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05--1数列知识点总结精华及试题精粹1


Http://www.fhedu.cn 【2012 高考冲刺样本】05--1 数列知识点总结精华及试题精粹 1 知识要点

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系

项 项数 通项

数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列


等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和

等差数列

1. ⑴等差、等比数列: 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
a n ?1 ? a n ? d

等比数列
a n ?1 an ? q (q ? 0)
a m ? a n ? a p ? a q (m , n, p, q ? N , m ? n ? p ? q )
*

a n ? a n ?1 ? d

;an

? a m ? n ? md

a n ? a n ?1 q

;an

? amq
? 0

n?m

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

a n ? a1 q
G ? ?

n ?1

( a1 , q



A ?

a n?k ? a n?k 2

a n?k a n? k (a n?k a n? k ? 0)

( n, k ? N * , n 前 和
n

? k ? 0



( n, k ? N * , n

? k ? 0





Sn ?

n 2

(a1 ? a n ) n ( n ? 1) 2

S n ? na 1 ?

d

? na 1 ( q ? 1) ? S n? ? a 1? q n a1?an q 1 ? (q ? 2) ? 1? q 1? q ?

?

?

重要性 质

1 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址:南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 Mail:admin@fhedu.cn

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Http://www.fhedu.cn 等差数列 定义
{ a n }为 A ? P ? a n ? 1 ? a n ? d ( 常数)

等比数列
{ a n }为 G ? P ? a n ?1 an
n?k

? q ( 常数)

通项公 式

a n = a 1 + ( n-1 ) d= a k + ( n-k )

a n ? a1q

n ?1

? ak q

d= dn + a 1 -d 求和公 式
sn ? ? d 2 n ( a1 ? a n ) 2 n
2

? na 1 ? )n

n ( n ? 1) 2

d

? ( a1 ?

d 2

sn

? na 1 ? ? ? a 1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? ? 1? q ? 1? q

( q ? 1) ( q ? 1)

中项公 式

A=

a?b 2

推广:2 a n = a n ? m ? a n ? m

G

2

? ab 。推广: a n

2

? a n?m ? a n?m

性 质

1 2

若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q 若 { k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) { a k } 则
n

若 m+n=p+q,则 a m a n ? a p a q 。 若 { k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) , 则 { a k } 成等比数列。
n

也为 A.P。 3 4
d ?

. s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等差数列。 s n , s 2 n ? s n , s 3 n ? s 2 n 成等比数列。
a n ? a1 n ?1 am ? an m ?n
n ?1

?

(m ? n)

q

?

an a1



q

n?m

?

an am

(m ? n)

5 ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法: ① a n ? a n ?1 ? d ( n ? 2 , d 为常数 ) ②2 a n ? a n ? 1 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ③ a n ? kn ? b ( n, k 为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法: ① a n ? a n ?1 q ( n ? 2 , q 为常数 , 且 ? 0 )
2 ②an

? a n ? 1 ? a n ?1

(n

? 2

, a n a n ? 1 a n ?1

? 0)



注①:i.

b ?

ac

,是 a、b、c 成等比的双非条件,即 b

?

ac

a、b、c 等比数列.
2

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Http://www.fhedu.cn ii. iii. iv.
b ? ac

(ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要.
ac

b ? ?

→为 a、b、c 等比数列的必要不充分.
? 0

b ? ? ac

且 ac

→为 a、b、c 等比数列的充要.

注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. ③ an
? cq
n

( c, q 为非零常数).
x

④正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log

an

}( x

? 1 )成等比数列.

⑷数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ? [注]: ① a n ? a 1 ? ?n ? 1?d
? nd ? ? a 1 ? d ? ( d

? s 1 ? a 1 ( n ? 1) ? s n ? s n ?1 ( n ? 2 )

可为零也可不为零→为等差数列充要条件(即常
d 2

数列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). ②等差{ a n }前 n 项和 S n ?
An
2

d ? ?d ? 2 ? ? Bn ? ? ? n ? ? a 1 ? ? n 2 ? ? 2 ? ?



