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曲线上一点处的切线教案


扬州市新华中学高二数学教案:X12311

日期:20131211

编号:22

曲线上一点处的切线以及瞬时速度与瞬时加速度
教学目标 1、知识技能目标:理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法. 2、过程方法目标:掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法. 3、情感态度价值

观目标:会求瞬时速度与瞬时加速度,培养学生从实际问题中去发现问题的能力,以及转 化的数学思想 教学重点 理解曲线在一点处的切线的斜率的定义,掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。 教学难点 对“无限逼近”“局部以直代曲”的理解以及会求瞬时速度与瞬时加速度. 、 教学过程 函数 f ( x ) 在区间 ? x1,x2 ? 上的平均变化率

f ( x2 ) ? f ( x1 ) .曲线上两点的连线(割线)的斜率平均变 x2 ? x1

化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势数形 2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点 P 附近的曲线的研究) 从直线上某点的变化趋势的研究谈起,结合“天圆地方”的故事带来“宏观上曲,微观上直”“曲绝 , 对,直相对”的初步感受,后提出“放大图形”的朴素方法.

P
放大

P
放大

P

P
放大

P
放大

P

(1)观察“点 P 附近的曲线” ,随着图形放大,你看到 了怎样的现象? (2) “几乎成了一条直线” ,这么一条特殊的直线有明确 位置么?(趋势)又为什么说是“几乎”?(逼近) (三)建构数学 1.割线逼近切线 动画演示,观察点 Q 的运动,直线 PQ 的运动,直线 PQ 斜率的变化,生成概念. Q 为曲线上不同于点 P 的一点,这时, 直线 PQ 称为曲线的割线; 随着点 Q 沿曲线向点 P 运动, 割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线, 当点 Q 无限逼近点 P 时,直线 PQ 最 终成为点 P 处最逼近曲线的直线 l , 这条直线 l 也称为曲线在点 P 处的切线.

1 6 1 4 1 28 6 4 2 P l D E

Q m

y

y

y ? f ( x)

y ? f ( x)

Q

Q

?
O

?y

?
x
O

?y

P ?x M

P ?x M

x

【练习】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在 P 点 P 处的切线。学生黑板板演,或投影展示 2.割线斜率逼近切线斜率 P 切线的概念提供了求切线斜率的方法. 再提中心问题:对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化 率表示为什么?我又用怎样数学模型来刻画曲线上 P 点处的变化趋势呢?

扬州市新华中学高二数学教案:X12311

日期:20131211

编号:22

为了更好地反映点 Q 沿曲线向点 P 运动,我们选择了一个变量 ?x . 不妨设 P( x,f ( x)) , Q( x ? ?x,f ( x ? ?x)) ,则割线 PQ 的斜率为

f ( x ? ?x) ? f ( x) f ( x ? ?x) ? f ( x) ,当点 Q 沿着曲线向点 P 无限靠近时,割线 PQ 的斜率 ? ( x ? ?x) ? x ?x f ( x ? ?x ) ? f ( x ) 就会无限逼近点 P 处切线斜率, 即当 ?x 无限趋近于 0 时, 无限趋近点 P( x,f ( x)) ?x kPQ ?
处切线斜率. 例 1:已知 f ( x) ? x2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线斜率.

变式 1:已知 f ( x) ? x2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?1 处的切线斜率和切线方程 变式 2:已知 f ( x) ? x ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?1 处的切线斜率和切线方程.

例 2:一跳水运动员从 10m 高跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的,假设 t ( s ) 后运动员相 对于水面的高度为 H (t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 ,试确定 t ? 2s 时运动员的速度。
2

2 t ? t0 (s) 时轿车的加速 例 3:设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设 t ( s ) 时的速度为 v(t ) ? t ? 3 ,求

度。

练习:1.分别求曲线 f ( x) ? x2 ,在 x = 0,x =- 2,x = 3 处的切线斜率. 2.已知 f ( x) ? 1 ? x 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ?

1 处的切线斜率是多少? 2

2 3、一质点的运动方程为 s ? 10 ? t (位移单位: m ,时间单位: s ) ,试求该质点在 t ? 3s 的瞬时速 度。

四、回顾反思: 1. 曲线在一点处的切线以及切线斜率的概念 2. 用割线逼近切线研究曲线切线的方法,学会了切线方程的求法 五、板书设计

六、教学反思


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