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四川省成都市双流县棠湖中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷(文科)


四川省成都市双流县棠湖中学 2015 届高三上学期第一次月考数 学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 l0 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|x>1},集合 A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,1) C.[1,+∞) ,则 A∩B=() D.(1,3]

>2. (5 分)下列各图形中,是函数的图象的是()

A.

B.

C.

D.

3. (5 分)函数 A.(﹣1,+∞) ∪(1,+∞)

的定义域是() B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D. [﹣1,1)

4. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣3 B . ﹣1
x

.若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于() C. 1
2

D.3

5. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x+2>2 ,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧(¬q)是真命题 C. 命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 6. (5 分)已知 α:x≥a,β:x ﹣2x﹣3≤0,若 α 是 β 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围 为() A.[0,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣1,+∞) D.(1,3] 7. (5 分)设 A.a>b>c ,b=0.3 ,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是() B.a<b<c
2 0.5 2

C.b<a<c

D.a<c<b

8. (5 分)已知函数 f(x)=x +mx+lnx 是单调递增函数,则 m 的取值范围是() A.m>﹣2 B.m≥﹣2 C.m<2 D.m≤2

9. (5 分)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当﹣1<x≤1 时,f(x)=x, 若函数 g(x)=f(x)﹣loga|x|至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是() A.(1,5) D.[ ,1]∪(1,5] B.(0, )∪[5,+∞) C. (0, ]∪[5,+∞)

10. (5 分)定义在(﹣1,1)上的函数 f(x)﹣f(y)=f(

) ;当 x∈(﹣1,0)时 f(x)

>0.若 P=f( )+f( A.P<Q<R

) ,Q=f( ) ,R=f(0) ;则 P,Q,R 的大小关系为() B.R<Q<P C.R<P<Q D.Q<P<R

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. (5 分)设复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z=.

12. (5 分)计算(lg ﹣lg25)?4

=.

13. (5 分)设 f(x)=

,则 f(x)<1 的解集是.

14. (5 分)若函数 y=a +2a ﹣1(a>0,且 a≠1)在[﹣1,1]上的最大值是 14,则 a=. 15. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1) , 已知当 x1,x2∈[0,1]且 x1<x2 时, (x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则有 ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)无最大值,有最小值是 0; ③函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ④函数的对称轴 x=k,k∈Z. 其中所有正确命题的序号是.

2x

x

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某 月的产量如下表(单位:辆) : 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值 (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.从这 5 辆车中任取 2 辆,求 至少有 1 辆舒适型轿车的概率. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx﹣ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[ , cos2x+1.

]时,求 f(x)的最大值和最小值.

18. (12 分)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的点且 ,PH 为△ PAD 中 AD 边上的高.

(Ⅰ)证明:PH⊥平面 ABCD; (Ⅱ)若 PH=1, ,FC=1,求三棱锥 E﹣BCF 的体积.

19. (13 分)正项等比数列{an}中,a3=9,a5=81 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+lnan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 20. (13 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x) |≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界.已知函数 f(x) =x +2ax+2. (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0]上的值域,判断函数 f(x)在(﹣∞,0]上是 否为有界函数,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[1,4]上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 21. (13 分)已知函数 f(x)= x+ ,h(x)= .
2

(Ⅰ)若函数 h(x)= 图象上一点 A(4,h(4) ) ,则求在 A 点处的切线方程; 2 2 (Ⅱ)设函数 F(x)=18f(x)﹣x [h(x)] ,求 F(x)的单调区间与极值; (Ⅲ)设 a∈R,解关于 x 的方程 lg[ f(x﹣1)﹣ ]=2lgh(a﹣x)﹣2lgh(4﹣x) .

