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【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.3三角函数的图象与性质教师用书 理 苏教版


§4.3

三角函数的图象与性质

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 π 3π 正弦函数 y=sin x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,0),( ,1),(π ,0),( , 2 2 -1),(2π ,0). π 余弦函数 y=cos x,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:(0,1),( ,0),(π ,-1

), 2 ( 3π ,0),(2π ,1). 2

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图象

定义域

R

R

π {x|x∈R 且 x≠ + 2

kπ ,k∈Z}
值域 [-1,1] π π [- +2kπ , + 2 2 单调性 [-1,1] [-π +2kπ , π π (- +kπ , + 2 2 R

2kπ ](k∈Z)上递增; 2kπ ](k∈Z)上递增; [ π 3π +2kπ , + 2 2 [2kπ ,π + 2kπ ](k∈Z)上递减

kπ )(k∈Z)上递增

2kπ ](k∈Z)上递减

x= +2kπ (k∈Z)
最值 时,ymax=1; π x=- + 2

π 2

x=2kπ (k∈Z)时, ymax=1; x=π +2kπ (k∈Z)
时,ymin=-1

1

2kπ (k∈Z)时,ymin= -1 奇偶性 对称 中心 对称轴 方程 周期 奇函数 ( 偶函数 π +kπ ,0) 2 (k∈Z) 奇函数

(kπ ,0)(k∈Z)

(


2

,0)(k∈Z)

x= +kπ
(k∈Z) 2π

π 2

x=kπ (k∈Z)
2π π

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)常函数 f(x)=a 是周期函数,它没有最小正周期.( √ π (2)y=sin x 在 x∈[0, ]上是增函数.( √ ) 2 (3)y=cos x 在第一、二象限上是减函数.( ? ) (4)y=tan x 在整个定义域上是增函数.( ? ) (5)y=ksin x+1(x∈R),则 ymax=k+1.( ? ) (6)若 sin x> 2 π ,则 x> .( ? ) 2 4 )

π 1.(2014?陕西改编)函数 f(x)=cos(2x- )的最小正周期是________. 6 答案 π 2π 2π 解析 最小正周期为 T= = =π . ω 2

? π? ?π π ? 2.若函数 f(x)=sin ω x (ω >0)在区间?0, ?上单调递增,在区间? , ?上单调递减, 3? ? ?3 2?
则 ω =________. 答案 3 2

解析 ∵f(x)=sin ω x(ω >0)过原点, π π ∴当 0≤ω x≤ ,即 0≤x≤ 时,y=sin ω x 是增函数; 2 2ω
2

π 3π π 3π 当 ≤ω x≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ω x 是减函数. 2 2 2ω 2ω

? π? 由 f(x)=sin ω x (ω >0)在?0, ?上单调递增, 3? ?
在?

?π ,π ?上单调递减知, π =π ,∴ω =3. ? 2ω 3 2 ?3 2?

3.(2013?湖北改编)将函数 y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图象向左平移 m(m>0)个单位长 度后,所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是________. 答案 π 6

π π 解析 y= 3cos x+sin x=2sin(x+ )向左平移 m 个单位长度后得到 y=2sin(x+ +m), 3 3 它关于 y 轴对称可得 π sin( +m)=±1, 3 π π ∴ +m=kπ + ,k∈Z, 3 2 π ∴m=kπ + ,k∈Z, 6 π ∵m>0,∴m 的最小值为 . 6 4.函数 y=lg sin 2x+ 9-x 的定义域为________________. π π 答案 {x|-3≤x<- 或 0<x< } 2 2
?sin 2x>0, ? 解析 由? 2 ?9-x ≥0, ? ? ?2kπ <2x<2kπ +π ,k∈Z, 得? ?-3≤x≤3. ?
2

π π ∴-3≤x<- 或 0<x< . 2 2 ∴函数 y=lg sin 2x+ 9-x 的定义域为 π π {x|-3≤x<- 或 0<x< }. 2 2
2

题型一 求三角函数的定义域和值域
3

例 1 (1)函数 y=2sin?

