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广东省高州市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 理


2015—2016 学年度第二学期期中试 高一理科数学
一、选择题(本题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.为了解全班 80 名学生的身高情况,从中抽取 10 名学生进行测量,下列说法正确的是: A.总体是 80 C.样本是 10 名学生 B.个体是每一个学生 D.样本容量是 10
<

br />2.若 x ? ? ?4, 4? ,则不等式 log 2 x ? 1 成立的概率是: A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

3 4

3. sin ? ?

? 19 ? ??? ? 6 ?
1 2
B. ?

A.

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

4.已知角 ? 的终边过点 P ? 3, ?4? ,则 sin ? ? cos ? ? A.

1 5
1 6

B. ?

1 5

C.

3 5

D.

7 5

5.从 1,2,3,6 这四个数中一次随机地取 2 个数,则所取两个数乘积为 6 的概率: A. B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

6.从编 号为 0,1,2,?,79 的 80 件产品中,采用系统 抽样的方法抽取容量是 5 的样本,若编号为 28 的产品 在样本中,则该样本中产品的最大编号为: A.76 B.77 C.78 D.79

7.执行如图所示的程序框图,若输出的

S?

11 ,则判断框内填入的条件是: 12 A. k ? 5 B. k ? 5
C. k ? 6 D. k ? 6

8.下图是某样本数据的茎叶图,则该样本的中位数,众数,极差分别为: A.32,34,12 B.33,45,12 1 2 3 4 2 5 0 233 1 24489 5 557
1

C.33,45,35 D.34,45,35

9.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数, x ? 3 , y ? 3.5 ,则由该观测数据算得 的线性回归方程可能是: A. ? y ? 0.4x ? 2.3 C. ? y ? ?2x ? 9.5 10.已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? B. ? y ? 2x ? 2.4 D. ? y ? ?0.3x ? 4.4

? ?

??

? ,则下列结论正确的是: 4?

A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? B.函数 f ? x ? 的图象关于点 ? C.函数 f ? x ? 在区间 ?

?? ? , 0 ? 对称 ?4 ?

?? 5 ? , ? ? 上单调递增 ?8 8 ?

? 个单位长度可以得到函数 y ? sin 2 x 的图象 8 ? ???? ???? 1 ??? 11.已知 MA ? ? ?2, 4 ? , MB ? ? 2,6 ? ,则 AB 的坐标是: 2
D.由函数 f ? x ? 的图象向右平移 A. ?1, 2 ? B. ? 2,1? C. ? 0,1? D. ? 4, 2 ?

12.已知角 ? 的终边经过点 P ?1,1? ,函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? , ?? ? 0? 的图象的相邻两条对称轴 之间的距离等于

? ,则 3
B. ?

?? ? f ? ?? ?6?
C.

A. ?

2 2

3 2

2 2
?

D.

3 2
? ?

二、填空题(每 题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 2 ,则 2a ? b ?

?

?

?



14.某产品分一、二、三级,其中一、二级是正品,若生产中出现正品的概率是 0.9,二级品的概 率为 0.2,则出现一级品和三级品的概率分别是 , 。

2

15.若

sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ?? ? sin ? 2? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ?2 ?

? 2 ,则 tan ? ?



16.记 集合 A ?

?? x, y ? ?1 ? x ? 1, ?1 ? y ? 1? ,集合 B ? ?? x, y ? x

2

? y 2 ? 1 ,所表示的平面区域


?

P 落在区域 P 分别为 P 1 ,P 2 ,若在 P 1 内任取一点 P ? x, y ? ,则点 2 内的概率为
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17. (本题满分 12 分) 已知圆 C : x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l : ax ? y ? 2a ? 0 ⑴当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; ⑵当直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 2 时,求直线 l 的方程。

18. (本题满分 12 分) 某单位 N 名员工参加“全民健身”活动,他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间,按年龄分组,第 1 组 ? 25,30? ,第 2 组 ?30,35? ,第 3 组 ?35,40? ,第 4 组 ? 40,45? ,第 5 组 ? 45,50? ,得到的频率分 布直方图如图所示:

3

下表是年龄的频率分布表: 区间 人数

?25,30?
25

?30,35?
a

?35,40?
b

?40,45?

?45,50?

⑴求正整数 a , b , N 的值; ⑵现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法 抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人 分别抽取多少人? ⑶在⑵的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加某项活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率。

19. (本题满分 10 分) 设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ⑴求 f ? 0 ? ; ⑵求函数 f ? x ? 的解析式; ⑶已知 f ?

? ?

??

? ? , ? ? 0 , x ? R ,且以 2 为最小正周期。 6?