四川省成都市双流县棠湖中学 2015 届高三上学期第一次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 l0 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,集合 A={x|x>1},集合 A.(﹣∞,0) B.(﹣∞,1) C.[1,+∞) ,则 A∩B=() D.(1,3]

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出集合 B,然后直接求出集合 A∩B 即可. 解答: 解:因为集合 ={x|x≤3},

又集合 A={x|x>1}, 所以 A∩B={x|x>1}∩{x|x≤3}={x|1<x≤3}, 故选 D. 点评: 本题考查集合的基本运算,函数的定义域的求法,考查计算能力. 2. (5 分)下列各图形中,是函数的图象的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数是特殊的映射,对每一个 x 值,只能有唯一的 y 与之对应,函数 y=f(x)的图 象也是,由此逐一分析四个图象,可得答案. 解答: 解:函数 y=f(x)中,对每一个 x 值,只能有唯一的 y 与之对应, ∴函数 y=f(x)的图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点 故 A,B,C 均不正确 故选 D 点评: 深刻理解函数的概念是解决问题的关键,并不是任意一个图都可以作为函数图象 的.这一点要特别注意

3. (5 分)函数

的定义域是()

A.(﹣1,+∞) ∪(1,+∞)

B.[﹣1,+∞)

C.(﹣1,1)∪(1,+∞)

D. [﹣1,1)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意可知要使函数有意义需要 x+1>0 且 x﹣1≠0,进而可求得 x 的范围. 解答: 解:要使函数有意义需 解得 x>﹣1 且 x≠1. ∴函数 的定义域是(﹣1,1)∪(1,+∞) . ,

故选 C. 点评: 本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题.

4. (5 分)已知函数 f(x)= A.﹣3 B . ﹣1

.若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于() C. 1 D.3

考点: 指数函数综合题. 专题: 计算题. 分析: 由分段函数 f(x)= ,我们易求出 f(1)的值,进而将式子 f(a)+f(1)

=0 转化为一个关于 a 的方程,结合指数的函数的值域,及分段函数的解析式,解方程即可得 到实数 a 的值. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(1)=2 若 f(a)+f(1)=0 ∴f(a)=﹣2 x ∵2 >0 ∴x+1=﹣2 解得 x=﹣3 故选 A 点评: 本题考查的知识点是分段函数的函数值,及指数函数的综合应用,其中根据分段函 数及指数函数的性质,构造关于 a 的方程是解答本题的关键. 5. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x+2>2 ,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧(¬q)是真命题 C. 命题 p∧q 是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题
x 2

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先判断出两个命题的真假,再由复合命题的真假判断规则进行判断即可得出正确选 项. x 解答: 解:对于命题 p:?x∈R,x+2>2 ,当 x=0 时,此命题成立,故是真命题, 2 命题 q:?x∈R,x >0,当 x=0,0=0,故命题 q 是假命题, 由此知命题 p∨¬q 是真命题,命题 p∧¬q 是真命题,命题 p∨q 是真命题,命题 p∧q 是假命 题, 故选:B. 点评: 本题考查复合命题的真假判断规则,熟练掌握真假的判断规则是解答的关键. 6. (5 分)已知 α:x≥a,β:x ﹣2x﹣3≤0,若 α 是 β 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围 为() A.[0,+∞) B.(﹣∞,﹣1] C.[﹣1,+∞) D.(1,3] 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式进行判断即可. 2 解答: 解:由 x ﹣2x﹣3≤0 得﹣1≤x≤3,即 β:﹣1≤x≤3, ∵α 是 β 的必要不充分条件, ∴a≤﹣1, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,比较基础.
0.5 2

7. (5 分)设 A.a>b>c

,b=0.3 ,c=log0.30.2,则 a,b,c 的大小关系是() B.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: a,b 的比较可由幂函数 y=x 来判断,易知两数都小于 1,c 的判断可由对数函数 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数,得到 c 大于 1,从而得到三个数的大小. 0.5 解答: 解:∵幂函数 y=x 来判断,在(0,+∞)上为增函数, ∴1> >0.3 >0
0.5 0.5