可以为零也可不为零→为等差

的充要条件→若 d 为零, 则是等差数列的充分条件; d 不为零, 若 则是等差数列的充分条件. ③非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能有等比数列) .. 2. ① 等 差 数 列 依 次 每 k 项 的 和 仍 成 等 差 数 列 , 其 公 差 为 原 公 差 的 k 倍 S k , S 2 k ? S k , S 3 k ? S 2 k ... ; ②若等差数列的项数为 2 n ?n ? N
?
2

? ,则 S

?S 偶

? nd , 奇

S S

奇 偶

?

an a n ?1


? n n ?1

③若等差数列的项数为 2 n ? 1?n ? N ? ? ,则 S 2 n ?1 ? ?2 n ? 1?a n ,且 S 奇 ? S 偶 ? a n , S 奇
S偶

? 代入 n 到 2 n ? 1得到所求项数

.
n ?n ? 1? 2

3. 常用公式:①1+2+3 …+n = ②12 ?2 2 ?3 2 ? ? n 2 ?

n ? n ? 1 ?? 2 n ? 1 ? 6

? n ?n ? 1? ? ③1 ?2 ?3 ? n ? ? ? 2 ? ?
3 3 3 3

2

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ?

a n ? 10

n

?1;

5,55,555,… ?

an ?

5 9

?10

n

?1

?.

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: ⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率为 r ,则每年的产 量成等比数列,公比为 1 ? r . 其中第 n 年产量为 a (1 ? r ) n ? 1 ,且过 n 年后总产量为:

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a ? a (1 ? r ) ? a (1 ? r )
2

? ... ? a (1 ? r )

n ?1

?

a [ a ? (1 ? r ) ] 1 ? (1 ? r )

n

.

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息为 r ,每月利息按 复利计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a (1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可存款:
a (1 ? r )[ 1 ? (1 ? r ) 1 ? (1 ? r )
12

a (1 ? r )

12

? a (1 ? r )

11

? a (1 ? r )

10

? ... ? a (1 ? r ) =

]

.

⑶分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全部付清; r 为年利率.
a ?1 ? r ?
m

? x ?1 ? r ?

m ?1

? x ?1 ? r ?

m?2

? ...... x ?1 ? r ? ? x ? a ?1 ? r ?

m

?

x ?1 ? r ? r

m

?1

? x ?

ar ?1 ? r ?

m

?1 ? r ? m

?1

5. 数列常见的几种形式: ⑴ a n ? 2 ? pa n ? 1 ? qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤: ①写出特征方程 x 2 ?
Px ? q x (
2

对应 a n ? 2 , 对应 a n ? 1 )并设二根 x 1 , x 2 ②若 x 1 ? x 2 x ,
(c 1 ? c 2 n ) x
n 1

可设 a n . ? c 1 x n ? c 2 x n ,若 x 1 ? x 2 可设 a n ? 1 2 ⑵an?
Pa
n ?1 ? r

;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 .

(P、r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选代;③消去常数 n
n ? 1 ? qa n

转化为 a n ? 2 ?

Pa

的形式,再用特征根方法求 a n ;④ a n ? c 1 ? c 2 P n ?1 (公式法) c 1 ,c 2 ,

由 a 1 ,a 2 确定. ①转化等差,等比: a n ? 1 ? x ②选代法: a n ?
?P
n ?1

? P ( a n ? x ) ? a n ? 1 ? Pa

n

? Px ? x ? x ? r P ?1

r P ?1
n ?1

.
r ? (a 1 ? x) P
n ?1

Pa

n ?1 ? r

? P ( Pa

n?2

? r ) ? r ? ? ? a n ? (a 1 ?

)P

?

P ?1

?x

a1?P

n?2

? r ? ? ? Pr ? r

.

③用特征方程求解:

a n ? 1 ? Pa

?r? ? 相减, ? a n ? 1 ? a n ? Pa a n ? Pa n ? 1 ? r ?
n

n

? Pa

n ?1 ?

a n ? 1 ? P ? 1) a n ? Pa (

n ?1

.

④由选代法推导结果: c 1 ?

r 1? P

, c 2 ?a1?

r P ?1

, a n ?c 2 P

n ?1

?c1? a1? (

r P ?1

)P

n ?1

?

r 1? P

.

6. 几种常见的数列的思想方法: ⑴等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d 两种方法: 一是求使 a n
? 0 , a n ?1 ? 0

?0

时,有最大值. 如何确定使 S n 取最大值时的 n 值,有
d 2 d 2

, 成立的 n 值; 二是由 S n

?

n

2

? (a1 ?

