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人教版必修3第二章统计知识点


人教版高中数学必修三第二章统计知识点总结 2.1 随机抽样
2.1.1 简单随机抽样
教学目标:1.结合实际问题情景,理解随机抽样的必要性和重要性 2.学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本 教学重点:学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本

1.总体和样本
在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体. 把每个研究对象叫做个体.

把总体中个体的总数叫做总体容量. 为了研究总体 的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分: 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量. , , ,

2.简单随机抽样
一般地,设总体中有N个个体,从中 逐个不放回地 ( n ≤N),如果每次抽取时总体中的各个个体 做简单随机抽样. 特点:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间 无一定的关联性和排斥性。 简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。 通常只是在总体单位 之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。 简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法; 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 (2)随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取 10 位同学参加某项活动。 例题 例 1 为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问 题,下列说法中正确的有 ; ① 2000 名运动员是总体;②每个运动员是个体;③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100 ;⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样;⑥每个运动员被抽到的概 率相等。 抽取 n 个个体作为样本 就把这种抽样方法叫

被抽到的机会都相等

例 2 下面抽取样本的方式是简单随机抽样吗?为什么? (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本; (2)箱子里共有 100 个零件,从中选取 10 个零件进行检验,从中任取一个零件进行检验 后,再把它放回箱子里; (3)从 50 个个体中,一次性抽取 5 个个体作为样本; (4)从某班 45 名同学中指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的某项活动;

1.从 60 个产品中抽取 6 个进行检查,则总体个数为______,样本容量为______. 2.要检查一个工厂产品的合格率,从 1000 件产品中抽出 50 件进行检查,检查者在其中随意 取了 50 件,这种抽法为____________________. 3.福利彩票的中奖号码是由 1~36 个号码中,选出 7 个号码来按规则确定中奖情况,这种从 36 个选 7 个号的抽样方法是__________. 4.对于简单随机抽样,个体被抽到的机会 A.相等 B.不相等 C.不确定 D.与抽样次数有关 ( C.逐一抽取 D.抽取不放回 ) ( )

5. 抽签中确保样本代表性的关键是 A.制签 B.搅拌均匀

6.用随机数法从 100 名学生(男生 25 人)中抽取 20 人进行某项活动,某男生被抽到的几率是 A.

1 100

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 4

(

)

7.从某批零件中抽取 50 个,然后再从 50 个中抽出 40 个进行合格检查,发现合格品有 36 个, 则该批产品的合格率为 A.36﹪ B. 72﹪ C.90﹪ D.25﹪ ( )

8.某校有 40 个班,每班 50 人,每班选项派 3 人参加学代会,在这个问题中样本容量是. A. 40 B.50 C. 120 D. 150 ( ( ) )

9.在简单随机抽样中,某一个个体被抽中的可能性是 A.与第几次抽样有关,第 1 次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等 C.与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性大些 D.与第几次抽样无关,每次都是等可能的抽取,但各次抽取的可能性不一样

10.某校期末考试后,为了分析该校高一年级 1000 名学生的学习成绩,从中随机抽取了 100

名学生的成绩单,就这个问题来说,下面说法正确的是 A.1000 名学生是总体 C.100 名学生的成绩是一个个体 B.每个学生是个体 D.样本的容量是 100





11. 对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为 30 的样本, 若每个零件被抽取的可能性为 25%, 则N 为 A. 150 B.200 C.100 D.120 ﹙ ﹚

12.已知总容量为 160,若用随机数表法抽取一个容量为 10 的样本.下面对总体的编号正确的 是 A. 1,2,?,106 B. 0,1,?,105 C.00,01,?,105 ( )

D. 000,001,?,105

13.某地有 2000 人参加自学考试,为了了解他们的成绩,从中抽取一个样本,若每个考生被抽 到的概率都是 0.04,则这个样本的容量是_______________. 14.从含有 500 个个体的总体中一次性地抽取 25 个个体,假定其中每个个体被抽到的概率相 等,那么总体中的每个个体被抽取的概率等于_________. 15. 要从某汽车厂生产的 100 辆汽车中随机抽取 10 辆进行测试,请选择合适的抽样方法, 写出抽样过程。

