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云南省保山市腾冲四中2014-2015学年高二下学期期中数学试卷 (Word版


云南省保山市腾冲四中 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷
一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},集合 B={3,4},则(?UA)∩B= () A.{3} B.{4} C.{3,4} D.{2,3,4} 2. (5 分)设 x∈R,则“x =x“是“x=1“的() A.充

分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3

3. (5 分)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k= () A.﹣ B. 0 C. 3 D.

4. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10=() A.1 B. 9 C.10 D.55 5. (5 分)某几何体的正视图与俯视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体的 侧视图可以是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)阅读下面的程序框图,则输出的 S=()

版权所有:中华资源库 www.ziyuanku.com

A.14

B.20

C.30

D.55

7. (5 分)下列函数在(0,+∞)上为减函数的是() x A.y=﹣|x﹣1| B.y=e C.y=ln(x+1)
2

D.y=﹣x(x+2)

8. (5 分)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则() A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1

9. (5 分)已知等边三角形 ABC 的边长为 1,则 A. B. ﹣ C.

?

=() D.

10. (5 分)已知实数 x,y 满足不等式组 A.3 B. 3
2 2 2

,则 x+2y 的最大值为() C. 4 ab,则∠C=() C.150°
2 2

D.5

11. (5 分)在△ ABC 中,已知 a +b =c ﹣ A.30° B.45°

D.135°

12. (5 分)直线 4x+3y﹣5=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =9 相交于 A、B 两点,则 AB 的长 度等于() A.1 B. C. 2 D.4

二、填空题(本题每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知回归直线斜率的估计值为 2,样本点的中心为点(4,5) ,则回归直线的方 程为.
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14. (5 分)已知双曲线

的渐近线方程为

,则 m=.

15. (5 分)要得到 y=sin x 的图象,只须将函数 y=sin( 单位.

)的图象向左最少平移个

16. (5 分)观察下列等式:1 =1,1 ﹣2 =﹣3,1 ﹣2 +3 =6,1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10,…由以 * 2 2 2 2 n+1 2 上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N ,1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1) n =.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

三、解答题(本题共 70 分) 17. (10 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边. (1)求证: = ;

(2)已知 b=3,c=1,A=2B,求 a 的值. 18. (12 分)等差数列{an}中,a1=﹣1,公差 d≠0 且 a2,a3,a6 成等比数列,前 n 项的和为 Sn . (1)求 an 及 Sn; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn.

19. (12 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰 直角三角形,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点. (1)求证:AF⊥EF; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值.

20. (12 分)为了估计某校的某次数学期末考试情况,现从该校参加考试的 600 名学生中随 机抽出 60 名学生,其成绩(百分制)均在[40,100]上.将这些成绩分成六段[40,50) ,[50, 60) ,…,[90,100]后得到如如图所示部分频率分布直方图. (Ⅰ)求抽出的 60 名学生中分数在[70,80)内的人数;
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(Ⅱ)若规定成绩不小于 85 分为优秀,则根据频 率分布直方图,估计该校的优秀人数.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2

,且过点 A( , ) .

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知 l:y=kx﹣1,是否存在 k 使得点 A 关于 l 的对称点 B(不同于点 A)在椭圆 C 上?若存在求出此时直线 l 的方程,若不存在说明理由. 22. (12 分)已知函数 f(x)= 的切线过点(3,0) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)与函数 g(x)=a+2﹣x﹣ 的图象在(0,2]有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围. (其中 a≤2 且 a≠0) ,函数 f(x)在点(1,f(1) )处

云南省保山市腾冲四中 2014-2015 学年高二下学期期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本题每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5},集合 B={3,4},则(?UA)∩B= () A.{3} B.{4} C.{3,4} D.{2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合.
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分析: 先解出 A 的补集,再求出结果即可 解答: 解:因为全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,5}, 所以 CUA={2,4}, 又因为集合 B={3,4},所以(?UA)∩B={4}, 故选 B. 点评: 本题主要考查集合的运算,属于基础题. 2. (5 分)设 x∈R,则“x =x“是“x=1“的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 结合充分必要条件的定义,分别进行判断即可. 3 解答: 解:由 x =x?x=0,±1,不是充分条件, 3 由 x=1?x =x,是必要条件, 故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,是一道基础题.
3

3. (5 分)已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k= () A.﹣ B. 0 C. 3 D.

