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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第4章 框图模块检测 苏教版选修1-2


框图 模块检测
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1+z 1.设复数 z 满足 =i,则|z|=. 1-z 答案 1 1+z -1+i 解析 由 =i,得 1+z=i-zi,z= =i, 1-z 1+i ∴|z|=|i|=1. 2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数 m 的取值范围是. 2? ? 答案 ?-∞, ?

3? ? 解析 z=(3m-2)+(m-1)i,其对应点(3m-2,m-1),在第三象限内, 2 故 3m-2<0 且 m-1<0,∴m< . 3 3.下列推理过程属于演绎推理的是. ①老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处,某种药物先在猴子身上试验,试验成功后再用 于人体试验 ②由 1=1 1+3=2 1+3+5=3 ,?,推出 1+3+5+?+(2n-1)=n
2, 2, 2 2

③由三角形的三条中线交于一点联想到四面体每个顶点与对面重心的连线交于一点 ④通项公式形如 an=c·q (c,q≠0)的数列是等比数列,则数列{-2 }是等比数列 答案 ④ 4.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的面积为 S=π ab,当 a=4,b=2 计算椭圆面积的流程图如图, 则空白处应为.
n n

x2 y2 a b

答案

输入a←4,b←2

5.计算: 答案 0

a+bi a-bi + =. b-ai b+ai

-1-

解析 =

a+bi a-bi + b-ai b+ai

(a+bi)(b+ai)+(a-bi)(b-ai) =0. (b-ai)(b+ai)

另解:

a+bi a-bi -ai2+bi -ai2-bi i(-ai+b) -i(ai+b) + = + = + =i-i=0. b-ai b+ai b-ai b+ai b-ai b+ai
6.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆 的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是. 答案 表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体和球中,

球的体积最大 解析 平面图形与立体图形的类比:周长→表面积,正方形→正方体,面积→体积,矩形→

长方体,圆→球. 7.若复数 z 满足 zi=2+i(i 是虚数单位),则 z=. 答案 1-2i 2+i 解析 ∵zi=2+i,∴z= =1-2i. i 8.为考察某种药物预防疾病的效果,在进行动物实验中,得到如下列联表: 患病 服用药 未服用药 总计 10 20 30 未患病 45 30 75 总计 55 50 105

根据以上信息,有的把握认为药物有效.(填百分数) (参考数据:P(χ ≥6.635)≈0.01;P(χ ≥3.841)≈0.05;P(χ ≥2.706)≈0.10) 答案 95%
2 2 2

n(ad-bc)2 解析 χ = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
2



105×(10×30-45×20) ≈6.109>3.841, 55×50×30×75

2

∴有 95%的把握认为药物有效. → → → → 9.非零复数 z1,z2 分别对应于复平面内向量OA,OB,若|z1+z2|=|z1-z2|,则向量OA与OB的 关系是. → → 答案 OA⊥OB 解析 因为|z1+z2|=|z1-z2|, 所以以 z1, z2 所对应的向量为邻边的平行四边形的对角线相等, → → 即此平行四边形为矩形,因此OA⊥OB.
-2-

10.已知函数 f(x)=x+ 数 p 的值为. 答案 9 4

p

x-1

(p 为常数,且 p>0),若 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,则实

解析 由题意得 x-1>0,f(x)=x-1+

p +1≥2 p+1,当且仅当 x= p+1 时取等号,因 x-1

9 为 f(x)在(1,+∞)上的最小值为 4,所以 2 p+1=4,解得 p= . 4 11.下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ②由向量 a 的性质|a| =a 类比得到复数 z 的性质|z| =z ; ③方程 ax +bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实数根的条件是 b -4ac>0 可以类比得到:方 程 az +bz+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是 b -4ac>0 ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比错误的是. 答案 ②③ 解析 对于②,由|z| 是一个实数,而 z 是一个复数;对于③,对于复数 a、b、c 来说,不 等式 b -4ac>0 是没有意义的. 12.完成反证法证题的全过程.①②③应填什么? 题目:设 a1,a2,?,a7 是 1,2,?,7 的一个排列,求证:乘积 p=(a1-1)(a2-2)?(a7-7) 为偶数. 证明:反设 p 为奇数,则①均为奇数. 因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=②=③=0.但奇数≠偶数,这一矛盾说明 p 为偶数. 答案 ①a1-1,a2-2,?,a7-7 ②(a1-1)+(a2-2)+?+(a7-7) ③(a1+a2+?+a7)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

-(1+2+?+7) 13.现随机抽取了我校 10 名学生在入学考试中的数学成绩(x)与入学后的第一次考试数学成 绩(y),数据如下: 学生号 1 120 84 2 108 64 3 117 84 4 104 68 5 103 69 6 110 68 7 104 69
10 2

8 105 46

9 99 57

10 108 71
10

x y

现知相关关系临界值 r0.05=0.632,通过计算也易知 x =107.8, ?xi=116584, y =68, ?y
i=1 i=1

-3-

2

i

=47384,?xiyi=73796,故可得相关系数 r 大约为,比较 r 与 r0.05 知,两次数学考试成绩(填
i=1

10

“有”或“没有”)显著性的线性相关关系. 答案 0.7506 有 14 .观察 sin10°+sin20°+sin30°+?+sin200°= sin24°+sin36°+?+sin192°= 式为. 2sin 答案 sinx+sin2x+sin3x+?+sinnx= 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) (1+i) (a+bi) 15.(14 分)复数 z= 且|z|=4,z 对应的点在第三象限,若复数 0,z, z 对 1-i 应的点是正三角形的三个顶点,求实数 a,b 的值. (1+i) ·(1+i) 解 z= (a+bi) 1-i =2i·i(a+bi)=-2a-2bi. 由|z|=4 得 a +b =4,① ∵复数 0,z, z 对应的点构成正三角形, ∴|z- z |=|z|. 把 z=-2a-2bi 代入化简得 a =3b ,② 代入①得,|b|=1. 又∵Z 点在第三象限, ∴a<0,b<0. 由①②得?
2 2 2 2 2 3