)n

利用二次函数的性质求 n

的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积, 求此数列前 n 项和可依

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Http://www.fhedu.cn 照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如: 1 ?
1 2 ,3 1 4 ,...( 2 n ? 1) 1 2
n

,...

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列, 此等差数列的首项就是原两个数列的第 一个相同项,公差是两个数列公差 d 1, d 2 的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差 (等比) 数列常有三种方法: (1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数, 验 证 a n ? a n ?1 (
an a n ?1
2

) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证

2 a n ? 1 ? a n ? a n ? 2 ( a n ? 1 ? a n a n ? 2 ) n ? N 都成立。
?a m ? 0 ? a m ?1 ? 0

3. 在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a 1 >0,d<0 时,满足 ?
?a m ? 0 ? a m ?1 ? 0

的项数

m 使得 s m 取最大值. (2)当 a 1 <0,d>0 时,满足 ?

的项数 m 使得 s m 取最小值。在解

含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三) 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ?
? c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部 ?

? a n a n ?1

分无理数列、含阶乘的数列等。

? 3.错位相减法:适用于 ?a n b n ? 其中{ a n }是等差数列,b n ? 是各项不为 0 的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =
n ( n ? 1) 2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

2

3) 1 ? 2 ? ? ? n
3 3

3

?1 ? ? ? n ( n ? 1) ? ?2 ?
2

2

4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2

1 6

n ( n ? 1)( 2 n ? 1)

5)

1 n ( n ? 1) 1 pq

?

1 n

?

1 n ?1 1 q

1 n(n ? 2)

?

1 1 1 ( ? ) 2 n n?2

6)

?

1 q? p

(

1 p

?

)

( p ? q)

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Http://www.fhedu.cn 备注:求递推数列的通项公式的九种方法 利用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代 以来,这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法 m w.w.w.k.s.5.u.c.o 例 1 在数列{ a n }中, a 1 ? 3 , a n ? 1 ? a n ?
1 n ( n ? 1)

,求通项公式 a n .
1 n ? 1 n ?1

解 : 原 递 推 式 可 化 为 : a n ?1 ? a n ?
a3 ? a2 ? 1 2 ? 1 3 1 3 1 4 1 n ?1 1 n

则 a 2 ? a1 ?

1 1

?

1 2

,

a4 ? a3 ? an ? 4 ? 1 n

?

, … … , a n ? a n ?1 ?

?

逐 项 相 加 得 : a n ? a1 ? 1 ?

1 n

.故

.

二、作商求和法 例 2 设 数 列 { a n } 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列 , 且 ( n ? 1) a n ? 1 ? na n ? a n ? 1 a n ? 0
2 2

(n=1,2,3…) ,则它的通项公式是 a n =▁▁▁(2000 年高考 15 题) 解:原递推式可化为:
[( n ? 1) a n ? 1 ? na n ]( a n ? 1 ? a n ) =0

∵ a n ?1 ? a n >0,

a n ?1 an

?

n n ?1
an a1 1 n


1 n

a2 a1

?

an 1 a3 2 a4 3 n ?1 , ? , ? , ……, ? 2 a2 3 a3 4 a n ?1 n

逐项相乘得:

?

,即

an =

.

三、换元法 例 3 已知数列{ a n }, 其中 a 1 ?
4 3 ,a2 ? 13 9 a , 且当 n≥3 时, n ? a n ?1 ? 1 3 ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ,

求通项公式 a n (1986 年高考文科第八题改编). 解:设 b n ?1 ? a n ? a n ?1 ,原递推式可化为:
b n ?1 ? 1 3 1 b n ? 2 , { b n } 是 一 个 等 比 数 列 , b1 ? a 2 ? a 1 ?
n?2

13 9

?

4 3

?

1 9

,公比为

1 3

.故

b n ?1 ? b1 ? ( ) 3

?

