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几何讲座(一) 线段相等(A)


几何讲座(一)

线段相等(A)
A

第二讲 三角形的基本性质和全等三角形

【知识提要】 △三角形三内角和为 1800,内角等于与它不相邻的两内角和。可以用来确定角的大小和大 小关系。 △三角形两边之和大于第三边,可以用来比较线段大小。 △三角形的中位线平行于第三边, 且等于第三边的一半, 可以用来证明直线

平行和确定线段 的倍分关系。 △全等三角形的对应边相等,对应角相等,可以用来证明线段相等,角相等。全等三角形往 往需要添辅助线构造出来。

1, 如图等边三角形 ABC 中,∠B 和∠C 的平分线交于点 O, 过 O 作 OD//AB,OE//AC,OD 和 OE 分别交 BC 于点 D,E。 求证:BD=DE=EC

O B C

D

E

2, 证明:直角三角形斜边的中点到各顶点的距离相等。

3, 如图 E,F 分别是□ABCD 的边 BC,AD 的中点, 连接 BF,DE,分别交对角线于 M,N。 求证:AM=MN=NC
A

B M F

E N

C

D

4, 过□ABCD 的对称中心 O 作一条直线分别交 AB, CD 于 E,F,交 CB,AD 的延长线于 G,H。 求证:EG=FH。
A

H D F C

O E G B

E

5, 已知△ABC,以 AB,AC 为边向外作正方形 ABDE, ACFG,求证: (1)BG=CE (2)BG⊥CE
D

G A

P B C

F

1

6。如图正方形 ABCD 中,M 是 AB 的中点, MN⊥MD,BN 平分∠CBE,求证:MD=MN。

D

C

N

A

M

B

E

7. 直角梯形中,和底边不垂直的腰的中点到另一腰的两端点的距离相等。

8. ABC 中,AB=3AC,AE 是∠BAC 的平分线交 BC 于 D,过 B 作 BF 交 AE 于 E,交 AC 的延长线于 F, 使 BE=EF。求证:AD=DE。
A C

B

E D F

A

9. 如图 D,E,F 分别在△ABC 的各边上 DE//AF, 且 DE=AF。延长 FD 到 G,使 FG=2DF。 求证:ED,AG 互相平分。

F E B D C

G

10。△ABC 中∠C=Rt∠,高 CD 与角平分线 AE 相交于点 F,试证 CE=CF

B D E F C A A

11。如图△ABC 是等边三角形,且 AD=BE=CF。 证明:△A1B1C1 也是等边三角形。

D

A1 F

B1 B E

C1 C

12。四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行。 证明:另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段。

2

13。自△ABC 的边 AB,AC 向外作正三角形 ABD,ACE, D P,M,Q 分别为 BD,BC,CE 的中点。 求证:MP=MQ
A P

E

Q

B

M

C

线段相等(B)
1, 在梯形 ABCD 中,一直线平行两底,且顺次交 AD, DB,AC,BC 于 E,F,G,H,求证:EF=GH
D A E F G B H C

2, 在四边形 ABCD 中,AC=BD,AC 与 BD 交于 E,M。N 分别 是 BC,AD 的中点,MN 交 AC 于 F,交 BD 于 G。 求证:EF=GE

A E N D A G F

B

M

C

3.已知:BD,CE 是△ABC 的两条高,从 BC 的中点 F 作 DE 的垂线 FG。求证:DG=GE。

E

G

D

B C

F

C

4。在 Rt△ABC 中,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,P 是 DC 上一点,PE 垂直 AB 于 E,PF 垂直 AC 于 F。 求证;DE=DF

F

P D

A

E

B

D

5.在锐角△ABC 的 AB,BC 上,向形外分别 作正方形 ABDE,BCFG,求证:这两个正 方形的中心到第三边的中点的距离相等。
E

G B M N F C

3

A

P A

6.等腰△ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,在 AC 的延长线 上截取 CE=BD,DE 交 BC 于 F,求证:DF=EF
B

D C E

F S

7.梯形 ABCD 中,AD//BC,BA 和 CD 的延长线交于 S, AC 和 BD 交于 Q 点,连直线 SQ,分别交 AD 于 E, BC 于 F,求证:AE=DE ,BF=CF
B

A

E Q

D

F F M

C

8.以△ABC 的边 AB,AC 为边,向外作正方形 ABEF, ACGH,AD⊥BC 于 D,DA 的延长线交 FH 于点 M。 求证:FM=MH

E A B

H G

D A

C

9.△ABD 和△ACE 都是直角三角形,且∠ABD=∠ACE=90°, 连接 DE,M 为 DE 中点。求证:MB=MC。

C M D B G

E

10。△ABC 中 AC >AB,D 是 AC 上一点,CD=AB,E,F 分别是 BC,AC 上的点,且 BE=EC,AF=FD,直线 EF 与直线 AB 交于 G。 求证:AG=AF

A F D C C

B D F

E

11。在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD 上, 且∠EAF=45°,AK⊥EF 于 K。 求证:AK=AB

K E A B

12.以正方形 ABCD 的顶点 A 为圆心,AC 为半径画弧, 与过 B 点且与 AC 平行的直线 BP 交于 P,AP 与 BC 交于 E。求证:CE=CP

D

C

E

P

A

B

4

E

13.正三角形 ABC 的边长为 a,在 BC 的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA 的延长线上取一点 E,使 AE=a+b, 求证:EC=ED。
A