16.从个体总数 N=500 的总体中,抽取一个容量为 n=20 的样本,使用随机数表法进行抽选,要 取三位数,写出你抽取的样本,并写出抽取过程.(起点在第几行,第几列,具体方法)

2.1.2 系统抽样
教学目标:1.结合实际问题情景,理解系统抽样的必要性和重要性 2.学会用系统抽样的方法从总体中抽取样本 教学重点:学会用系统抽样的方法从总体中抽取样本

1.系统抽样
当总体中的个体数较多时,将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从 每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这样的抽样叫做系统抽样. 步骤: (1)先将总体中的 N 个体编号.有时可直接利用个体自身所带的号码.

(2)确定分段间隔 K。对编号均衡地分段,

n n 是整数时, K ? ; N N

n 不是整数时,从 N 中剔除一些个体,使得其为整数为止。 N
(3)第一段用简单随机抽样确定起始号码 l。 (4)按照规则抽取样本:l;l+k;l+2k;……;l+nk 前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究 变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的 特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距 离重合。 系统抽样时,将总体中的个体均分后的每一段进行抽样时,采用简单随机抽样;系统抽 样每次抽样时,总体中各个个体被抽取的概率也是相等的;如总体的个体数不能被样本容量 整除时,可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体,然后再按系统抽样进行。需要说明 的是整个抽样过程中每个个体被抽到的概率仍然相等。

2.例子:
(1)某工厂平均每天生产某种机器零件大约 10000 件,要求产品检验员每天抽取 50 件零件,检查其质量情况。假设一天的生产时间中生产的机器零件数是均匀的,请你设计一 个调查方案 (2)某装订厂平均每小时大约装订图书 362 册,要求检验员每小时抽取 40 册图书,检 查其质量状况,请你设计一个调查方案. (3)调查某班学生的身高情况,利用系统抽样的方法样本容量为 40,这个班共分 5 个 组,每个组都是 8 名同学,他们的座次是按身高进行编排的。李莉是这样做的,抽样距是 8, 按照每个小组的座次进行编号。你觉得这样做有代表性么? (4)在(3)中,抽样距是 8,按身全班身高进行编号,然后进行抽样,你觉得这样做 有代表性么?

例 1 下列抽样中不是系统抽样的是(



A. 从号码为 1~15 的 15 个球中任选 3 个作为样本,现在 1~5 号球中用抽签法抽出 i0 号, 再将号码为 i0 ? 5 , i0 ? 10 的球也抽出 B. 工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间的过程中,检查人员从传送带上每

5min 抽取意见产品进行检验 C. 搞某项市场调查,规定在商场门口随机地抽取一个人进行询问,知道调查到事先规定 的调查人数为止 D. 某电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来 座谈 例 2 某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指 标,需从他们中间抽取一个容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是 A. 简单随机抽样 C. 分层抽样 B. 系统抽样 D. 先从老年人中剔除 1 人,再用分层抽样 ( )

3.1.3 分层抽样
教学目标:1.结合实际问题情景,理解分层抽样的必要性和重要性 2.学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本 教学重点:学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本 通常,当总体是由个体差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样的方法。

1.分层抽样:
一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地 抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样。 步骤: 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志 (性别、 年龄等) 划分成若干类型或层次, 然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的办法抽取一个子样本, 最后, 将 这些子样本合起来构成总体的样本。

2. 两种方法:
1)先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2)先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最 后用系统抽样的方法抽取样本。

例题 例 1 某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽取一个容量 为 185 的样本,已知在高一年级抽取了 75 人,高二年级抽取了 60 人,则高中部共有多 少学生?

1.一般地,在抽样时,将总体分成________的层,然后按一定的比例,从各层独立地_______, 将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫做___________. 2.为了解 1200 名学生对学校教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 30 的样本,考虑采 用系统抽样,则分段的间隔 k 为 A.40 B.30 C.20 D.12 ) ( )

3.从 N 个编号中要抽取 n 个号码入样,若采用系统抽样方法抽取,则分段间隔应为 ( A.

N n

B. n

C. ?

?N ? ?n? ?

D. ?

?N ? ?1 ?n? ?