?π x-π ?(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________. 3? ? 6 ?

1 (2)函数 y= 的定义域为_____________________. tan x-1 答案 (1)2- 3 π π (2){x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ ,k∈Z} 4 2

解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值. π π π 7π ∵0≤x≤9,∴- ≤ x- ≤ , 3 6 3 6 π? ? 3 ? ?π ∴sin? x- ?∈?- ,1?. 3? ? 2 ?6 ? ∴y∈[- 3,2],∴ymax+ymin=2- 3. tan x-1≠0, ? ? (2)要使函数有意义,必须有? π x≠ +kπ ,k∈Z, ? 2 ? π ? ?x≠ 4 +kπ ,k∈Z, 即? π ? ?x≠ 2 +kπ ,k∈Z. π π 故函数的定义域为{x|x≠ +kπ 且 x≠ +kπ ,k∈Z}. 4 2 思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式, 常借助三角函数线或三角 函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+k 的三角函数化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式,再求最值(值 域); ②形如 y=asin x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值 域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x±cos x,化为 关于 t 的二次函数求值域(最值). (1)函数 y= sin x-cos x的定义域是________. π? ? ? π? (2)(2013?天津改编)函数 f(x)=sin?2x- ?在区间?0, ?上的最小值为________. 4? 2? ? ? π 5 2 答案 (1){x|2kπ + ≤x≤2kπ + π ,k∈Z} (2)- 4 4 2 解析 (1)要使函数有意义,必须有 sin x-cos x≥0,
4
2

即 sin x≥cos x,同一坐标系中作出 y=sin x,y=cos x,x∈[0,2π ]的图象如图所示.

结合图象及正、余弦函数的周期是 2π 知, π 5π 函数的定义域为{x|2kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z}. 4 4 π? π π 3π π ? π? ? (2)∵x∈ ?0, ? ,∴- ≤2x - ≤ ,令 y = 2x - ,则 sin ?2x- ? = sin y 在 2? 4? 4 4 4 4 ? ?

? y∈?- , ?
π 4

3π ? 2 ? π? 上的最小值为 sin?- ?=- . 4 ? 2 ? ? 4?

题型二 三角函数的单调性、周期性 例 2 写出下列函数的单调区间及周期: π? ? (1)y=sin?-2x+ ?;(2)y=|tan x|. 3? ? π? ? 解 (1)y=-sin?2x- ?, 3? ? π? ? 它的增区间是 y=sin?2x- ?的减区间, 3? ? π? ? 它的减区间是 y=sin?2x- ?的增区间. 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 π π 3π 由 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z. 12 12 π 5π ? ? 故所给函数的减区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z; 12 12 ? ? 5π 11π ? ? 增区间为?kπ + ,kπ + ,k∈Z. 12 12 ? ? ? 2π 最小正周期 T= =π . 2 π? π ? ? ? (2)观察图象可知,y=|tan x|的增区间是?kπ ,kπ + ?,k∈Z,减区间是?kπ - ,kπ ?, 2? 2 ? ? ?

5

k∈Z.
最小正周期 T=π .

思维升华 (1)求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 ω >0)的单调区间时, 要 视“ω x+φ ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果 ω <0,那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则, 将解析式先化简, 并注意复合函数单调性规律“同 增异减”. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图象,结合图象判定. π? ?π ? ? (2014?北京)求函数 y=sin? +4x?+cos?4x- ?的周期、单调区间及最大、 6? ?3 ? ? 最小值. 解 ∵?

?π +4x?+?π -4x?=π , ? ?6 ? 2 ?3 ? ? ?

π? ? ?π ? ∴cos?4x- ?=cos? -4x? 6? ? ?6 ?