∴0<b<a<1 又∵对数函数 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数 ∴log0.30.2>log0.30.3>1 ∴c>a>b 故选 C. 点评: 本题主要考查比较数的大小,一般来讲,幂的形式用幂函数或指数函数的单调性来 比较,对数形式用对数函数来解决,在此过程中往往用到与 0 或 1 这两个桥梁. 8. (5 分)已知函数 f(x)=x +mx+lnx 是单调递增函数,则 m 的取值范围是()
2

A.m>﹣2

B.m≥﹣2

C.m<2

D.m≤2

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: 先求出导函数,然后将函数 f(x)=x +mx+lnx 是单调递增函数,转化成 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,然后将 m 分离出来,利用基本不等式求出另一侧的最值,即可求出 所求. 解答: 解:∵f(x)=x +mx+lnx ∴f′(x)=2x+m+ ∵函数 f(x)=x +mx+lnx 是单调递增函数, ∴f′(x)=2x+m+ ≥0 在(0,+∞)上恒成立 即﹣m≤2x+ 在(0,+∞)上恒成立 而 x∈(0,+∞)时 2x+ ≥2 ∴﹣m≤2 即 m≥﹣ 故选 B. 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及恒成立问题,同时考查了转化的 数学思想,属于中档题. 9. (5 分)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当﹣1<x≤1 时,f(x)=x, 若函数 g(x)=f(x)﹣loga|x|至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是() A.(1,5) D.[ ,1]∪(1,5] B.(0, )∪[5,+∞) C. (0, ]∪[5,+∞)
2 2

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数 g(x)=f(x)﹣loga|x|至少有 5 个零点可化为函数 f(x)与函数 y=loga|x|的图 象至少有 5 个交点,从而从而作图求解. 解答: 解:作函数 f(x)与函数 y=loga|x|的图象如下,







解得,a≥5 或 0<a< ; 故选 B. 点评: 本题考查了函数的零点与函数图象的应用,同时考查了作图与用图的能力,属于基 础题.

10. (5 分)定义在(﹣1,1)上的函数 f(x)﹣f(y)=f(

) ;当 x∈(﹣1,0)时 f(x)

>0.若 P=f( )+f( A.P<Q<R

) ,Q=f( ) ,R=f(0) ;则 P,Q,R 的大小关系为() B.R<Q<P C.R<P<Q D.Q<P<R

考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据抽象函数得到函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:令 x=y=0,则 f(0)﹣f(0)=f(0) ,解得 f(0)=0, 令 x=0,则﹣f(y)=f(﹣y) , 即函数 f(x)是奇函数, 当 x∈(﹣1,0)时,f(x)>0, 故当 x∈(0,1)时,f(x)<0, 令 0<y<x<1, 则 0<x﹣y<1,0<1﹣xy<1,且 x﹣1+xy=(x﹣1) (y+1)<0, ∴x﹣y<1﹣xy, 故 0< )<1,则 f( )<0,

则 f(x)﹣f(y)<0,f(x)<f(y) , 则 f(x)在(0,1)上单调递减, 于是 P=f( )+f( ∵0< < , )=f( )﹣f(﹣ )=f( ) ,

由于 f(0)>f( )>f( ) , ∴R>P>Q, 故选:D 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据抽象函数,结合函数的性质判断函数的奇偶 性和单调性是解决本题的关键.综合性较强,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11. (5 分)设复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z=﹣1+i. 考点: 复数相等的充要条件;复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由条件利用两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,计算求得结果. 解答: 解:∵复数 z 满足(1﹣i)z=2i,则 z= = = =﹣1+i,

故答案为:﹣1+i. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题.

12. (5 分)计算(lg ﹣lg25)?4

=﹣4.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数和指数的性质和运算法则求解. 解答: 解: (lg ﹣lg25)?4 =(lg )? 2

=﹣2×2 =﹣4. 故答案为:﹣4. 点评: 本题考查对数和指数的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意运算法则的 合理运用.

13. (5 分)设 f(x)=

,则 f(x)<1 的解集是(﹣∞,0)∪(0,10) .

