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七桥问题与一笔画(空中课堂)


执教老师:叶浙俊

18世纪风景秀丽的哥尼斯堡(位于立陶宛与波兰之间,现属俄 罗斯)中有一条河,河的中间有两个小岛,河的两岸与两岛之间共 建有七座桥(如图),城中的居民经常沿河过桥散步,不知从什么 时候起,脚下的桥梁触发了人们的灵感,一个有趣的问题在居民中 传开了:谁能够一次走遍所有的7座桥,而且每座桥都只通过一次? 最后是否仍能回到出发点? 这就是数学史上

著名的七桥问题。

D

A C

B

这个问题看起来是这样的简单,人人都乐意 是尝试,但没有找到合适的路线。 问题传开后,许多欧洲有学问的人也参与思 考,同样是一筹莫展,有人想到了当时正在俄国 圣彼得堡科学院任职的天才数学家欧拉,请他帮 助解决。 欧拉依靠他深厚的数学功底,运用娴熟的变 换技巧,经过一年的研究,于1736年递交了一份 题为《哥尼斯堡七座桥》的论文,圆满地解决了 这一问题。

(Leonhard Euler 公元1707-1783年) 欧拉

欧拉出生在牧师家庭,自幼受到父亲的教育。13岁时入读 巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获得硕士学位。欧拉是18世 纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把 数学推至几乎整个物理的领域。此外,他是数学史上最多产的 数学家,圣彼得堡科学院为了整理他的著作,足足忙碌了四十 七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的,他可以在任何不良的环 境中工作,他常常抱着孩子在膝上完成论文,也不顾孩子在旁 边喧哗.他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神,使他在双目 失明以后, 也没有停止对数学的研究,在失明后的17年间, 他还口述了几本书和400篇左右的论文.19世纪伟大数学家高 斯(Gauss,1777-1855年)曾说:"研究欧拉的著作永远是了 解数学的最好方法."

欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为:人们关 心的只是一次不重复地走遍这七座桥,而并不关心桥的长 而桥则可 短和岛的大小,因此,岛和岸都可以看作一个点, 以看成是连接这些点的一条线。这样,一个实际问题就转 化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了。

A

B

?所谓图的一笔画,指的是:从图的一点出发,笔不离纸,

每条边都只画一次,不准重复。

能够一笔画的图形必须是连通图形。

偶点:与偶数条边相连的点叫偶点。

B 奇点:与奇数条边相连的点叫奇点。 D






图形

奇点个数

偶点个数

能否一笔画

0 0 4 0

4 5 1 7

能 能 不能 能

1、奇点个数为0的连通图是一笔画图形。 可任选一点为起点,起点和终点为 同一点。

下面哪些图形可以一笔画出? A D A B D
(5)

C E

B

(6)

C

( 7)

(8)

图形

奇点个数

偶点个数

能否一笔画

2 2 2 4

3 2 1

能 能 能 不能

5

2、奇点数为2,偶点数为任意的连通 图是一笔画图形。 可选其中一个奇点做起点,而终点一定 是另一个奇点,即一笔画后不可以回到 出发点。

现在七桥问题可以解决了吗?

A
四个点都是奇点

B

课堂练习
1、 一辆洒水车要给某城市的街道洒水,街 道地图如下:你能否设计一条洒水车洒水的 路线,使洒水车不重复地走过所有的街道, 再回到出发点?
小广场

超市

文具店

电器城

菜市场

服装城

课堂练习
2、 下图是一个公园的平面图,能不能使游 人走遍每一条路不重复?入口和出口又应设 在哪儿?

E ● D● ● C F ● ● B

G ●

A ●

下面这些图形,哪些是一 笔画,那些不是一笔画?

(1) (4)

(2) (5)

(3)

答案:
在上图中,能一笔画出的是(1)、 (2),画法见下图。
(2)

(1)

练一练
一.填空

1.图(1)中,有----个奇点;有----个偶点? 2.图(2)中,有----个奇点;有----个偶点? 3.图(3)中,有----个奇点;有----个偶点? 4.图(4)中,有----个奇点;有----个偶点?

(1)

(2)

(3)

(4)

练一练
二.在下图中,哪个图形能一笔画出?哪个不能一 笔画出?能一笔画出的,请把他们画出来。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

试一试
一、下面这个图形能一笔画出吗?

一笔画的规律小结
知 道 了 吗 ?
1. 一笔画必须是连通的(图形的 各部分之间连接在一起); 2. 没有奇点的连通图形是一笔画, 画时可以以任一偶点为起点, 最后仍回到这点; 3. 只有两奇点的连通图形是一笔 画,画时必须以一个奇点为起 点,以另一个奇点为终点; 4. 奇点个数超过两个的不是一笔 画;

课后思考
3、 甲乙两个邮递员去送信,两人同时出发以 同样的速度走遍所有的街道,甲从A点出发, 乙从B点出发,最后都回到邮局(C点)。如果 要选择最短的线路,谁先回到邮局?


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