?π ?π ?? ?π ? =cos? -? +4x??=sin? +4x?. 3 3 2 ? ?? ? ? ?
π? 2π π ? ∴y=2sin?4x+ ?,周期 T= = . 3? 4 2 ? π π π 当- +2kπ ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递增, 2 3 2

? 5π kπ π kπ ? ∴函数的递增区间为?- + , + ? (k∈Z). 2 24 2 ? ? 24
π π 3π 当 +2kπ ≤4x+ ≤ +2kπ (k∈Z)时,函数单调递减, 2 3 2 ∴函数的递减区间为?

?π +kπ ,7π +kπ ?(k∈Z). ? 24 2 ? ?24 2

π kπ 当 x= + (k∈Z)时,ymax=2; 24 2 5π kπ 当 x=- + (k∈Z)时,ymin=-2. 24 2 题型三 三角函数的奇偶性和对称性

6

π? ? 例 3 (1)已知 f(x)=sin x+ 3cos x(x∈R),函数 y=f(x+φ ) ?|φ |≤ ?的图象关于直 2? ? 线 x=0 对称,则 φ 的值为________. (2) 如果函数 y = 3cos(2x + φ ) 的图象关于点 ? ________. π 答案 (1) 6 π (2) 6

?4π ,0? 中心对称,那么 |φ | 的最小值为 ? ? 3 ?

? π? 解析 (1)f(x)=2sin?x+ ?, 3? ? ? ? y=f(x+φ )=2sin?x+ +φ ?图象关于 x=0 对称, 3
π

?

?

即 f(x+φ )为偶函数. π π π ∴ +φ = +kπ ,k∈Z,即 φ =kπ + ,k∈Z, 3 2 6 π π 又∵|φ |≤ ,∴φ = . 2 6

? 4π ? ? 2π ? (2)由题意得 3cos?2? +φ ?=3cos? +φ +2π ? 3 ? ? ? 3 ?
=3cos?

?2π +φ ?=0,∴2π +φ =kπ +π ,k∈Z, ? 3 2 ? 3 ?

π π ∴φ =kπ - ,k∈Z,取 k=0,得|φ |的最小值为 . 6 6 思维升华 若 f(x)=Asin(ω x+φ )为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取得最大值或最小值. 若 f(x)=Asin(ω x+φ )为奇函数,则当 x=0 时,f(x)=0. π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ω x+φ = +kπ (k∈Z),求 x. 2 如果求 f(x)的对称中心的横坐标,只需令 ω x+φ =kπ (k∈Z)即可. (1)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 1,则它的图象的对称 中心为________. π π (2)设函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,φ ∈(- , ))的最小正周期为 π ,且其图象关于直线 2 2

x= 对称,则在下面四个结论:①图象关于点( ,0)对称;②图象关于点( ,0)对称;③
π π 在[0, ]上是增函数;④在[- ,0]上是增函数中,所有正确结论的编号为________. 6 6

π 12

π 4

π 3

k π 答案 (1)( - ,0)(k∈Z) (2)②④ 2 8
7

π 解析 (1)由条件得 f(x)= 2sin(ax+ ), 4 2π 又函数的最小正周期为 1,故 =1,∴a=2π ,

a

π 故 f(x)= 2sin(2π x+ ). 4 π 则 2π x+ =kπ ,k∈Z, 4

k π x= - ,k∈Z.
2 8

k π ∴函数 f(x)图象的对称中心为( - ,0)(k∈Z). 2 8
(2)∵T=π ,∴ω =2. π π π 又 2? +φ =kπ + (k∈Z),∴φ =kπ + (k∈Z). 12 2 3 π π π π ∵φ ∈(- , ),∴φ = ,∴y=sin(2x+ ), 2 2 3 3 由图象及性质可知②④正确.