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两个向量的坐标, 写出两个向量的数乘与和的运算结果, 根据两个向量的垂直 关系,写出两个向量的数量积等于 0,得到关于 k 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵ =(k,3) , =(1,4) , =(2,1) ∴2 ﹣3 =(2k﹣3,﹣6) , ∵(2 ﹣3 )⊥ , ∴(2 ﹣3 )? =0' ∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0, 解得,k=3. 故选:C. 点评: 本题考查数量积的坐标表达式,是一个基础题,题目主要考查数量积的坐标形式, 注意数字的运算不要出错. 4. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,那么 a10=()
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A.1

B. 9

C.10

D.55

考点: 等比数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,用赋值法,令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1,进而由 数列的前 n 项和的性质,可得答案. 解答: 解:根据题意,在 sn+sm=sn+m 中, 令 n=1,m=9 可得:s1+s9=s10,即 s10﹣s9=s1=a1=1, 根据数列的性质,有 a10=s10﹣s9,即 a10=1, 故选 A. 点评: 本题考查数列的前 n 项和的性质,对于本题,赋值法是比较简单、直接的方法. 5. (5 分)某几何体的正视图与俯视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体的 侧视图可以是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 不妨令该几何体是一个柱体, 由主视图与左视图都是边长为 1 的正方形, 可得底面 积为 ,进而得到答案. 解答: 解:∵某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形, 故几何体的高为 1, 若该几何为柱体,由体积为 ,可得底面积为 , 此时该几何体的侧视图可以是腰为 1 的等腰直角三角形, 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,考查空间想象能力,难度不大,属于 基础题. 6. (5 分)阅读下面的程序框图,则输出的 S=()

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A.14

B.20

C.30

D.55

考点: 程序框图. 专题: 计算题. 分析: 经分析为直到型循环结构, 按照循环结构进行执行, 当满足跳出的条件时即可输出 s 的值. 解答: 解:∵S1=0,i1=1; S2=1,i2=2; S3=5,i3=3; S4=14,i4=4; S5=30,i=5>4 退出循环, 故答案为 C. 点评: 本题考查程序框图的运算,通过对框图的分析,得出运算过程,按照运算结果进行 判断结果,属于基础题. 7. (5 分)下列函数在(0,+∞)上为减函数的是() x A.y=﹣|x﹣1| B.y=e C.y=ln(x+1)

D.y=﹣x(x+2)

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数解析式判断各自函数的单调区间,即可判断答案. 解答: 解:①y=﹣|x﹣1|= ∴(0,+∞)不是减函数, 故 A 不正确. x ②y=e ,在(﹣∞,+∞)上为增函数, 故 B 不正确.
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③y=ln(x+1)在(﹣1,+∞)上为增函数, 故 C 不正确. ④y=﹣x(x+2)在(﹣1,+∞)上为减函数, 所以在(0,+∞)上为减函数 故 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查了简单函数的单调性,单调区间的求解,掌握好常见函数的解析式即可, 属于容易题. 8. (5 分)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则() A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1 考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,建立等 量关系求出 a,再根据点(0,b)在切线 x﹣y+1=0 上求出 b 即可. 解答: 解:∵y′=2x+a|x=0=a, 2 ∵曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程 x﹣y+1=0 的斜率为 1, ∴a=1, 又切点在切线 x﹣y+1=0 上, ∴0﹣b+1=0 ∴b=1. 故选:A. 点评: 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程,属于基础题.
2

9. (5 分)已知等边三角形 ABC 的边长为 1,则 A. B. ﹣ C.

?

=() D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量数量积的定义,即 算即可. 解答: 解:由题意, COS120°= . ,再将题目中条件代入计

故答案选:B. 点评: 本题是对数量积定义的考查,属于简单题,在选择时,学生往往可能因为对特殊角 的三角函数值的不熟练而选错.