1 1 n?2 1 n 1 n 3 1 1 n ( ) ? ( ) .故 a n ? a n ? 1 ? ( ) .由逐差法可得: n ? a ? ( ) . 9 3 3 3 2 2 3

例 4 已知数列{ a n },其中 a 1 ? 1, a 2 ? 2 ,且当 n≥3 时, a n ? 2 a n ?1 ? a n ? 2 ? 1 ,求通
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Http://www.fhedu.cn 项 公 式 an 。 解 由 a n ? 2 a n ?1 ? a n ? 2 ? 1 得 : ( a n ? a n ?1 ) ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? 1 , 令

b n ?1 ? a n ? a n ?1 ,则上式为 b n ?1 ? b n ? 2 ? 1 ,因此 { b n } 是一个等差数列, b1 ? a 2 ? a 1 ? 1 ,

公差为 1.故 b n ? n .。 由于 b1 ? b 2 ? ? ? b n ?1 ? a 2 ? a 1 ? a 3 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ? a n ? 1 又 b1 ? b 2 ? ? ? b n ?1 ? 所以 a n ? 1 ?
1 2 n ( n ? 1) 2 1 2 (n
2

n ( n ? 1) ,即 a n ?

? n ? 2)

四、积差相消法 例 5 设正数列 a 0 ,a 1 ,a n …,a n , …满足 a n a n ? 2 ? 且 a 0 ? a 1 ? 1 ,求 { a n } 的通项公式. 解 将递推式两边同除以 a n ?1 a n ? 2 整理得:
an a n ?1 ?2 a n ?1 a n?2 ?1

a n ?1 a n ? 2 = 2 a n ? 1

(n ? 2)

设 bn =

an a n ?1

,则 b 1 ?

a1 a0

=1, b n ? 2 b n ?1 ? 1 ,故有 ⑵

b 2 ? 2 b1 ? 1

⑴ b3 ? 2b 2 ? 1 … … (n ?1) + ⑵? 2
n?3





b n ? 2 b n ?1 ? 1

由⑴ ? 2
an a n ?1

n?2

0 +…+( n ? 1 ) 2 得 b n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2

n ?1

= 2 ? 1 ,即
n

=2 ? 1.
n

逐项相乘得: a n = ( 2 ? 1) ? ( 2 ? 1) ? ? ? ( 2 ? 1) ,考虑到 a 0 ? 1 ,
2 2 2 n 2

故 an ? ?

?
2 2

1
2 n 2

(n ? 0) ( n ? 1)

? ( 2 ? 1) ( 2 ? 1) ? ? ? ( 2 ? 1)

.

五、取倒数法 例 6 已知数列{ a n }中,其中 a 1 ? 1, ,且当 n≥2 时,a n ?
a n ?1 2 a n ?1 ? 1

,求通项公式 a n 。

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Http://www.fhedu.cn 解 将an ?
a n ?1 2 a n ?1 ? 1

两边取倒数得:

1 an

?

1 a n ?1

? 2 ,这说明 {

1 an

} 是一个等差数列,

首项是

1 a1

? 1 ,公差为 2,所以

1 an

? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 ,即 a n ?

1 2n ? 1

.

六、取对数法 例 7 若数列{ a n }中, a 1 =3 且 a n ? 1 ? a n (n 是正整数) ,则它的通项公式是 a n =▁▁ ▁(2002 年上海高考题). 解 由题意知 a n >0,将 a n ? 1 ? a n 两边取对数得 lg a n ? 1 ? 2 lg a n ,即
2
2

lg a n ? 1 lg a n
n ?1

? 2 ,所

lg 以数列 {lg a n } 是以 lg a 1 = lg 3 为首项, 公比为 2 的等比数列, a n ? lg a 1 ? 2

? lg 3

2

n ?1



即an ? 3

2

n ?1

.

七、平方(开方)法 例 8 若数列{ a n }中, a 1 =2 且 a n ? 解 将an ?
2

3 ? a n ? 1 (n ? 2 ) ,求它的通项公式是 a n .
2
2 2 2
2

3 ? a n ? 1 两边平方整理得 a n ? a n ? 1 ? 3 。数列{ a n }是以 a 1 =4 为首项,3
2 2

为公差的等差数列。 a n ? a 1 ? ( n ? 1) ? 3 ? 3 n ? 1 。因为 a n >0,所以 a n ?