三角函数的单调性、对称性、周期性 π π 典例:(1)已知 ω >0,函数 f(x)=sin(ω x+ )在( ,π )上单调递减,则 ω 的取值范围是 4 2 ________. π π (2)已知函数 f(x)=2cos(ω x+φ )+b 对任意实数 x 有 f(x+ )=f(-x)成立, 且 f( )=1, 4 8 则实数 b 的值为________. (3)(2014?北京)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A,ω ,φ 是常数,A>0,ω >0).若 f(x)在

?π π ? ?π ? ?2π ? ?π ? 则 f(x)的最小正周期为________. 区间? , ?上具有单调性, 且 f? ?=f? ?=-f? ?, ?6 2? ?2? ? 3 ? ?6?
π π 思维点拨 (1)( , π )为函数 f(x)某个单调减区间的子集; (2)由 f(x+ )=f(-x)可得函 2 4 数的对称轴, 应用函数在对称轴处的性质求解即可; (3)利用正弦型函数图象的对称性求周期. π π π π π 解析 (1)由 <x<π 得 ω + <ω x+ <π ω + , 2 2 4 4 4 π π π π 3π 由题意知( ω + ,π ω + )? [ , ], 2 4 4 2 2

8

π π π ω+ ≥ , ? ?2 4 2 ∴? π 3π π ω+ ≤ , ? ? 4 2

1 5 ∴ ≤ω ≤ . 2 4

π π (2)由 f(x+ )=f(-x)可知函数 f(x)=2cos(ω x+φ )+b 关于直线 x= 对称, 又函数 f(x) 4 8 在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1 或 b=3.

?π π ? (3)∵f(x)在? , ?上具有单调性, ?6 2?
T π π ∴ ≥ - , 2 2 6
2π ∴T ≥ . 3

? π ? ? 2π ? ∵f? ?=f? ?, ?2? ? 3 ?
π 2π + 2 3 7π ∴f(x)的一条对称轴为 x= = . 2 12

?π ? ?π ? 又∵f? ?=-f? ?, ?2? ?6?
π π + 2 6 π ∴f(x)的一个对称中心的横坐标为 = . 2 3 1 7π π π ∴ T= - = ,∴T=π . 4 12 3 4 1 5 答案 (1)[ , ] 2 4 (2)-1 或 3 (3)π

温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 ω 的范围的问题:首先,明确 已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用 它们之间的关系可求解. (2)函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的图象与其对称轴的交点是最值点.

方法与技巧 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的形式. 2π 2. 函数 y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 , y=tan(ω x+φ )的最 |ω |
9

π 小正周期为 . |ω | 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 t=ω x +φ ,将其转化为研究 y=sin t 的性质. 失误与防范 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨 论参数对最值的影响. 2.要注意求函数 y=Asin(ω x+φ )的单调区间时 ω 的符号,尽量化成 ω >0 时的情况. 3. 三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得, 直接将两个端点处的函数值作为最值 是错误的.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) π 1.下列函数中,周期为 π 且在[0, ]上是减函数的是________.(填序号) 2 π ①y=sin(x+ ); 4 ③y=sin 2x; 答案 ④ 解析 对于函数 y=cos 2x,T=π , π 当 x∈[0, ]时,2x∈[0,π ],y=cos 2x 是减函数. 2 2.已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ )(|φ |<π ),若 f( ________. 3π π 答案 [kπ - ,kπ + ](k∈Z) 8 8 π 解析 由 f( )=-2 得 8 π )=-2,则 f(x)的单调递减区间是 8 π ②y=cos(x+ ); 4 ④y=cos 2x.

f( )=-2sin(2? +φ )
π =-2sin( +φ )=-2, 4 π 所以 sin( +φ )=1. 4
10

π 8

π 8

π 因为|φ |<π ,所以 φ = . 4 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以 f(x)的单调递减区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z). 8 8 3 .将函数 f(x) = sin ω x( 其中 ω >0) 的图象向右平移 π 个单位长度,所得图象经过点 4

?3π ,0?,则 ω 的最小值是________. ? 4 ? ? ?
答案 2 解析 根据题意平移后函数的解析式为

y=sin ω ?x- ?, 4

? ?

π?

?

将?

?3π ,0?代入得 sin ω π =0,则 ω =2k,k∈Z,且 ω >0, ? 2 ? 4 ?

