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利用空间向量求空间距离


利用空间向量求空间距离
定远中学 赵艳丽 教学目标: (1)知识与技能 了解空间中的各种距离,掌握各种空间距离的转化方法,利用空间向量求各种空间距离。 (2)过程与方法 通过将空间距离转化求解的过程,使学生体会类比,转化、化归及数形结合思想的应用。 (3)情感、态度与价值观 通过求解空间距离,培养学生观察、分析和解决问题的能力。感受数学之妙,激发学生学习数学的热情。 教

学重、难点: 重点:空间距离的转化和求解。 难点:空间距离的转化。 教学过程: 一、新课引入 不考虑时间,我们生活在一个三维空间里。这个空间里充满了各种与我们生活密切相关的距离。那么空间距 离有哪些?又该怎么求呢? [设计意图]数学来源于生活,又服务于生活。从生活出发,让学生体会数学的价值,明确学习数学的重要性。 二、新课讲解 1、点到平面的距离 向量法求点到平面的距离. 在 Rt?PAO 中,

?P

cos? ?

d | AP |

? d ?| AP | cos?

? d

n

又 cos? ?

| AP ? n | | AP || n |

?

A

O

?d ?

| AP ? n | |n|

(其中 AP 为斜向量, n 为法向量)
l

?P

2、直线到平面的距离 转化为点到线的距离:

? d

n

d?

| AP ? n | |n|

(其中 AP 为斜向量, n 为法向量)

?

A

O
?P

3、平面到平面的距离 也是转化为点到线的距离:

d?

| AP ? n | |n|

?
?

d
O

n

(其中 AP 为斜向量, n 为法向量)

A

师生:教师引导,启发,学生积极思考,共同总结,给出结论。 [设计意图]体会转化、化归思想在数学学习中的重要性。 三、例题讲解 例 1.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,棱长为 1,求下列问题: (1)求点 D1 到面 A1 BD 的距离; 解:如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则
-1-

A(1,0,0), B(1,1,0), C (0 ,1,0), D(0 ,0 ,0), A1 (1,0 ,1) , B1 (1,1,1) , C1 (0 ,1,1) , D1 (0 ,0 ,1) ,

z

(1)显然, AC1 ? ( ?1,1,1) 为面 A1 BD 的法向量 选点 D1 到面 A1 BD 的斜向量为 D1 A1 ? (1,0,0) 得点 D1 到面 A1 BD 的距离为 d ?
A1

D1
B1

C1

| D1 A1 ? AC1 | | AC1 |

?

3 3

D

C

y

A

B

x

(2)求直线 D1C 到面 A1 BD 的距离;

z

(3) 求面 A1 DB 与面 D1CB1 的距离;

z

解:转化、化归为 点 D1 到面 A1 BD 的 距离;
D
D1
A1

解:转化、化归为
C1 B1

点 D1 到面 A1 BD 的 距离;

D1
A1

C1 B1

C

y

D

C

y

A

B

A

B

x 师生:共同合作,共同完成。 [设计意图]通过例题讲解,加深对结论的理解。
(4) 求异面直线 D1 B1 与 A1 B 的距离. (备选)4、异面直线的距离 如图,异面直线也是转化为点到线的距离:

x

a

P ?

n
b

d?

| AP ? n | |n|
?

?
A

d

(其中 AP 为两条异面直线上各取一点组成的向量,即异面向量, n 是与 a, b 都垂直的向量,即公垂向量) 解: A1 B ? (0,1,?1), D1 B1 ? (1,1,0) , 设 n ? ( x, y, z ) 是 A1 B, D1 B1 的公垂向量,则

z
D1
A1

C1 B1

?n ? A1 B ? 0 ?y ? z ? 0 ? ,取 z ? 1 ,得 n ? (?1,1,1) ?? ? ?n ? D1 B1 ? 0 ? x ? y ? 0 ?
选直线 D1 B1 与 A1 B 的两点向量 D1 A1 ? (1,0,0) 得直线 D1 B1 与 A1 B 的距离为 d ?

D

C

y

A

B

x

| D1 A1 ? n | |n|

?

3 . 3

G

[设计意图]备选内容使教案的实用性更强,可灵活处理课堂实况。 练习: D 1. 已知正方形 ABCD 的边长为 4, DG ? 平面 ABCD , C DG ? 2 , E 、 F 分别是 AB 、 BC 的中点,求点 C 到 F 平面 GEF 的距离。 A E B 师生:学生思考,口答思路,自行演算,教师总结。 [设计意图]考虑到学情,选了一道典型,简单的练习,希望提高学生学习的积极性,激发学生学习数学的热情。
-2-

四、课堂小结 1、空间距离的种类; 2、常见空间距离的求解方法; 直线到平面的距离 平面到平面的距离 ? 点到平面的距离 异面直线间的距离 3、数学思想——类比,转化、化归,数形结合. 师生:共同总结,补充完善。 [设计意图]要求学生自行归纳、总结,培养学生总结归纳、系统整理知识的能力。 五、作业布置 思考:练习 1,你能用等积法求距离吗? [设计意图]学习新知,不忘旧知。 板书设计: 3.2 立体几何中的向量方法 三、例题讲解 (4) ------距离问题 例1 4、 一、新课引入 (1) 二、新课讲解 1、2、3、 (2)(3) 、 教学反思:

练习 1 四、课堂小结 1、2、3、 五、作业布置

-3-


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