3n ? 1 。

八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列, 可以少走弯 路.其变换的基本形式如下: 1、 a n ?1 ? Aa n ? B (A、B 为常数)型,可化为 a n ?1 ? ? =A( a n ? ? )的形式.
a 例 9 若数列{ a n }中, 1 =1,S n 是数列{ a n }的前 n 项之和, S n ? 1 ? 且
Sn 3 ? 4S n

(n ? 1 ) ,

求数列{ a n }的通项公式是 a n . 解 递推式 S n ? 1 ?
Sn 3 ? 4S n

可变形为

1 S n ?1

? 3?

1 Sn

?4

(1)

设(1)式可化为

1 S n ?1

? ? ? 3(

1 Sn

? ?)

(2)

比较 (1) 式与 (2) 式的系数可得 ? ? 2 , 则有

1 S n ?1

? 2 ? 3(

1 Sn

? 2) 。 故数列{

1 Sn

? 2}
8

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Http://www.fhedu.cn 是以
1 S1
1 3 ?2
n

? 2 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列。

1 Sn

? 2 =3 ? 3

n ?1

? 3 。所以 S n ?
n

1 3 ?1
n



当 n ? 2 , a n ? S n ? S n ?1 ?

? 3

1
n ?1

?2

? 3

? 2 ?3
2n

n

? 8 ? 3 ? 12
n



数列{ a n }的通项公式是 a n

?1 ? n ? 2 ?3 ? ? ? 3 2 n ? 8 ? 3 n ? 12 ?

( n ? 1) (n ? 2)



a 2、 n ?1 ? Aa n ? B ? C (A、 C 为常数, B、 下同) 可化为 a n ? 1 ? ? ? C 型,
n

n ?1

= A(a n ? ? ? C )
n

的形式. 例 10 在数列{ a n }中, a 1 ? ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 4 ? 3 解:原递推式可化为:
a n ?1 ? ? ? 3
n n ?1

, 求通项公式 a n 。

? 2(a n ? ? ? 3

n ?1

)
n


n ?1

比较系数得 ? =-4,①式即是: a n ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 ( a n ? 4 ? 3 则数列 { a n ? 4 ? 3 ∴an ? 4 ? 3 即an ? 4 ? 3
n ?1
n ?1

).

} 是一个等比数列,其首项 a 1 ? 4 ? 3
n ?1

1?1

? ? 5 ,公比是 2.

? ?5 ? 2 ? 5?2

n ?1

n ?1

.

3、 a n ? 2 ? A ? a n ? 1 ? B ? a n 型,可化为 a n ? 2 ? ? a n ? 1 ? ( A ? ? ) ? ( a n ? 1 ? ? a n ) 的形式。 例 11 在数列{ a n }中,a 1 ? ? 1, a 2 ? 2 ,当 n ? N ,a n ? 2 ? 5 a n ? 1 ? 6 a n ① 公式 a n . 解:①式可化为:
a n ? 2 ? ? a n ? 1 ? ( 5 ? ? )( a n ? 1 ? ? a n )

求通项

比较系数得 ? =-3 或 ? =-2,不妨取 ? =-2.①式可化为:
a n ? 2 ? 2 a n ?1 ? 3 ( a n ?1 ? 2 a n )

则 { a n ? 1 ? 2 a n } 是一个等比数列,首项 a 2 ? 2 a 1 =2-2(-1)=4,公比为 3. ∴ a n ?1 ? 2 a n ? 4 ? 3
n ?1

.利用上题结果有:
9

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an ? 4 ? 3
n ?1

? 5?2

n ?1

.

4、 a n ?1 ? Aa

n

? Bn ? C 型,可化为 a n ? 1 ? ? 1 n ? ? 2 ? A[ a n ? ? 1 ( n ? 1) ? ? 2 ] 的形式。
3 2

例 12 在数列{ a n }中, a 1 ? 解

, 2 a n ? a n ?1 =6 n ? 3

①求通项公式 a n . ②

①式可化为: 2 ( a n ? ? 1 n ? ? 2 ) ? a n ?1 ? ? 1 ( n ? 1) ? ? 2 比较系数可得: ? 1 =-6, ? 2 ? 9 ,② 式为 2 b n ? b n ?1

{b n }

是一个等比数列,首项 b1 ? a 1 ? 6 n ? 9 ?

9 2

,公比为

1 2

.

∴ bn ?