故 ω 的最小值为 2. 4.给出下列四个命题,其中不正确的命题为______.(填序号) ①若 cos α =cos β ,则 α -β =2kπ ,k∈Z; π? π ? ②函数 y=2cos?2x+ ?的图象关于 x= 中心对称; 3 12 ? ? ③函数 y=cos(sin x)(x∈R)为偶函数; ④函数 y=sin|x|是周期函数,且周期为 2π . 答案 ①④ π? π ? 解析 命题①:若 α =-β ,则 cos α =cos β ,假命题;命题②:x= ,cos?2x+ ?= 3? 12 ? cos π? π π ? =0,故 x= 是 y=2cos?2x+ ?的对称中心;命题④:函数 y=sin|x|不是周期函 3? 2 12 ?

数. 5.函数 y=cos 2x+sin x,x∈R 的值域是________. 答案 [0,1] 1-cos 2x 1+cos 2x 2 解析 y=cos 2x+sin x=cos 2x+ = . 2 2 ∵cos 2x∈[-1,1],∴y∈[0,1]. π 6.函数 y=cos( -2x)的单调减区间为________. 4
11
2

π 5π 答案 [kπ + ,kπ + ](k∈Z) 8 8 π π 解析 由 y=cos( -2x)=cos(2x- )得 4 4 π 2kπ ≤2x- ≤2kπ +π (k∈Z), 4 π 5π 故 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 π 5π 所以函数的单调减区间为[kπ + ,kπ + ](k∈Z). 8 8 7 .设函数 f(x) = 3sin( π π x + ) ,若存在这样的实数 x1 , x2 ,对任意的 x∈R ,都有 2 4

f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为________.
答案 2 π π 2 解析 f(x)=3sin( x+ )的周期 T=2π ? =4, 2 4 π

f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值和最大值,
故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 π 8.已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x)的部分图 2 π 象如图,则 f( )=________. 24 答案 3

T

3π π π π 解析 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于 - = ,即最小正周期为 , 8 8 4 2 3π 所以 ω =2.由题意可知,图象过定点( ,0), 8 3π 所以 0=Atan(2? +φ ), 8 即 3π +φ =kπ (k∈Z), 4

3π 所以 φ =kπ - (k∈Z), 4 π π 又|φ |< ,所以 φ = . 2 4 又图象过定点(0,1),所以 A=1. 综上可知,f(x)=tan(2x+ π ), 4
12

π π π π 故有 f( )=tan(2? + )=tan = 3. 24 24 4 3 9.设函数 f(x)=sin(2x+φ (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π π 解 (1)令 2? +φ =kπ + ,k∈Z, 8 2 π ∴φ =kπ + ,k∈Z, 4 3π 又-π <φ <0,则 φ =- . 4 3π ? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- ?, 4 ? ? π 3π π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 8 8 因此 y=f(x)的单调增区间为?

)

π (-π <φ <0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8

?π +kπ ,5π +kπ ?,k∈Z. ? 8 ?8 ?

πx π 2π x 10.设函数 f(x)=sin( - )-2cos +1. 4 6 8 (1)求 f(x)的最小正周期. 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0, ]时,y=g(x)的最 3 大值. 解 (1)f(x)=sin = πx π πx π πx cos -cos sin -cos 4 6 4 6 4

3 πx 3 πx πx π sin - cos = 3sin( - ), 2 4 2 4 4 3 2π =8. π 4

故 f(x)的最小正周期为 T=

(2)方法一 在 y=g(x)的图象上任取一点(x,g(x)), 它关于 x=1 的对称点(2-x,g(x)). 由题设条件,知点(2-x,g(x))在 y=f(x)的图象上, π π 从而 g(x)=f(2-x)= 3sin[ (2-x)- ] 4 3