2sin105°sin100° ,sin12°+ sin10°

2sin102°sin96° ,写出与以上两个等式规律相同的通 sin12°

n+1 n xsin x
2 sinx 2

?a=- 3, ?b=-1,

故所求值为 a=- 3,b=-1. 16.(14 分)测得 10 对某国父子身高(单位:英寸)如下: 父高 x 儿高 y 60 63.6 62 65.2 64 66 65 65.5 66 66.9 67 67.1 68 67.4 70 68.3 72 70.1 74 70

(1)对变量 y 与 x 进行相关性检验; (2)如果 y 与 x 之间具有相关关系,求回归方程;

-4-

(3)如果父亲的身高为 73 英尺,估计儿子的身高. 解 (1)由题意,得 x =66.8, y =67.01, ?xi=44794,
2 10

i=1

i=44941.93, ?xiyi=44842.4. ?y2 i=1 i=1

10

10

?xiyi-10 x y
i=1

10

则 r= =

(44794-44622.4)(44941.93-44903.4)

≈0.9801. 6611.748

79.7

又查表得 r0.05=0.632, 因为 r>r0.05,所以 y 与 x 之间具有线性相关关系.
^ ^ ^

(2)设线性回归方程为y=bx+a.
10

∑xiyi-10 x y i=1 由公式,得b= 10 2 2 ∑xi-10( x ) i=1
^



44842.2-44762.7 79.7 = ≈0.4645. 44794-44622.4 171.6
^ ^

所以a= y -b x =67.01-0.4645×66.8≈35.98.
^

故所求的线性回归方程为y=0.4645x+35.98.
^

(3)当 x=73 时,y=0.4645×73+35.98=69.9. 所以当父亲身高为 73 英寸时,估计儿子身高为 69.9 英寸. 17.(14 分)求证如果一个整数 n 的平方是偶数,那么这个整数 n 本身也是偶数. 证明 假设整数 n 不是偶数,那么 n 可写成 n=2k+1(k∈Z)的形式, 则 n =(2k+1) =4k +4k+1=2(2k +2k)+1, 因为 k∈Z,所以 2k +2k∈Z,则 2(2k +2k)为偶数. 那么 2(2k +2k)+1 为奇数,即 n 为奇数, 这与已知条件矛盾,假设不成立,故 n 是偶数. 18.(16 分)在国家未实施西部开发战略前,一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取 1000 人 问卷,只有 80 人志愿加入西部建设,而国家公布实施西部开发战略后,随机抽取 1200 名应 届大学毕业生问卷,有 400 人志愿加入国家西部建设. 问:西部开发战略的公布实施是否对应届大学毕业生的选择产生了影响?
2 2 2 2 2 2 2 2

-5-

解 根据题意列出 2×2 列联表:

非志愿者 志愿者(B) (B) 920 合计

开发战略公布前(A) 开发战略公 布后( A ) 合计

80

1000

400 480

800 1720

1200 2200

提出假设 H0:西部开发战略的公布实施未起作用,由公式计算: 2200×(80×800-920×400) 2 χ = 480×1720×1000×1200 ≈205.22. 因为 205.22>10.828,所以我们有 99.9%以上的把握认为西部战略的实施起了作用. 19.(16 分)到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万)时,银行要收取一定的手续费,汇款不 超过 100 元,收取 1 元手续费;超过 100 元但不超过 5000 元;按汇款额的 1%收取;超过 5000 元,一律收取 50 元手续费.画出输入汇款额 x 元时,输出银行收取的手续费 y 元的程序框图. 解 流程图如图所示.
2

20.(16 分)已知 An(n,an)为函数 y1= x +1的图象上的点,Bn(n,bn)为函数 y2=x 的图象上 的点,设 cn=an-bn,其中 n∈N . (1)求证:数列{cn}既不是等差数列又不是等比数列; (2)试比较 cn 与 cn+1 的大小. (1)证明 依题意,an= n +1,bn=n,
2 *

2

cn= n2+1-n.
假设{cn}是等差数列,则 2c2=c1+c3, ∴2( 5-2)= 2-1+ 10-3.
-6-

有 2 5= 2+ 10产生矛盾, ∴{cn}不是等差数列. 假设{cn}是等比数列,则 c2=c1c3, 即( 5-2) =( 2-1)( 10-3). 有 21 5=47,产生矛盾, ∴{cn}也不是等比数列. (2)解 ∵cn+1= (n+1) +1-(n+1)>0, ∴cn= n +1-n>0.
2 cn+1 (n+1) +1-(n+1) ∴ = cn n2+1-n 2 2 2 2



. 2 (n+1) +1+(n+1)
2 2

n2+1+n

0< n +1< (n+1) +1, 又 0<n<n+1, ∴ n +1+n< (n+1) +1+n+1 ∴0<
2 2

n2+1+n <1. 2 (n+1) +1+(n+1)



cn+1 <1,即 cn+1<cn. cn

-7-


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