9 1 n ?1 1 n 1 n ( ) 即 an ? 6n ? 9 ? 9 ? ( ) 故 an ? 9 ? ( ) ? 6n ? 9 . 2 2 2 2

九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是:首先利用所给的递推式求出 a1 , a 2 , a 3 , ……,然后猜 想出满足递推式的一个通项公式 a n ,最后用数学归纳法证明猜想是正确的。

求递推数列通项的特征根法与不动点法
一、形如 a n ? 2 形如 a1
? p a n ? 1 ? q a n ( p , q 是常数)的数列

? m 1 , a 2 ? m 2 , a n ? 2 ? p a n ? 1 ? q a n ( p , q 是常数)的二阶递推数列都可用特 ? px ? q
n

征根法求得通项 a n ,其特征方程为 x 2 若①有二异根 ? , ? ,则可令 a n 若①有二重根 ? 再利用 a1
? ?

…①
n

? c1?

? c 2 ? ( c1 , c 2 是待定常数)
n

,则可令 a n

? ( c1 ? n c 2 )? ( c 1 , c 2

是待定常数)

? m 1 , a 2 ? m 2 , 可求得 c1 , c 2 ,进而求得 a n



例 1.已知数列 { a n } 满足 a1 项 an . 解:其特征方程为 x 2

? 2, a 2 ? 3, a n ? 2 ? 3 a n ? 1 ? 2 a n ( n ? N )
*

,求数列 { a n } 的通

? 3x ? 2

,解得 x1

? 1, x 2 ? 2

,令 a n

? c1 ? 1 ? c 2 ? 2
n

n



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? c1 ? 1 ? a 1 ? c1 ? 2 c 2 ? 2 ? 由? ,得 ? 1 ? a 2 ? c1 ? 4 c 2 ? 3 ? c2 ? ? 2



? an ? 1 ? 2

n ?1



例 2.已知数列 { a n } 满足 a1 项 an .

? 1, a 2 ? 2, 4 a n ? 2 ? 4 a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,求数列 { a n } 的通
*

?1? 解:其特征方程为 4 x ? 4 x ? 1 ,解得 x1 ? x 2 ? ,令 a n ? ? c1 ? n c 2 ? ? ? 2 ?2?
2

1

n



1 ? a ? ( c1 ? c 2 ) ? ? 1 ? 1 ? 2 由? ? a ? (c ? 2c ) ? 1 ? 2 1 2 ? 2 ? 4

,得 ?

? c1 ? ? 4 ? c2 ? 6



? an ?

3n ? 2 2
n ?1



二、形如 a n ? 2

?

Aan ? B C an ? D ?

的数列

对于数列 a n ? 2

Aan ? B C an ? D
?

, a1

? m , n ? N ( A, B , C , D
*

是常数且 C

? 0, A D ? B C ? 0 )

其特征方程为 x

Ax ? B Cx ? D

,变形为 C x 2
a n ?1 ? ? a n ?1 ? ?

? ( D ? A) x ? B ? 0

…②

若②有二异根 ? , ? ,则可令
a 1 , a 2 的值可求得 c

? c?

an ? ? an ? ?

(其中 c 是待定常数) ,代入

值. ,公比为 c 的等比数列,于是这样可求得

这样数列 ?
an

? an ? ? ? a1 ? ? ? 是首项为 a1 ? ? ? an ? ? ?

. 若②有二重根 ?
? ?

,则可令

1 a n ?1 ? ?

?

1 an ? ?

? c (其中 c

是待定常数) ,代

入 a 1 , a 2 的值可求得 c 值.

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这样数列 ? 得 an .

?

? ? ? an ? ? ? 1

是首项为

1 an ? ?

,公差为 c 的等差数列,于是这样可求

此方法又称不动点法.
a n ?1 ? 2 2 a n ?1 ? 1

例 3.已知数列 { a n } 满足 a1 解:其特征方程为
a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 ? c? an ? 1 an ? 1

? 2, a n ?

( n ? 2 ) ,求数列 { a n } 的通项 a n

. ,令

x ?

x?2 2x ?1

,化简得

2x ? 2 ? 0
2

,解得

x1 ? 1, x 2 ? ? 1

由 a1
?

? 2, 得 a 2 ?