4.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的 92 家销售连锁店中抽取 30 家了解情况,若 用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为 A . 3,2 B. 2,3 C. 2,30 D. 30,2 ( )

5.某工厂生产的产品,用速度恒定的传送带将产品送入包装车间之前,质检员每隔 3 分钟从传 送带上是特定位置取一件产品进行检测,这种抽样方法是 A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.其它抽样方法 ( ).

6.一个年级有 12 个班,每个班有 50 名学生,随机编号为 1~50,为了了解他们在课外的兴趣, 要求每班第 40 号同学留下来进行问卷调查,这里运用的抽样方法是 A. 分层抽样 B.抽签法 C.随机数表法 D.系统抽样法 ( ).

7.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点.公司为 了调查产品销售情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为 ①;在丙地区有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务等情况, 记这项调查为②,则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法 ( ).

8.我校高中生共有 2700 人,其中高一年级 900 人,高二年级 1200 人,高三年级 600 人,现采 取分层抽样法抽取容量为 135 的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为 A.45,75,15 B. 45,45,45 C.30,90,15 D. 45,60,30 ( )

9.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况的某项指标, 需从他们中间抽取一个容量为 36 的样本,则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数 是 A. 6,12,18 B. 7,11,19 C. 6,13,17 D. 7,12,17 ( )

10.某班的 78 名同学已编号 1,2,3,?,78,为了解该班同学的作业情况,老师收取了学号能被 5 整除的 15 名同学的作业本,这里运用的抽样方法是 A.简单随机抽样法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.抽签法 ( ).

11.一单位有职工 80 人,其中业务人员 56 人,管理人员 8 人,服务人员 16 人,为了解职工的 某种情况,决定采用分层抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本,每个管理人员被抽到的频 率为 A. 1/80 B. 1/24 C. 1/10 D. 1/8 ( ).

12.一个年级共有 20 个班,每个班学生的学号都是 1~50,为了交流学习的经验,要求每个 班学号为 22 的学生留下,这里运用的是.
A. 分层抽样法 B. 抽签法 C. 随机抽样法 D. 系统抽样法





13.为了保证分层抽样时每个个体等可能的被抽取,必须要求.
A. .不同层次以不同的抽样比抽样 B. 每层等可能的抽样 C. 每层等可能的抽取一样多个个体,即若有 K 层,每层抽样 n 个, n ? n k 。 0 0





D.每层等可能抽取不一样多个个体, 各层中含样本容量个数为 ni ? n

Ni ﹙ i ? 1, 2,....k ﹚, N

即按比例分配样本容量,其中 N 是总体的个数, Ni 是第 i 层的个数,n 是样本总容量. 14.某学校有在编人员 160 人,其中行政人员 16 人,教师 112 人,后勤人员 32 人,教育部 门为了解决学校机构改革意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本,若用分层抽样法,则行 政人员应抽取__人,教师应抽取__人,后勤人员应抽取__人 15.某校高一、高二、高三,三个年级的学生人数分别为 1500 人,1200 人和 1000 人,现采 用按年级分层抽样法了解学生的视力状况,已知在高一年级抽查了 75 人,则这次调查三 个年级共抽查了___人。

16.某公司生产三种型号的轿车,产量分别是 1200 辆、6000 辆和 2000 辆,为检验公司的产 品质量,现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取__、 __、__辆。 17.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2 :3 :5.现用分层抽 样方法抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 种型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n ?

18.某学校共有教师 490 人,其中不到 40 岁的有 350 人,40 岁及以上的有 140 人,为了解普通 话在该校教师中的推广普及情况,用分层抽样的方法,从全体教师中抽取一个容量为 70 人 的样本进行普通话水平测试,其中不到 40 岁的教师中应抽取的人数是___________. 19.某地区有农民、工作、知识分子家庭共计 2004 户,其中农民家庭 1600 户,工人家庭 303 户.现要从中抽出容量为 40 的样本,则在整个抽样过程中,可以用到下列抽样方法中 的 .(将你认为正确的序号都写上) ① 简单随机抽样;②系统抽样;③分层抽样. 1 , 2, 3, ?, 99 ,依编号顺序平均分成 10 个小组, 20.一个总体中共有 100 个个体,随机编号 0, , 2, 3, ?, 10 .现用系统抽样的方法抽取一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组号依次为 1 组随机抽取的号码为 m ,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m ? k 的个位数字相同.若 m ? 6 ,则在第 7 组中抽取的号码是 . 21.从含有 100 个个体的总体中抽取 10 个个体,请用系统抽样法给出抽样过程

22.一个单位的职工有 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35~49 岁的有 280 人,50 岁以上 的有 95 人.为了了解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽取 100 名职工作为样本, 应该怎样抽取?