10. (5 分)已知实数 x,y 满足不等式组

,则 x+2y 的最大值为()

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A.3 考点: 专题: 分析: 解答:

B. 3

C. 4

D.5

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域, , ,由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 C 时,直线 y=﹣ 的截距

由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 最大,此时 z 最大. 由 ,得 ,

即 C(1,2) , 此时 z 的最大值为 z=1+2×2=5, 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 11. (5 分)在△ ABC 中,已知 a +b =c ﹣ A.30° B.45°
2 2 2

ab,则∠C=() C.150°

D.135°

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cosC,把已知等式变形后代入求出 cosC 的值,即可确定出 C 的度数. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:∵在△ ABC 中,a +b =c ﹣ ab,即 a +b ﹣c =﹣ ab, ∴cosC= =﹣ ,

则∠C=135°. 故选:D. 点评: 此题考查了余弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握余弦定理是解本题的关 键.

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12. (5 分)直线 4x+3y﹣5=0 与圆(x﹣1) +(y﹣2) =9 相交于 A、B 两点,则 AB 的长 度等于() A.1 B. C. 2 D.4 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆相交的性质. 直线与圆. 根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可. 解:圆心坐标为(1,2) ,半径 R=3, = ,

2

2

圆心到直线的距离 d=

则|AB|=2

=2

=

=4



故选:D 点评: 本题主要考查直线和圆相交的应用,利用弦长公式是解决本题的关键. 二、填空题(本题每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知回归直线斜率的估计值为 2,样本点的中心为点(4,5) ,则回归直线的方 程为 =2x﹣3.

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据回归直线斜率的估计值为 2,样本的中心点为(4,5) ,借助点斜式方程,可 求得回归直线方程. 解答: 解:回归直线斜率的估计值为 2,样本的中心点为(4,5) , 根据回归直线方程恒过样本的中心点,可得回归直线方程 =2x﹣3. 故答案为: =2x﹣3. 点评: 本题的考点是线性回归方程, 主要考查回归直线方程的求解, 解题的关键是利用回 归直线方程恒过样本的中心点.

14. (5 分)已知双曲线

的渐近线方程为

,则 m=2.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线 的渐近线方程为 ,可得 = ,即可求出 m.

解答: 解:∵双曲线

的渐近线方程为



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=



∴m=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

15. (5 分)要得到 y=sin x 的图象,只须将函数 y=sin( 个单位.

)的图象向左最少平移

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:将函数 y=sin( 可得 y=sin[ (x+ 故答案为: . )﹣ )的图象向左最少平移 ]=sin x 的图象, 单位,

点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 16. (5 分)观察下列等式:1 =1,1 ﹣2 =﹣3,1 ﹣2 +3 =6,1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10,…由以 * 2 2 2 2 上等式推测到一个一般的结论:对于 n∈N ,1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1)
n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n=



考点: 归纳推理. 专题: 压轴题;规律型. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 分析: 由已知中的等式:1 =1,1 ﹣2 =﹣3,1 ﹣2 +3 =6,1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10,我们易 得到等式左边是从一开始的奇数平方和减偶数平方和, 右边式子的绝对值是一等差数列的前 n 项和,由此不难归纳出答案. 解答: 解:由已知中等式: 1 =1= 1 ﹣2 =﹣3= 1 ﹣2 +3 =6= 1 ﹣2 +3 ﹣4 =﹣10= … 由此我们可以推论出一个一般的结论:对于 n∈N , 1 ﹣2 +3 ﹣4 +…+(﹣1)
2 2 2 2 n+1 2 * 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, , , ,

n=

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故答案为: 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 三、解答题(本题共 70 分) 17. (10 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边. (1)求证: = ;

(2)已知 b=3,c=1,A=2B,求 a 的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由正弦定理得:a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC,代入等式的左边化简即可; 2 2 2 (2)由题意和正弦定理求出 cosB,利用余弦定理得 b =a +c ﹣2ac?cosB,把已知的数据代 入化简求出 a 的值. 解答: 证明: (1)由正弦定理得, 则 a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC, 所以 = = ; =2R(R 是△ ABC 外接圆的半径) ,

即原等式成立; 解: (2)因为 b=3,A=2B,所以 则 ,化简得 cosB= ,
2 2 2



由余弦定理得,b =a +c ﹣2ac?cosB, 则 9=a +1﹣2a× ,即 a =12,解得 a=
2 2



点评: 本题考查正弦、余弦定理的综合运用:化简、证明、求值,属于中档题. 18. (12 分)等差数列{an}中,a1=﹣1,公差 d≠0 且 a2,a3,a6 成等比数列,前 n 项的和为 Sn . (1)求 an 及 Sn; (2)设 bn= ,Tn=b1+b2+…+bn,求 Tn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (1)由 a2,a3,a6 成等比数列可得(﹣1+d)?(﹣1+5d)=(﹣1+2d) ,求出 d 后代入等差数列的通项公式可得 an=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣3.代入等差数列的前 n 项和求得 Sn ;
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(2)把 an 代入 bn=