13

π πx π πx π = 3sin[ - - ]= 3cos( + ). 2 4 3 4 3 4 π π x π 2π 当 0≤x≤ 时, ≤ + ≤ , 3 3 4 3 3 4 因此 y=g(x)在区间[0, ]上的最大值为 3

g(x)max= 3cos

π 3 = . 3 2

4 2 方法二 区间[0, ]关于 x=1 的对称区间为[ ,2], 3 3 且 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 4 故 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 3

y=f(x)在[ ,2]上的最大值.
πx π 由(1)知 f(x)= 3sin( - ), 4 3 2 π πx π π 当 ≤x≤2 时,- ≤ - ≤ . 3 6 4 3 6 4 因此 y=g(x)在[0, ]上的最大值为 3

2 3

g(x)max= 3sin

π 3 = . 6 2 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟)

π π 2π 1.函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0 且|φ |< )在区间[ , ]上单调递减,且函数值从 1 减小 2 6 3 到-1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为________. 答案 1 2

π 2π 解析 函数 y=sin(ω x+φ )的最大值为 1,最小值为-1,由该函数在区间[ , ]上单调 6 3 2π π π 2π 2π 递减,且函数值从 1 减小到-1,可知 - = 为半周期,则周期为 π ,ω = = = 3 6 2 T π 2,此时原函数式为 y=sin(2x+φ ),又由函数 y=sin(ω x+φ )的图象过点( π π π 1 |φ |< .代入可得 φ = ,因此函数为 y=sin(2x+ ),令 x=0,可得 y= . 2 6 6 2 π ,1),且 6

14

2.已知函数 f(x)=2msin x-ncos x,直线 x= ________. 2 3 答案 - 3 π 解析 由 x= 是函数 f(x)图象的对称轴易得 3

π n 是函数 f(x)图象的一条对称轴,则 = 3 m

f(0)=f(

2π ), 3

2π 2π ∴-n=2msin -ncos , 3 3 ∴-n= 3m+ , 2 3 ∴ 3m=- n, 2

n

n 2 3 ∴ =- . m 3
π 3.函数 y=tan(2x+ )的图象与 x 轴交点的坐标是__________________________. 4 答案 (


2



π ,0)(k∈Z) 8

π 解析 由 2x+ =kπ (k∈Z)得, 4

kπ π x= - (k∈Z).
2 8 π kπ π ∴函数 y=tan(2x+ )的图象与 x 轴交点的坐标是( - ,0)(k∈Z). 4 2 8 4.给出下列命题: π 5π ①函数 f(x)=4cos(2x+ )的一个对称中心为(- ,0); 3 12 ②已知函数 f(x)=min{sin x,cos x},则 f(x)的值域为[-1, ③若 α 、β 均为第一象限角,且 α >β ,则 sin α >sin β . 其中所有真命题的序号是________. 答案 ①② 5 π 5 π π 5 5 解析 对于①,令 x=- π ,则 2x+ =- π + =- ,有 f(- π )=0,因此(- 12 3 6 3 2 12 12 2 ]; 2

15

π ,0)为 f(x)的一个对称中心,①为真命题;对于②,结合图象知 f(x)的值域为[-1,

2 ], 2

1 ②为真命题;对于③,令 α =390°,β =60°,有 390°>60°,但 sin 390°= <sin 60° 2 = 3 ,故③为假命题,所以真命题为①②. 2

π? ? ? π? 5.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b,当 x∈?0, ?时,-5≤f(x)≤1. 6? 2? ? ? (1)求常数 a,b 的值;

? π? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ? π 7π ? ? π? 解 (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 2 6 ? 6 ?6 ? ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a]. 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? ? (2)由(1)得,f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ?

g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 2? 6 ? ? ?
π? ? =4sin?2x+ ?-1, 6? ? 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ? ∴4sin?2x+ ?-1>1,∴sin?2x+ ?> , 6 6? 2 ? ? ? π π 5π ∴2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 π π π 其中当 2kπ + <2x+ ≤2kπ + ,k∈Z 时, 6 6 2

?

π?

?

7π ?

g(x)单调递增,即 kπ <x≤kπ + ,k∈Z,
π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 6? ? π π 5π 又∵当 2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z 时, 2 6 6

π 6

16

g(x)单调递减,即 kπ + <x<kπ + ,k∈Z.
π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ?

π 6

π 3

17


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