2.2 用样本估计总体
2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布

重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图。 难点:能通过样本的频率分布估计总体的分布。

1.频率分布的概念:
频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。 一般用频率分布直方图 反映样本的频率分布。其一般步骤为: 1) 计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差 2) 决定组距与组数 3) 将数据分组 4) 列频率分布表 5) 画频率分布直方图 例 1: 下表给出了某校 500 名 12 岁男孩中用随机抽样得出的 120 人的身高(单位cm)

区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) 人数 5 8 10 22 33 20 区间界限 [146,150) [150,154) [154,158) 人数 11 6 5
(1)列出样本频率分布表﹔ (2)一画出频率分布直方图; (3)估计身高小于 134cm的人数占总人数的百分比.。 分析:根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。 解:(1)样本频率分布表如下:

分组 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) [142,146) [146,150) [150,154) [154,158) 合计
(2)其频率分布直方图如下: 频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 o

频数 5 8 10 22 33 20 11 6 5 120

频率 0.04 0.07 0.08 0.18 0.28 0.17 0.09 0.05 0.04 1

122

126

130

134

138

142

146

150

154

158

身高(cm)

(3)由样本频率分布表可知身高小于 134cm 的男孩出现的频率为 0.04+0.07+0.08=0.19,所 以我们估计身高小于 134cm 的人数占总人数的 19%. 例 2:为了了解高一学生的体能情 频率/组距 况,某校抽取部分学生进行一分钟跳 绳次数次测试,将所得数据整理后, 0.036 画出频率分布直方图(如图), 图中从 0.032 左到右各小长方形面积之比为 2:4: 0.028 17:15:9:3,第二小组频数为 12. (1) 第二小组的频率是多少?样本 0.024 容量是多少? 0.020 (2) 若次数在 110 以上(含 110 次) 0.016 为达标,试估计该学校全体高一 0.012 学生的达标率是多少? 0.008 (3) 在这次测试中,学生跳绳次数的 中位数落在哪个小组内?请说 0.004 明理由。
o 分析:在频率分布直方图中,各小长 90 100 110 120 130 140 150 次数 方形的面积等于相应各组的频率, 小 长方形的高与频数成正比,各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。

2、频率分布折线图、总体密度曲线
频率分布折线图: 连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点, 就得到频率分布折线 图。 总体密度曲线: 在样本频率分布直方图中, 相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲线, 统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线。 它能够精确地反映了总体在各个范围内取值 的百分比,它能给我们提供更加精细的信息。

3、茎叶图
(1)茎叶图的概念: 当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边 的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物 茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图。 (2)茎叶图的特征: a、用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数 据信息都可以从茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记 录与表示。 b、茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个 以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。 例题 1.在频率分布直方图中,小矩形的高表示 A.频率/样本容量 B.组距×频率 C.频率 D.频率/组距 ( )

2.频率分布直方图中,小长方形的面积等于 A.相应各组的频数 C.组数 B.相应各组的频率 D.组距

(

)

3.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,已知不超过 70 分的 人数为 8 人,其累计频率为 0.4,则这样的样本容量是 A. 20 人 B. 40 人 C. 70 人 D. 80 人 ( ) ( )

4.研究统计问题的基本思想方法是 A.随机抽样 B.使用先进的科学计算器计算样本的频率等 C.用小概率事件理论控制生产工业过程 D.用样本估计总体 5.下列说法正确的是 A.样本的数据个数等于频数之和 B.扇形统计图可以告诉我们各部分的数量分别是多少

(

)

C.如果一组数据可以用扇形统计图表示,那么它一定可以用频数分布直方图表示 D.将频数分布直方图中小长方形上面一边的一个端点顺次连结起来 ,就可以得到频数折 线图 6.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别是 40,0.125,则 n 的值为 A. 640 B.320 C.240 D. 160 ( )

7.一个容量为 20 的样本数据,分组后组距为 10,区间与频数分布如下:

?10,20? ,2; ? 20,30? ,3; ?30,40? ,4; ? 40,50? ,5; ?50,60? ,4; ? 60,70? ,2.
则样本在 ? ??,50? 上的频率为 A. ( )

1 20

B.