,然后由裂项相消法求得 Tn. ,
2

解答: 解: (1)由题意可得

又∵a1=﹣1,∴(﹣1+d)?(﹣1+5d)=(﹣1+2d) , 解得:d=2. ∴an=﹣1+2(n﹣1)=2n﹣3. ; (2) ∴ = . ,

点评: 本题考查了等比数列的性质,考查了裂项相消法求数列的和,是中档题. 19. (12 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰 直角三角形,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点. (1)求证:AF⊥EF; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥BC,从而 PA⊥BC,进而 BC⊥面 PAB, 又 AF⊥PB,由此能证明 AF⊥EF. (2)以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,P 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法 能求出二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的 等腰直角三角形, ∴PA⊥AD,PA⊥AB,又 AD∩AB=A,AB⊥BC, ∴PA⊥平面 ABCD,又 BC?面 ABCD,∴PA⊥BC, ∵AB∩PA=A,∴BC⊥面 PAB, ∴BC⊥AF, ∵△PAB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,F 是 PB 中点,
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∴AF⊥PB, 又 PB∩BC=B,∴AF⊥平面 PBC, ∵EF?平面 PBC,∴AF⊥EF. (2)解:以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,P 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 AB=1,则 A(0,0,0) ,B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,P(0,0,1) , =(0,0,1) , =(1,1,0) ,

设平面 APC 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x=1,得 =(1,﹣1,0) ,

=(0,1,﹣1) ,

=(1,1,﹣1) ,

设平面 PBC 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 b=1,得 =(0,1,1) ,

|cos< ∴<

>|=|

|= , , .

>=60°,又 sin60°=

∴二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值为

点评: 本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学 思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 20. (12 分)为了估计某校的某次数学期末考试情况,现从该校参加考试的 600 名学生中随 机抽出 60 名学生,其成绩(百分制)均在[40,100]上.将这些成绩分成六段[40,50) ,[50, 60) ,…,[90,100]后得到如如图所示部分频率分布直方图.
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(Ⅰ)求抽出的 60 名学生中分数在[70,80)内的人数; (Ⅱ)若规定成绩不小于 85 分为优秀,则根据频 率分布直方图,估计该校的优秀人数.

考点: 用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ) 在频率分直方图中, 小矩形的面积等于这一组的频率, 根据频率的和等于 1, 求出成绩在[70,80)内的频率,得出频数. (Ⅱ)求出不小于 85 分的频率,再进行估计. 解答: 解: (Ⅰ)在频率分直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,频率的和等于 1, 成绩在[70,80)内的频率 1﹣(0.005+0.01+0.02+0.035+0.005)×10=0.25. 人数为 0.25×60=15 人. (4 分) (Ⅱ)估计该校的优秀人数为不小于 85 分的频率再乘以样本总量 600,即 人. (8 分) 点评: 本题考查频率分步直方图, 本题解题的关键是正确运用直方图, 在直方图中理解小 正方形的面积是这组数据的频率.

21. (12 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2

,且过点 A( , ) .

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)已知 l:y=kx﹣1,是否存在 k 使得点 A 关于 l 的对称点 B(不同于点 A)在椭圆 C 上?若存在求出此时直线 l 的方程,若不存在说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)通过椭圆的焦距求出 c,利用 a、b、c 的关系以及点的坐标适合椭圆方程, 求出 a,b,即可求椭圆的方程;

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(Ⅱ)法 1:当 k=0 时,验证点 ,代入 满足条件. 法 2: 设 AB: x=﹣ky+m, 代入椭圆方程

不在椭圆上;当 k≠0 时,可设直线 利用韦达定理,以及对称综上,说明不存在 k

利用韦达定理, 以及对称知识, 说明 k=1,

导出对称点 B 与点 A 重合,不合题意,不存在 k 满足条件. 法 3:由 l:y=kx﹣1 可知直线 l 恒过点 P(0,﹣1) ,设点 A 关于 l 的对称点 B 坐标为(x0, y0) , 利用|PA|=|PB|,求出 与 A 关于 x=0 对称,不存在 k 满足条件.
2 2