考点: 其他不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. x 分析: 讨论当 x>0 时,f(x)<1 时,即为 lgx<1,当 x≤0 时,f(x)<1 即为 10 <1,由 指数函数和对数函数的单调性即可得到解集. 解答: 解:当 x>0 时,f(x)<1 时,即为 lgx<1,解得 0<x<10.则有 0<x<10; x 当 x≤0 时,f(x)<1 即为 10 <1,解得 x<0,则有 x<0. 则解集为(﹣∞,0)∪(0,10) . 故答案为: (﹣∞,0)∪(0,10) . 点评: 本题考查分段函数的运用,考查指数函数和对数函数的单调性的运用:解不等式, 考查运算能力,属于基础题和易错题.

14. (5 分)若函数 y=a +2a ﹣1(a>0,且 a≠1)在[﹣1,1]上的最大值是 14,则 a= 或 3.

2x

x

考点: 函数的最值及其几何意义;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 专题: 分类讨论;换元法. x 分析: 由题意令 t=a ,则原函数变成关于 t 的二次函数,分 a>0 和 0<a<1 两种情况,分 别求出 t 的范围,根据在区间上的单调性求出函数有最大值时对应的 t 值,进而求出 a 的值, 注意验证范围. x 2 2 解答: 解:令 t=a ,则 y=t +2t﹣1=(t+1) ﹣2, 当 a>1 时,∵x∈[﹣1,1],则 t∈[ ,a], ∴函数在[ ,a]上是增函数, ∴当 t=a 时,函数取到最大值 14=a +2a﹣1, 解得 a=3 或﹣5,故 a=3, 当 0<a<1 时,∵x∈[﹣1,1],则 t∈[a, ], ∴函数在[a, ]上是增函数, ∴当 t= 时,函数取到最大值 14= ? +2 ﹣1, 解得 =3 或﹣5, 故 =3,即 a= . 综上,a 的值是 3 或 . 故答案为:3 或 . 点评: 本题的考点是函数的最值问题,考查了用换元法将原函数转变为二次函数,注意求 出换元后变量的范围,本题是对底数进行分类后,根据指数函数的性质求出变量范围,再根据 二次函数在区间上的单调性求有关最值问题. 15. (5 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1) , 已知当 x1,x2∈[0,1]且 x1<x2 时, (x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]>0,则有 ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)无最大值,有最小值是 0; ③函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ④函数的对称轴 x=k,k∈Z. 其中所有正确命题的序号是①④. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 根据偶函数则图象关于 y 轴对称;对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1) ,则周期为 2;当 x1,x2∈[0,1]且 x1<x2 时, (x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]>0 说明函数是减函数.然后 据此对每个结论逐一判断即可. 解答: 解:对于①,因为对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x﹣1) ,所以 f(x+2)=f[(x+1) +1]=f[(x+1)﹣1]=f(x) ,故该函数的周期为 2,所以①正确; 对于②,结合①该函数的周期为 2,然后结合函数为偶函数,所以只需判断[﹣1,1]上的最 值即可,因为当 x1,x2∈[0,1]且 x1<x2 时, (x2﹣x1)[f(x1)﹣f(x2)]>0,所以 f(x1)> f(x2) ,所以该函数在[0,1]上递减,且在[﹣1,0]上递增,故该函数在[﹣1,1]内的最大值为 f(0) ,故②错误; 对于③,结合②的分析可知,函数 f(x)在[0,1]上递减,且在[﹣1,0]上递增,由周期为 2, 所以 f(x)在(1,2)上递增,在(2,3)上递减,故③错误; 对于④,因为 f(x)是偶函数,所以关于 x=0 对称,由 f(x+1)=f(x﹣1) ,结合 f(﹣x) =f(x) ,所以 f(x+1)=f(1﹣x) ,所以 x=1 是对称轴,再结合周期为 2,所以 x=2k,x=2k+1, k∈Z 为对称轴,即 x=k,k∈Z 为对称轴,所以④正确. 故答案为①④ 点评: 本题考查了函数奇偶性、周期性、单调性等基础知识及其综合应用,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (12 分)一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某 月的产量如下表(单位:辆) : 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值 (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.从这 5 辆车中任取 2 辆,求 至少有 1 辆舒适型轿车的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意可得 = ,解得 z 的值.