1 4

C.

1 2

D.

7 10

8 已知样本:12,7,11,12,11,12,10,10,9,8,13,12,10,9,6,11,8,9,8,10,那么频率为 0.25 的样本的范围是 A. ?5.5,7.5? B. ( )

?7.5,9.5?
C. 6

C. ?9.5,11.5?

D. ?11.5,13.5?

9.个容量为 32 的样本,已知某组样本的频率为 0.125,则该组样本的频数为. A. 2 B. 4 D. 8 ( )

10.在抽查产品尺寸的过程中,将其尺寸分成若干组.

? a, b ? 是其中的一组,抽查出的个体在
( )

该组上的频率为 m,该组上的直方图的高为 h,则 | a ? b | = A. hm B.

m h

C.

h m

D. h ? m

11.对 50 个求职者调查录用情况如下: 12 人录用在工厂;8 人录用在商店;2 人录用在市政公 司;3 人录用在银行;25 人没有被录用.那么工厂和银行录用求职者的总概率为________. 12.为了了解中学生的身高情况,对育才中学同龄的 50 名男学生的身高进行了测量,结果如 下:(单位:cm) 175 171 166 174 170 168 171 166 172 172 180 174 163 166 165 176 173 169 172 157 167 174 174 167 172 181 175 165 172 173 162 177 175 175 166 173 166 165 161 177 171 163 170 173 169 177 160 158 167 181

列出样本的频率分布表,画出频率分布直方图.

13.某中学高二(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩如下: 甲的得分:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,130,98,114,98,79,101. 画出两人数学成绩茎叶图,请根据茎叶图对两人的成绩进行比较.

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
重点:用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。 难点:能应用相关知识解决简单的实际问题。

1、众数、中位数、平均数
众数:在频率分布直方图中,用最高的矩形的中点的横坐标来估计众数; 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和; 中位数:在频率分布直方图中,矩形的面积大小正好表示频率的大小,即中位数左边和右边 的直方图的面积应该相等。

2、标准差、方差
1)标准差 样本数据 x1, x2, ?, xn 的标准差的算法: (1) 、算出样本数据的平均数 x 。 (2) 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差: xi ? x(i ? 1, 2,?n) (3) 、算出(2)中 xi

? x(i ? 1,2,?n) 的平方。

(4) 、算出(3)中 n 个平方数的平均数,即为样本方差。 (5) 、算出(4)中平均数的算术平方根,,即为样本标准差。 其计算公式为:

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

显然,标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小。 2)方差 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 s (即方差)来代替标准差,作为测量 样本数据分散程度的工具:
2

s2 ?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n

在刻画样本数据的分散程度上,方差和标准差是一样的,但在解决实际问题时,一般多 采用标准差。 例 1 若 x1 , x2 ,? xn ,和 y1 , y2 ,? yn 的平均数分别是 x 和 y ,那么下各组的平均数各

为多少。 ①2 x1 ,2 x2 ,?2 xn ③ x1 + a , x2 + a ,? xn + a ② x1 + y1 , x2 + y2 ,? xn + yn ( a 为常数)

1.如果 5 个数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的平均数是 7 ,那么 x1 +1, x2 +1, x3 +1, x4 +1, x5 +1 这 5 个 数的平均数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.下面说法: ①如果一组数据的众数是 5,那么这组数据中出现次数最多的数是 5; ②如果一组数据的平均数是 0,那么这组数据的中位数为 0 ; ③如果一组数据 1,2, x ,4 的中位数是 3 ,那么 x =4; ④如果一组数据的平均数是正数,那么这组数据都是正数 其中错误的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3. 一组数据 12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 的中位数是 ( ) A.31 B.36 C.35 D.34 4.某农科所种植的甲、乙两种水稻,连续六年在面积相等的两块稻田中作对比试验,试验得
2 2 出平均产量是 x甲 = x乙 =415 ㎏,方差是 s甲 =794, s乙 =958,那么这两个水稻品种中产量比较