解答: 解: (Ⅰ) 椭圆 C: 椭圆过点 A( , ) . ∴椭圆的方程:

+

=1 (a>b>0) 的焦距为 2
2

, ∴c=
2

, 则 a ﹣b =2…①,

…②,解①②可得 a =3,b =1,

(Ⅱ)法 1:当 k=0 时,直线 l:y=﹣1,点 当 k≠0 时,可设直线 代入 因为
2 2

不在椭圆上; ,即 2x+2ky﹣3﹣k=0
2

整理得(4k +12)y ﹣4k(k+3)y+(k+3) ﹣12=0 ,

所以 若 A,B 关于直线 l 对称, 则其中点 在直线 y=kx﹣1 上

所以

,解得 k=1

因为此时点

在直线 l 上,

所以对称点 B 与点 A 重合,不合题意 所以不存在 k 满足条件.

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法 2:设 AB:x=﹣ky+m,代入椭圆方程 ,所以

化简得(k +3)y ﹣2kmy+m ﹣3=0,

2

2

2

若 A,B 关于直线 l 对称,则其中点 所以 又 ,即 2km=k +3. 在直线 AB:x=﹣ky+m 上,
2 2

在直线 y=kx﹣1 上,

所以 2m﹣k=3, 消 m 得(3+k)k=k +3,所以 k=1 因为此时点 在直线 l 上,

所以对称点 B 与点 A 重合,不合题意, 所以不存在 k 满足条件. 法 3:由 l:y=kx﹣1 可知直线 l 恒过点 P(0,﹣1) , 设点 A 关于 l 的对称点 B 坐标为(x0,y0) , 因为点 A,B 关于 l 对称,所以|PA|=|PB| 所以 ①

又 B 在椭圆上,所以



联立①②解得



因为 因为

与 A 点重合,舍, 与 A 关于 x=0 对称

所以不存在 k 满足条件. 点评: 本题考查椭圆方程的求法, 直线与椭圆的对称关系的应用, 考查直线与圆锥曲线的 位置关系.

22. (12 分)已知函数 f(x)= 的切线过点(3,0) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;

(其中 a≤2 且 a≠0) ,函数 f(x)在点(1,f(1) )处

(Ⅱ)若函数 f(x)与函数 g(x)=a+2﹣x﹣ 的图象在(0,2]有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围.
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考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义可得切线方程,对 a 分类讨论、利用导数研究函数的单 调性即可; (2)等价方程
2

在(0,2]只有一个根,即 x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2=0

2

在(0,2]只有一个根,令 h(x)=x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2,等价函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点.由 得出. 解答: 解: (1) , ,对 a 分类讨论、结合图象即可

∴f(1)=b, ∴y﹣b=(a﹣b) (x﹣1) , ∵切线过点(3,0) , ∴b=2a, ∴

=a﹣b,



①当 a∈(0,2]时, ②当 a∈(﹣∞,0)时, (2)等价方程
2

单调递增, 单调递减, 在(0,2]只有一个根,

单调递减, 单调递增.

即 x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2=0 在(0,2]只有一个根, 2 令 h(x)=x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2,等价函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, ∴ ①当 a<0 时,h(x)在 x∈(0,1)递减,x∈(1,2]的递增, 当 x→0 时,h(x)→+∞,要函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, ∴h(1)=0 或 h(2)<0, ∴a=﹣1 或 . 递增, 的递减,x∈(1,2]递

②当 a∈(0,2)时,h(x)在 增, ∵ ∵h(e )=e ﹣e ﹣2<0,
﹣4 ﹣8 ﹣4

,当 x→0 时,h(x)→﹣∞,

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∴h(x)在

与 x 轴只有唯一的交点,

③当 a=2,h(x)在 x∈(0,2]的递增, ∵h(e )=e ﹣e ﹣2<0,或 f(2)=2+ln2>0, ∴h(x)在 x∈(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, 故 a 的取值范围是 a=﹣1 或 或 0<a≤2.
﹣4 ﹣8 ﹣4

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、 导数的几何意义, 考查了恒成 立问题的等价转化方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于难 题.

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