七桥问题与一笔画(空中课堂)

执教老师：叶浙俊

18世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄 罗斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共 建有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么 时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中 传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？ 最后是否仍能回到出发点？ 这就是数学史上著名的七桥问题。

D

A C

B

这个问题看起来是这样的简单，人人都乐意 是尝试，但没有找到合适的路线。 问题传开后，许多欧洲有学问的人也参与思 考，同样是一筹莫展，有人想到了当时正在俄国 圣彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮 助解决。 欧拉依靠他深厚的数学功底，运用娴熟的变 换技巧，经过一年的研究，于1736年递交了一份 题为《哥尼斯堡七座桥》的论文，圆满地解决了 这一问题。

（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 欧拉

欧拉出生在牧师家庭，自幼受到父亲的教育。13岁时入读 巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉是18世 纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把 数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的 数学家，圣彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十 七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环 境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁 边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目 失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间， 他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟大数学家高 斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了 解数学的最好方法．"

欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为：人们关 心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长 而桥则可 短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点， 以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转 化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。

A

B

?所谓图的一笔画，指的是：从图的一点出发，笔不离纸，

每条边都只画一次，不准重复。

能够一笔画的图形必须是连通图形。

偶点:与偶数条边相连的点叫偶点。

Ｂ 奇点:与奇数条边相连的点叫奇点。 Ｄ
Ｅ

Ａ

Ｆ

图形

奇点个数

偶点个数

能否一笔画

0 0 4 0

4 5 1 7

能 能 不能 能

1、奇点个数为0的连通图是一笔画图形。 可任选一点为起点，起点和终点为 同一点。

下面哪些图形可以一笔画出? A D A B D
(5)

C E

B

(6)

C

（ 7）

（8）

图形

奇点个数

偶点个数

能否一笔画

2 2 2 4

3 2 1

能 能 能 不能

5

2、奇点数为２，偶点数为任意的连通 图是一笔画图形。 可选其中一个奇点做起点，而终点一定 是另一个奇点，即一笔画后不可以回到 出发点。

现在七桥问题可以解决了吗？

A
四个点都是奇点

B

课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街 道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的 路线，使洒水车不重复地走过所有的街道， 再回到出发点？
小广场

超市

文具店

电器城

菜市场

服装城

课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图，能不能使游 人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设 在哪儿？

E ● D● ● C F ● ● B

G ●

A ●

下面这些图形，哪些是一 笔画，那些不是一笔画？

（1） （4）

（2） （5）

（3）

答案：
在上图中，能一笔画出的是（1）、 （2），画法见下图。
（2）

（1）

练一练
一.填空

1.图（1）中，有----个奇点；有----个偶点？ 2.图（2）中，有----个奇点；有----个偶点？ 3.图（3）中，有----个奇点；有----个偶点？ 4.图（4）中，有----个奇点；有----个偶点？

（1）

（2）

（3）

（4）

练一练
二.在下图中,哪个图形能一笔画出？哪个不能一 笔画出？能一笔画出的，请把他们画出来。

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

试一试
一、下面这个图形能一笔画出吗？

一笔画的规律小结
知 道 了 吗 ？
1. 一笔画必须是连通的（图形的 各部分之间连接在一起）； 2. 没有奇点的连通图形是一笔画， 画时可以以任一偶点为起点， 最后仍回到这点； 3. 只有两奇点的连通图形是一笔 画，画时必须以一个奇点为起 点，以另一个奇点为终点； 4. 奇点个数超过两个的不是一笔 画；

课后思考
3、 甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发， 乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？