(2)这 5 辆车中,求得舒适型的有 2 辆,标准型的有 3 辆.求得所有的取法有 10 种,至少 有 1 辆舒适型轿车的取法有 7 种,由此求得至少有 1 辆舒适型轿车的概率. 解答: 解: (1)由题意可得 (2)这 5 辆车中,舒适型的有 5× 从这 5 辆车中任取 2 辆,所有的取法有 ? + =7 种, . = =2 辆,标准型的有 5× ,解得 z=400. =3 辆.

=10 种,至少有 1 辆舒适型轿车的取法有

∴至少有 1 辆舒适型轿车的概率为

点评: 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用,属于基础题. 17. (12 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx﹣ (1)求 f(x)的最小正周期; (2)当 x∈[ , cos2x+1.

]时,求 f(x)的最大值和最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得:f(x)=2sin(2x﹣ 由周期公式即可得 T. (2)由 x∈[ , ],可得 2x﹣ ∈[ , ],从而求得 f(x)的范围,即得 f(x)的最 )+1,

大值是 3,最小值是 2. 解答: 解: (1)∵f(x)=2sinxcosx﹣ =2sin(2x﹣ )+1 =π;

cos2x+1.

∴由周期公式可得:T= (2)∵x∈[ ∴2x﹣ ∈[ , , ], ],

∴f(x)=2sin(2x﹣

)+1∈[2,3],

故 f(x)的最大值是 3,最小值是 2. 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函 数的图象和性质,属于基本知识的考查. 18. (12 分)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥平面 PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的点且 ,PH 为△ PAD 中 AD 边上的高.

(Ⅰ)证明:PH⊥平面 ABCD; (Ⅱ)若 PH=1, ,FC=1,求三棱锥 E﹣BCF 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)因为 AB⊥平面 PAD,所以 PH⊥AB,因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高,所 以 PH⊥AD,由此能够证明 PH⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连接 BH,取 BH 中点 G,连接 EG,因为 E 是 PB 的中点,所以 EG∥PH,因为 PH⊥ 平面 ABCD,所以 EG⊥平面 ABCD,由此能够求出三棱锥 E﹣BCF 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵AB⊥平面 PAD, ∴PH⊥AB, ∵PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, ∴PH⊥AD, 又∵AB∩AD=A, ∴PH⊥平面 ABCD. (Ⅱ)解:如图,连接 BH,取 BH 中点 G,连接 EG, ∵E 是 PB 的中点, ∴EG∥PH, ∵PH⊥平面 ABCD, ∴EG⊥平面 ABCD, 则 EG= PH= , ∴VE﹣BCF= S△ BCF?EG= ? ?FC?AD?EG= .

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,求三棱锥的体积,解题时要认真审题,注意合理 地化立体几何问题为平面几何问题. 19. (13 分)正项等比数列{an}中,a3=9,a5=81 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足:bn=an+lnan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件利用正项等比数列通项公式列出方程组,求出首项和公比,由此能 求出 an=3 . n ﹣1 n﹣1 n﹣1 (2)由 bn=an+lnan=3 +ln3 =3 +(n﹣1)ln3,利用分组求和法能求出数列{bn}的前 n 项 和 Sn. 解答: 解: (1)∵正项等比数列{an}中,a3=9,a5=81,
n﹣1