B

C

D

几何讲座(二)

线段的和差(A)A
E P C

1.证明:等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为一定值。

F

2.证明:等边三角形内的任一点到三边的垂线段之和为一定值。

B

C

3.如图,从平行四边形的 A,B,C,D 向形外的任意直线 L 作垂线 AA1、BB1、CC1、DD1 垂足为 A1、B1、C1、D1 求证:AA1 + CC1 = BB1 + DD1
A

D B

A1 D1

B1 C1 E

L

4.如图:已知∠BAC=90°AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE。 求证:DE = BD + CE

D

A

B

C

K

5。如图,以直角△ABC 的两条直角边向形外作正方形 BCED, ACFH,并且从 D,H 向斜边的延长线作垂线 DK,HM 分别交 斜边的延长线于 K,M,求证: (1)△ABC 可以分成两个三 角形,这两个三角形分别全等于△BKD,△AHM, (2)DK + HM = AB

D

B

E

C

A M

F C

H

6。已知:AB 是等腰直角三角形 ABC 的斜边,AD 是∠A 的平分线。 求证:AC + CD = AB

D

5

A

B

A

7. △ABC 中,BM、CN 分别是∠B、∠C 的外角平分线, 且 AM⊥BM,AN⊥CN,则 MN 等于△ABC 的周长之半。

M

N

B

C

线段的和差

(B)
G

A

1. 过△ABC 的重心 G 作一直线,则在同侧的两顶点 B,C 与直 线的距离之和等于第三个顶点 A 与直线的距离。
E F C A D D B

2. 如图 E 是正方形 ABCD 中 CD 的中点,∠BAF=2∠EAD。 求证:AF = BC + CF

E F B C A

3. 在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,∠B=2∠C。求证:AB+BD=CD

B

D A F D

C

4. 如图,E 为正方形 ABCD 的边 CD 上任意点,连 BE, BF 平分∠ABE,交 AD 于 F.求证:AF + CE = BE

E B C

5. P 是正三角形 ABC 的外接圆的 BC 弧上任一点,求证:PA = PB + PC

6。△ABC 中,AB=AC,∠A=100°,∠B 的平分线交 AC 于 D,求证:AD + BD = BC

6

7.已知 P 为线段 AB 的中点,过 A,P,B 三点向任意直线作平行线,AE//PQ//BF,分别交直 B 线于 E,Q,F 求证:BF+AE=2PQ,或 BF-AE=2PQ B
P A E Q E Q F A F P

8.已知:P 为正△ABC 内任意一点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,D,E,F 为垂足. 求证:AD+BE+CF 为定值。
D P B E

A F

C

几何讲座(三)

线段的倍分(A)
E B

A

1. 如图:等腰△ABC 中,延长一腰 AB 到 D,使 BD=BA, 取 AB 中点 E,连 CE。求证:CD=2CE

C

D

2。梯形的两对角线的中点连线,必平行于底边,并等于两底边差的一半。

3. 求证三角形的三条中线必交于一点, 这点和各边中点的距离等于这边上中线的三分之一。

4.如图:在△ABC 中,CD=

1 BC,连接 AD,延长 DA 使 DA=AE。 3
B

E A D F C

连接 CE,并延长 BA 交 CE 于 F,

CF 3 ? 求证:AB ? 5 AF 已知 EF 2,

A

5。△ABC 中,E 为 BC 边上中线 AD 的中点,连 BE 交 AC 于 F。

1 求证: AF ? FC 2

F E B D C

A

6. 如图。D 为 BC 上的点, CD ? 1 ,连接 AD,E 为 AD 的中点,
BC 3

F E B D C

作射线 CE 交 AB 于 F,若 AF ? 1 ,S△CED=1,S△AFE 是多少?
BF 3

7

F

K

7.如图,在△ABC 的 AB,AC 边上向形外作正方形 ABEF, ACGH,作 BC 边上的高线 AD,并延长 DA 交 FH 于 K.

H G

E A

1 求证:FK = KH ; AK = BC 2

B

D

C

线段的倍分(B)
1.如图:△ABC 中,D 为 AB 中点,在 AC 上取 ,CD 和 BE 交 O, AE ? 2 3 AC 求证: OE ? 1 4 BE
B D

A

O

E C

A

2.△ABC 中,AB=AC,D,E 分别在 AB, AC 上,且
AB AC 4 DE ? 3, ? , AD AE 3

D F

交高 AH 于 F,求

AH AF

的值,

E B H C

A

3.在△ABC 中,延长 BC 到 D,使 CD=2BC,E 在 AC 上, 且 AE=2EC,DE 的延长线交 AB 于 F. 求证: DE
? 7 EF 2
B A C F E D

4.△ABC 中,∠B 是锐角,且∠B=2∠C,AD 是 BC 边上的 高,E 是 BC 的中点.求证:AB=2DE.
B C H G

D F

5.如图,在△ABC 外作正方形 ABEF,ACGH, M 是 BC 的中点,求证:FH=2MA

E A B

M

C

8

A

6.如图:正方形 ABCD 的对角线的交点为 E,BH 平分∠DBC, AG⊥BH 交 BD 于 F,BC 于 G,求证:CG=2EF
E

D

H F B

G

C

9


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