 

【 关 键词】 外接球 ; 补体 ; 直角三角形 ; 线 面 垂直 
1 . 将 多 面 体 补 成 长 方 体 或 正 方 体 



7  



8  

分 析  将 三 棱 锥 还 原 在 和 它 长 、 宽、 高 相 等 的 长 疗 体  中, 如 冈 8所 示 . 易知, C D   j - 平面 A B C, 所 以 C D 上A C , 故 

我们知道对于长 方体 或正方 体而 言 , 它 的 外 接 球 的 球 
心 是 其 体 对 角 线 的交 点 , 半 径 是 体 对 角 线 长 度 的一 半. 如 果 

△A B D 和 △A C D是以 A D 为 公 共 边 的直 角 三 角 形 , 则 i棱 锥 

A—B C D外接球 的球心为 A D的中点 , 半径  :   : √   , 所以  


我 们 能 将 一 个 多 面 体 补 成 一 个 长方 体 , 使 其 顶 点 与 长 方 体 
的八个顶点 中的几个重 合 , 则 这 个 多 面 体 的 外 接 球 就 是 其 

÷  :  竹 .  
3 . 利 用 线 面 垂 直  我 们 知 道 在 三 角 形 巾到 三 个 顶 点 距 离 相 等 的 点 是 i 角 

对 应 的 长 方 体 或 正 方 体 的外 接 球 .   例1   ( 2 0 0 8年 福 建 高 考 题 ) 若 三棱 锥 的 三 条 侧 棱 两 两 

垂 直, 且侧棱长为√ 3 , 则其外接球表面积是 
以将 该 棱 锥 补 成 一 个 正 方 体 , 如图 1 , 则 该 棱 锥 
的外 接 球 就 是 补 成 的 正 方 体 的 外 接 球 . 故 外 

.  

形 的外 心 , 那 么在 空 间 中 到 三 角 形 三 个 顶 点 距 离 相 等 的 点 
的集 合 就 是 过 外 心 所 作 的三 角 形 所 在 平 面 的 垂 线 . 因此 , 一  个 多 面体 外 接 球 的球 心一 定 在 过 其 某 个 三 角 形 面 的 外 心 所  作 的垂 线 上 .   例 4   已知 三棱 锥 的 三视 图如 图 9所 示 , 则 它 的外 接 球 
的 表 面 积 为  .  

分 析  因为 三 条 侧 棱 两 两 垂 直 且 侧 棱 长 相 等 , 所 以 可 

棚  

接 球 的 半 径 r = ÷  ̄ /   丽
4竹r 2;91 T
. 

= ÷ , s   =  
图  1  

2 . 利 用 直 角 三 角 形 的 性 质 
我们知道在直 角i角 形 中, 斜 边 上 的 中 点 到 三 个 顶 点  的距 离 相 等 , 若一个 = 三 棱 锥 有 两 个 面 是 直 角 i 角 形 且 它 们  的斜 边 重 合 , 则 该 斜 边 的 中点 就 是 外 接 球 的球 心 , 斜 边 的 一 
半 即 为外 接 球 的半 径 .  
例 2   已知 一 个 三 棱 锥 的 三 视 图如 图 5所 示 , 其 中主 视 
事视 图 

: : Z l  
左 视 图 



9  

l   1 0  

图、 俯 视 图全 是 等 腰 直 角 三角 形 , 则 该 三棱 锥 的 外接 球 的体 
积 是  .  

分 析  将  棱 锥 还 原 在 和 它 长 、 宽、 高 相 等 的  方 体  中, 如图 l 0所 示 . 易知 , R t △B C D的外 心为斜 边 C D 的 中 点  0, 显然 A O上平 面 B C D, 故 i棱 锥 A—B C D 外 接 球 的 球 心 在  直线 D A上 , 又O A=O B=O C=O D =l 。 所 以 三棱 锥 A — B C D   外 接球 的球 心 为 0, 半径 r =1 , 所以S  : 4 盯 r  = 4 1 v .   例 5   ( 2 0l 2年 新 课 标 卷 )已知 三棱 锥 S—A BC 的 所 有 
顶 点 都 在 球 0 的球 面 上 , △A BC是 边 长 为 1的 正 三 角 形 , s C  

一 一 r  
5   f 铜  6  

为球 0的直径 , 且 S C= 2 , 则 此 棱 锥 的体 积 为 (  
A.

) .  

分 析  将 三 棱 锥 还 原 在 和 它 长 、 宽、 高 相 等 的 长 方 体 
中, 如 图 6所 示 . 易知 , AA B C和 △B D C是 以 B C为 公 共 边 的  等 腰 直 角 三 角形 , 则其外接球的球心为 B C的 中点 , 半径 r =  


6  

B.   6  

c.  3  

D.  2  

分析

j 棱 锥 S— A B C外 接 球 的 球 心 0 在 过 AA B C的 

外心 0  且 垂 直 平 面 A B C的垂 线 上. 故 O 0 、 J _ 平面 A B C ,  

譬- 3 j 所 以  : ÷  : 3 6 盯 .  
例 3   如 图 7是 一 个 空 间 几 何 体 的 三 视 图, 其 中俯 视 图  

0   c :  , D   0 = 、  
.  
答案.  

= 华, 所 以 二 = 二 棱 柱 的 高S D =  

为直角三角形 , 则 该 几 何 体 的 外接 球 的体 积 为  

2 0 。 0 = 半, 因 此  一  = ÷ s △  × s D =  . 故 选 择 A  
数 学 学 习与 研 究 2 0 1 5 , 3  


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