,解得 a1=1,q=3,

∴an=3 . n﹣1 n﹣1 n﹣1 (2)∵bn=an+lnan=3 +ln3 =3 +(n﹣1)ln3, 2 n﹣1 ∴Sn=1+3+3 +…+3 +[1+2+3+…+(n﹣1)]ln3 =

n﹣1

=



点评: 本题主要考查数列的通项公式的求法、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比 数列等基础知识,考查抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想、 函数与方程思想,解题时要注意分组求和法的合理运用. 20. (13 分)定义在 D 上的函数 f(x) ,如果满足:对任意 x∈D,存在常数 M>0,都有|f(x) |≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界.已知函数 f(x) =x +2ax+2. (1)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)在(﹣∞,0]上的值域,判断函数 f(x)在(﹣∞,0]上是 否为有界函数,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[1,4]上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)把 a=﹣1 代入函数解析式,利用配方法求其值域,根据函数|f(x)|在(﹣∞, 0]上无最大值说明函数 f(x)在(﹣∞,0]上不是有界函数; 2 (2)把函数 f(x)在 x∈[1,4]上是以 3 为上界的有界函数转化为﹣3≤x +2ax+2≤3,分离参数 a 后分别利用基本不等式和函数的单调性求得最值后得答案. 2 2 解答: 解: (1)当 a=﹣1 时,f(x)=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1, ∵x∈(﹣∞,0],函数为定义域内的减函数,f(x)min=f(0)=2. ∴函数 f(x)在(﹣∞,0]上的值域为:[2,+∞) , ∵|f(x)|没有最大值,∴函数 f(x)在(﹣∞,0]上不是有界函数; (2)当 x∈[1,4]时,f(x)是以 3 为上界的有界函数, 2 即|f(x)|=|x +2ax+2|在[1,4]上的最大值为 3. 也就是﹣3≤x +2ax+2≤3,即 则 当 x∈[1,4]时, . (当且仅当 x= 时等号成立) ;
2 2

对任意 x∈[1,4]恒成立.

当 x∈[1,4]时, ∴实数 a 的取值范围是

为减函数,最小值为 .



点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了二次函数的性质,考查了分离变量法,训练了 利用基本不等式和函数的单调性求函数的最值,是中档题.

21. (13 分)已知函数 f(x)= x+ ,h(x)=



(Ⅰ)若函数 h(x)= 图象上一点 A(4,h(4) ) ,则求在 A 点处的切线方程; 2 2 (Ⅱ)设函数 F(x)=18f(x)﹣x [h(x)] ,求 F(x)的单调区间与极值; (Ⅲ)设 a∈R,解关于 x 的方程 lg[ f(x﹣1)﹣ ]=2lgh(a﹣x)﹣2lgh(4﹣x) .

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点 切线方程. 专题: 分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求得 h(x)的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程,可得切线方程; (Ⅱ)首先求出 F(x)的解析式,求导,令导数大于 0 和小于 0,分别求出单调增区间和减 区间,从而可求极值. (Ⅲ)将方程转化为 lg(x﹣1)+2lg =2lg ,利用对数的运算法则,注意到真数大

于 0,转化为等价的不等式,分离参数 a,求解即可. 解答: 解: (Ⅰ)函数 h(x)= 的导数为 h′(x)= ,

在 A 点处的切线斜率为 k= ,切点为(4,2) , 即有在 A 点处的切线方程为 y﹣2= (x﹣4) , 即为 x﹣4y+4=0; (Ⅱ)F(x)=18f(x)﹣x [h(x)] =﹣x +12x+9(x≥0) , 2 即有 F′(x)=﹣3x +12, 令 F′(x)=0,得 x=2(x=﹣2 舍去) . 当 x∈(0,2)时.F′(x)>0;当 x∈(2,+∞)时,F′(x)<0, 故当 x∈[0,2)时,F(x)为增函数;当 x∈[2,+∞)时,F(x)为减函数. x=2 为 F(x)的极大值点,且 F(2)=﹣8+24+9=25. (Ⅲ)原方程变形为 lg(x﹣1)+2lg =2lg ,
2 2 3

?

?



①当 1<a≤4 时,原方程有一解 x=3﹣



②当 4<a<5 时,原方程有两解 x=3



③当 a=5 时,原方程有一解 x=3; ④当 a≤1 或 a>5 时,原方程无解. 点评: 本小题主要考查函数导数的应用、解方程等基础知识,考查函数与方程、分类与整 合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.


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