4 5

,可得 c

? ?

1 3

, 为首项,以
n n

数列 ?
an ? 1 an ? 1

? an ? 1 ? ? ? an ? 1 ? 1 ? 1? ?? ? ? 3 ? 3?

是以
n ?1

a1 ? 1 a1 ? 1

?

1 3

?

1 3

为公比的等比数列,

?

?

,? a n ?

3 ? ( ? 1)
n

3 ? ( ? 1)
n



例 4.已知数列 { a n } 满足 a 1 解:其特征方程为
1 a n ?1 ? 1 2 ? 1 an ? 1 2
3 14 x?

? 2, a n ? 1 ?

2an ? 1 4an ? 6
2

( n ? N ) ,求数列 { a n } 的通项 a n
*

. ,令

2x ?1 4x ? 6

,即

4 x ? 4x ? 1 ?

0 ,

解得

x1 ? x 2 ? ?

1 2

?c

由 a1

? 2, 得 a 2 ?

,求得 c ? 1 ,

?

数列

? ? ? 1 ? ? ? 1 ? an ? ? ? 2?
? 2 5

是以

1 a1 ? 1 2

?

2 5

为首项,以

1

为公差的等差数列,

?

1 an ? 1 2

? ( n ? 1) ? 1 ? n ?

3 5



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? an ? 13 ? 5n 10n ? 6



试题精粹 江苏省 2011 年高考数学联考试题 13. (江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试)在等差数列 ?a n ? 中,S n 表 示其前 n 项,若 S n ?
n m

, Sm ?

m n

( m ? n ) ,则 S n ? m 的取值范围是

▲ . (4, ? ? )

12. (江苏省 2010 届苏北四市第一次联考)已知等差数列 ? a n ? , ? b n ? 的前 n 项和为 S n , T ,若对于任意的自然数 n ,都有
Sn Tn ? 2n ? 3 4n ? 3 ,则 a9 b5 ? b 7 ? a3 b 4 ? b8

n

=





19 41

8. (常州市 2011 届高三数学调研)面积为 S 的 ? ABC 的三边 a , b , c 成等差数列,
4 3 9

? B ? 60 , b ? 4 ,设 ? ABC 外接圆的面积为 S ,则 S : S ?
' '

?

?

10. (常州市 2011 届高三数学调研)若在由正整数构成的无穷数列{an}中,对任意的正整 数 n, 都有 an ≤ an+1, 且对任意的正整数 k, 该数列中恰有 2k–1 个 k, a2008= 则 .45 1 1 a b 7. (姜堰二中学情调查(三) )设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值是 a b ______4 10. (泰州市 2011 届高三第一次模拟考试)数列 ?a n ? 为正项等比数列,若 a 2 ? 1 ,且
a n ? a n ?1 ? 6 a n ?1 ? n ? N , n ? 2 ? ,则此数列的前 4 项和 S 4 ?



15 2
*

10、 (南通市六所省重点高中联考试卷)已知数列 {b n } 满足 b1 ? 1 , b2 ? x ( x ? N ) ,
b n ? 1 ? | b n ? b n ? 1 | ( n ? 2, n ? N ) .
*

若前 100 项中恰好含有 30 项为 0,则 x 的值为



6或7
?1,2 ? 2 a
1 2010
2010

{ 14. (苏北四市 2011 届高三第一次调研考试) 已知数列 { a n } , b n } 满足 a1

b ,1

? 2,

且对任意的正整数 i , j , k , l , i ? j ? k ?l 当 值是 ▲ .2012

时, 都有 a i ? b j ? a k ? bl , 则

?

( a i ? bi )



i ?1

讲评建议:遇到这样一个新问题,学生首先应是先去归纳,找规律,这就是一种数 学意识,解题意识,教学中要注意培养,如什么时候类比,什么时候归纳。 6、 (宿迁市高三 12 月联考)已知公差不为 0 的正项等差数列 { a n } 中, S n 为其前 n 项和,若
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lg a 1 , lg a 2 , lg a 4 也成等差数列, a 5 ? 1 0 ,则 S 5 等于___
2

___;30

1. (无锡市 1 月期末调研) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和 Sn=n —7n, 且满足 16<ak+ak+1<22, 则正整数 k= ▲ .8

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