稳定的是 ( ) A.甲 B.乙 C.甲、乙一样稳定 D.无法确定 5.对一射击选手的跟踪观测,其环数及相应频率如下: 环数 6 7 8 9 10 频率 15% 25% 40% 10% 10% 求该选手的平均成绩__________。 6.五个数 1,2,3,4, a 的平均数是 3 ,则 a =_______,这五个数的标准差是___________. 7.已知 2,4,2 x ,4 y 四个数的平均数是 5 而 5,7,4 x ,6 y 四个数的平均数是 9,则 x y 的值是 ___________. 8.已知样本数据 x1 , x2 ,? xn 的方差为 4,则数据 2 x1 +3,2 x2 +3,?2 xn +3 的标准差是_____. 9.甲.乙两名射手在相同条件下射击 10 次,环数如下: 甲:7 8 8 9 9 9 9 10 10 10 乙:7 7 8 9 9 9 10 10 10 10

问哪一名选手的成绩稳定? 10.样本 101,98,102,100,99 的标准差为______ 11.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的 A.平均状态 B.分布规律 C.波动大小 ( D.最大值和最小值 )

2 2 12.两个样本甲和乙,其中 x甲 =10, x乙 =10, s甲 =0.055, s乙 =0.015,那么样本甲比样本乙波动

A. 大 B. 相等 C. 小 13.频率分布直方图的重心是 A.众数 B.中位数 C.标准差 14.能反映一组数据的离散程度的是 A.众数 B.平均数 C.标准差 15.与原数据单位不一样的是 A.众数 B.平均数 C.标准差 16.下列数字特征一定是数据组中数据的是 A.众数 B.中位数 C.标准差

D.无法确定 D.平均数

( ( (

) ) ) ) )

D.极差 ( D.方差 ( D.平均数 )

17.数据:1,1,3,3 的众数和中位数分别是 ( A. 1 或 3,2 B. 3,2 C. 1 或 3,1 或 3 D. 3,3 18.某医院为了了解病人每分钟呼吸次数,对 20 名病人进行测量,记录结果如下: 12,20,16,18,20,28,23,16,15,18,20,24,18,21,18,19,18,31,18,13,求这组数据 的平均数,中位数,众数.

19.某班进行个人投篮比赛,受污损的下表记录了在规定时间内投进 n 个球的人数分 布情况: 进球数 n 投进 n 个球的人数 0 1 1 2 2 7 3 4 5 2

同时,已知进球 3 个或 3 个以上的人平均每人投进 3.5 个球,进球 4 个或 4 个以下 人平均每人投进 2.5 个球.那么投进 3 个球和 4 个球的各有多少人?

20.某纺织厂订购一批棉花,其各种长度的纤维所占的比例如下表所示: 纤维长度(厘米) 所占的比例(%) 3 25 5 40 6 35

⑴请估计这批棉花纤维的平均长度与方差; ⑵如果规定这批棉花纤维的平均长度为 4.90 厘米,方差不超过 1.200,两者允许误差均 不超过 0.10 视为合格产品.请你估计这批棉花的质量是否合格?

2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系
重点:通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。 难点:变量之间相关关系的理解。 重点:利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系. 难点:作散点图和理解两个变量的正相关和负相关。 1. 相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系(如:函数关系),或非确定性关系。当自变量 取值一定时,因变量也确定,则为确定关系;当自变量取值一定时,因变量带有随机性,这 种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 2. 散点图的概念:将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组 数据的图形,这样的图形叫做散点图。(1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用 该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.2.如果所有的样本点都落在某一 函数曲线附近,变量之间就有相关关系。3. 如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量 之间就有线性相关关系) 3. 正相关与负相关概念:如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相 关。如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关。(注:散点图的点 如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系) 4. 两个变量间是否有相关关系也可以通过求相关系数来判断.