?? ? ? 9 ? ? ? ,求 sin ? 的值。 ? 4 12 ? 5

20. (本题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 6 位市民,根据这 6 位市民对这两部门的 评分(评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图如下: 甲部门 9 8 7 6 0 0 8 9 10 乙部门 9 8 8 8 9 0

⑴分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; ⑵分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分高于 96 的概率; ⑶根据茎叶图,从平均数、方差两方面分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 21. (本题满分 12 分) 由于空气污染严重,为了探究车流量与 PM 2.5 的浓度与污染是否相关,现采集某城市 2015 年 12 月份星期一到星期日某一时间段车流量与 PM 2.5 的数据如下表: 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日

4

车流量 x (万辆)

1 27

2 31

3 35

4 41

5 49

6 56

7 62

PM 2.5 的浓度 y (微
克/立方米)

⑴画出车流量和 PM 2.5 浓度的散点图; ⑵求 y 关于 x 的线性回归方程; ⑶(i)利用所求回归方程,预测该市车流量为 8 万辆时, PM 2.5 的浓度。 (ii)规定当一天内 PM 2.5 浓度平均值 在 ? 0,50? 内,空气质量等级为 优;当一天内

PM 2.5 的浓度平均值在 ?50,100? 内,空气质
量等级为良,为使该市某日空气质量等级为优或良,则应控制当天车流量在多少万辆以内(结果以 万辆为单位,保留整数)?

?? ? ?a ? ,b (参考公式:回归直线方程: ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2 i

? nx

2

? ? y ? bx ? , ,a

?x y
i ?1 i

7

i

? 1373 ,

?x
i ?1

7

2 i

? 140 )

5

22. (本题满分 12 分) 已知曲线 y ? A sin ?? x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0? 上的一个最高点的坐标为 ?

?? ? , 2 ? ,由此点到相邻 ?2 ?

最低点间的曲线与 x 轴交于点 ? ? , 0 ? ,若 ? ? ? ? ⑴求这条曲线的函数解析式; ⑵求函数的单调增区间; ⑶当 x ? ?0,

?3 ?2

? ?

? ? ?? , ?。 ? 2 2?

? 2 ? ? 时,求函数的最大值。 ? 3 ? ?

6

2015—2016 学年度第二学期期中试 高一理科数学

一、选择题(本题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分。 ) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 A 7 D 8 C 9 A 10 D 11 B 12 C

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、 2 3 14、0.7 0.1 15、

1 3

16、

? 4

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17、解:将圆 C 的方程 x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 配方,
2 得到标准方程: x ? ? y ? 4 ? ? 4 2

????1 分 ????2 分

∴圆心 ? 0, 4 ? ,半径 r ? 2 ⑴若直线 l 与圆 C 相切, ∴

4 ? 2a a2 ? 1

?2

????4 分

3 4 ⑵过圆心 C 作 CD ? AB 于点 D
∴a ? ? 根据题意和圆的性质

????5 分 ????6 分

? 4 ? 2a ? CD ? a2 ? 1 ? 2 2 2 ? 有 ? CD ? DA ? AC ? 4 ? ? DA ? 1 AB ? 2 2 ? ?
解得 a ? ?7 或 a ? ?1

????9 分

????11 分 ????12 分

∴直线 l 的方程为 7 x ? y ? 14 ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0

18、解:⑴由题中的频率分布直方图可知:

a ? 25 , b ? 25 ?
总人数 N ?

0.08 ? 100 0.02
????3 分

25 ? 250 0.02 ? 5

7

⑵因为第 1,2,3 组共有 25 ? 25 ? 100 ? 150 人,利用分层抽样在 150 名员工 中抽取 6 人,每组抽取的人数分别为:

25 ? 1 (人) 150 25 ? 1 (人) 第 2 组: 6 ? 150 100 ? 4 (人) 第 3 组: 6 ? 150
第 1 组: 6 ? 第 3 组的 4 人为 C1 , C2 , C3 , C4 则从 6 人中抽 取 2 人的所有可能结果为:

????6 分

⑶由⑵可设第 1 组的 1 人为 A,第 2 组的 1 人为 B, ????7 分

? A, B? , ? A, C1 ? , ? A, C2 ? , ? A, C3 ? , ? A, C4 ? , ? B, C1 ? , ? B, C2 ? , ? B, C3 ? , ? B, C4 ? , ?C1, C2 ? , ?C1, C3 ? , ?C1, C4 ? , ?C2 , C3 ? , ?C2 , C4 ? , ?C3 , C4 ? ,
共 15 种 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所结果为: ????9 分

? A, C1 ? , ? A, C2 ? , ? A, C3 ? , ? A, C4 ? , ? B, C1 ? , ? B, C2 ? , ? B, C3 ? , ? B, C4 ? ,共 8 种
∴恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为: 19、解:⑴∵ f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ∴ f ? 0 ? ? 3sin ????11 分 ????12 分

8 15

? ?

??
? 6?
????2 分

?
6

?

3 2

⑵∵函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ∴T ?

? ?

??

? ? 以 2 为最小正周期 6?

2?

?

?

?
2
????4 分

∴? ? 4 ∴ f ? x ? 的解析式: f ? x ? ? 3sin ? 4 x ?

? ?

??
? 6?

????5 分

⑶∵ f ?

?? ? ? 9 ? ?? ? 4 12 ? 5
8

∴ 3sin ? 4 ?

? ?? ? ? ? ? 9 ? ?? ? ? ? ? 4 12 ? 6 ? 5
? ?

????6 分

即: sin ? ? ?

??
3 5

3 ?? 2? 5
????8 分

∴ cos ? ?

又∵ sin ? ? ? 1 ? cos2 ?

?3? ? ? 1? ? ? ?5?
??
∴ sin ? ? ?

2

4 5
????10 分

4 5

20、解:⑴由所给茎叶图知,6 位市民对甲部门评分 由小到大排序为:88,89,96,97,100,100, ∴对甲部门评分的样本中位数为:96.5 6 位市民对乙部门评分由小到大排序为: 89,98,98,98,99,100, ∴对乙部门评分的样本中位数为:98 ∴该市的市民对甲、乙两部门评分的中位 数的估计值分别为 96.5 和 98。 ⑵由所给茎叶图知,6 位市民对甲、乙部门的 评分高于 96 的比率分别为: ????3 分 ????2 分 ????1 分

3 1 5 ? 和 6 2 6
∴该市的市民对甲、乙两部门的评分 高于 96 的 概率估计值分别为: ⑶平均数: x甲 ?

????5 分

1 5 和 2 6

????6 分 ????7 分 ????8 分

1 ?88 ? 89 ? 96 ? 97 ? 100 ? 100 ? ? 95 6 1 x乙 ? ? 89 ? 98 ? 98 ? 98 ? 99 ? 100 ? ? 97 6

方差:
2 S甲 ?

1 2 2 2 2 2 2 ?88 ? 95? ? ?89 ? 95? ? ? 96 ? 95? ? ? 97 ? 95 ? ? ?100 ? 95 ? ? ?100 ? 95 ? 6 70 ? ????9 分 3

?

?

9

2 S? ?

1 2 2 2 2 2 2 ?89 ? 97 ? ? ? 98 ? 97 ? ? ? 98 ? 97 ? ? ? 98 ? 97 ? ? ?99 ? 97 ? ? ?100 ? 97 ? 6 40 ? ????10 分 3

?

?

2 2 ∴由茎叶图和计算可知: x甲 ? x乙 , S甲 ? S乙

∴说明该市的市民对甲部门的评价较低,评价差异较大, 对乙部门的评价较高,评价较为一致。 21、解:⑴车流量与 PM 2.5 浓度的散点图如下所示: ????12 分

????3 分 ⑵由已知数据可得:

x?

1 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? ? 4 7 1 y ? ? 27 ? 31 ? 35 ? 41 ? 49 ? 56 ? 62 ? ? 43 7
????5 分
7

?? ∴b

? x y ? 7x y
i ?1 7 i i

?x
i ?1

2 i

? 7x

2

1373 ? 7 ? 4 ? 43 140 ? 7 ? 4 ? 4 169 ? 28 ? ? y ? bx ? ? 132 ∴a 7 ? y? ∴ y 关于 x 的线性回归方程为: ?
∴ ⑶(i)当车流量是 8 万辆时:

??????6 分

169 132 x? 28 7

????8 分

y? 即当 x ? 8 时, ?

169 132 470 ?8 ? ? 28 7 7
10

∴当车流量为 8 万辆时, PM 2.5 的浓度是

470 微克/立方米。 7
????10 分

(ii)由题意得:

169 132 x? ? 100 28 7 即 x ? 13.44
∴为使该市某天空气质量等级为优或良,应控制 当天车流量在 13 万辆以内。 ????12 分 ????1 分 ????2 分

22、解:⑴依题意: A ? 2

?? ?3 T ? 4 ? ? ? ? ? ? 4? 2? ?2
∵T ? ∴? ? ∴y?

2?

?
1 2

? 4? , w ? 0
????3 分

?1 ? 2 sin ? x ? ? ? ?2 ? ?? ? , 2? ?2 ?

又∵曲线上的最高点为 ?

∴ sin ? ? ∴? ? ∴? ?

?1 ? ? ?? ? ?1 ?2 2 ?

?
?
4 4

? 2 k? ?

?
2

,k ? z ????5 分

∴函数解析式为: y ? ⑵令 2k? ?

?? ?1 2 sin ? x ? ? 4? ?2

????6 分

?

2 3 ? ∴ 4 k ? ? ? ? x ? 4 k? ? , k ? z 2 2
∴函 数 f ? x ? 的单调增区间为:

?

1 ? ? x ? ? 2 k? ? , k ? z 2 4 2

? ???8 分

3 ?? ? 4k? ? ? , 4k? ? ? , k ? z ? 2 2? ?

????9 分

11

⑶∵ ∴

∴当

1 ? ? ? x ? ? 时,即 x ? 时, 2 4 2 2

2 0? x? ? 3 1 1 0? x? ? 2 3 ? 1 ? 7 ? x? ? ? 4 2 4 12

????10 分

函数 y ?

?? ?1 2 sin ? x ? ? 取得最大值, 4? ?2
2 sin

且最大值为: y ?

?
2

? 2

????12 分

12


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