其中 r ?

?(x
i ?1 n i ?1

n

i

? x )( yi ? y )
n

? ( xi ? x ) 2 ? ? ( yi ? y ) 2
i ?1

当r ? [?1,?0.75]时,负相关很强.

当r ? [0.75,1]时,正相关很强.

当r ? [0.75,?0.30]或r ? [0.30,?0.75]时,相关性一般 .
当r ? 1时,数据点 ( xi , yi )在一条直线上 .

1.下列两个变量之间的关系不具有线性关系的是 A.小麦产量与施肥值 B.球的体积与表面积 C.蛋鸭产蛋个数与饲养天数

(

)

D.甘蔗的含糖量与生长期的日照天数 2.下列变量之间是函数关系的是

(

)

A.已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,其中 a , c 是已知常数,取 b 为自变量,因变量是这个函数 的判别式: ? ? b ? 4ac
2

B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩施用肥料量和粮食亩产量 3. 下面现象间的关系属于线性相关关系的是 A.圆的周长和它的半径之间的关系 B.价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D.正方形面积和它的边长之间的关系 4. 下列关系中是函数关系的是 A.球的半径长度和体积的关系 B.农作物收获和施肥量的关系 C.商品销售额和利润的关系 D.产品产量与单位成品成本的关系 5. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正 n 边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 6. 下面哪些变量是相关关系 A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量 7. 下列语句中所表示的事件中的因素不具有相关关系的是 A.瑞雪兆丰年 B.上梁不正下梁歪 C.吸烟有害健康 D.喜鹊叫喜,乌鸦叫丧

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2.3.2 两个变量之间的线性相关

重点:根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程. 难点:理解最小二乘法的思想

1. 回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 我们就称这两个变量之间具有线 性相关关系,这条直线叫做回归直线

2. 最小二乘法
实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看,各点与此直线的距离最 小”.人们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式
n ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ? i ?1 ? ? ?b ? n 2 ? ( xi ? x ) ? ? i ?1 ? ? ?a ? y ? bx.

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , ? nx
2

?x
i ?1

(1)

2 i

其中,b 是回归方程的斜率,a 是截距.

1.在回归直线方程中,b 表示 A.当 x 增加一个单位时, y 增加 a 的数量 B.当 y 增加一个单位时, x 增加 b 的数量 C.当 x 增加一个单位时, y 的平均增加量 D.当 y 增加一个单位时, x 的平均增加量 2.回归方程为 y ? 1.5x ? 15 ,则 A. y ? 1.5x ?15 C. 1.5 是回归系数 a B.15 是回归系数 a D. x ? 10 时 y ? 0

(

)

(

)

? ? 50 ? 80 x ,下列判断 3.工人月工资( x 元)与劳动生产率( x 千元)变化的回归直线方程为 y
不正确的是 A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 130 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,则工资提高 80 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,则工资提高 130 元 D.当月工资为 210 元时,劳动生产率为 2000 元 4.有关线性回归的说法中,不正确的是 A.相关关系的两个变量不是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 ( )

(

)

C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归方程

? ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时 5.设有一个回归方程为 y
A. y 平均增加 1.5 单位 C. y 平均减少 1.5 单位 6.回归直线方程必定过 A. ? 0, 0 ? 点 B. B. y 平均增加 2 单位 D. y 平均减少 2 单位

(

)

(

)

? x, 0 ? 点

C.

? 0, y ? 点

D.

? x, y ? 点

7. 2003 年春季,我国部分地区 SARS 流行,党和政府采取果断措施,防治结合,很快使病情得到 控制,下表是某同学记载的 5 月 1 日至 5 月 12 日每天北京市 SARS 治愈者数据,以及根据 这些数据绘制出的散点图 日 期 人 数 5.1 100 5.2 109 5.3 115 5.4 118 5.5 121 5.6 134 5.7 141 5.8 152 5.9 168 5.10 175 5.11 186 5.12 203

下列说法①根据此散点图,可以判断日期与人数具有线性相关关系; ②根据此散点图,可以判断日期与人数具有一次函数关系. 其中正确的个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.以上都不对

(

)


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