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高二数学期末复习卷4-直线与圆2(含答案)


高二数学期末复习卷(4)------直线与圆
1 、 动 圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? 4my ? 6m ? 2 ? 0 恒 过 一 个 定 点 , 则 这 个 定 点 坐 标 为 ______ (1,1), ( , ) 2 、 过 点 A(4,?1) 且 与 已 知 圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0 切 与 点 B(1,2) 的 圆 的 方 程 为

1 7 5 5

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 5
3、点 A 在圆 C : x 2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上,它关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也在圆

C 上,则 a 的值为_________ ? 10
4、经过两圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 13和 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 37 的交点且圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上 的圆的方程是

1 7 89 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 2 2 2

5、过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时, 直 线 l 的斜率 k =

2 2
2 2

6、已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 的动点, PA, PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条 切线, A, B 是切点,C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为 7、函数 f (θ)=
sin ? ?1 的最大值为 cos ? ? 2

2 2
0

4 3

,最小值为

8、设集合 A ? ( x, y) | x 2 ? y 2 ? 4 , B ? ( x, y) ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? r 2 其中 r ? 0 , 若 A ? B 有且仅有一个元素,则 r ? _______ 3 或 7
2 2 9、设点 P ( x, y ) 是圆 x ? ( y ? 1) ? 1上任一点,若不等式 x ? y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取

?

?

?

?

值范围是

c ? 2 ?1

10、直线 l 到 A(1,0) 的距离为 1,到 B(0,?2) 的距离为 2,则这样的直线有______2__条
2 2 11、已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA ? PB 的
2 2

最小值是

26

.

12、若关于 x 的方程: kx ? 1 ? 2x ? x 2 ? 0 有两个不相等的实数解,则实数 k 的取值范围 是

1 [ ? ,0 ) 2
3 2 2 则实数 b 的取 x ? b 与圆 x ? y ? 1 在第一象限内有两个不同的交点, 3
1

变式: 直线 y ? ?

值范围是

(1,

2 3 ) 3
2 2 2

13、已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x +y = m ,当圆 C 与线段 ..AB 没有公共点时, 则实数 m 的取值范围

(??,? 13) ? (?

2 2 ,0) ? (0, ) ? ( 13,??) 2 2
2 , 2

14、已知圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 上有 3 个点到直线 x ? y ? a ? 0 的距离都等于 则a ? 1或3

变式:①若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? r 2 上有且只有两个点到直线 4x-3y=2 的距离等于 1, 则半径 r 范围是

(4,6)

②若圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 , 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 15、已知 A(8,0), B(0,6), O 为坐标原点, (1)求 ?ABO 的内切圆 C 的方程; (2)设 P 是圆 C 上点,求 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 距离的最大值和最小值; (3)若 S ? PA ? PB ? PO ,求 S 的最大值和最小值.
2 2 2

[

, ] 12 12

? 5?

解:(1)圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

(2)最大值 7,最小值 3 (3) (设点或三角换元) 最大值 88 ,最小值 72 16、 如图, 已知圆心坐标为 M ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 y ? 3x 均相切, 切点分别为 A 、

B ,另一圆 N 与圆 M 、 x 轴及直线 y ? 3x 均相切,切点分别为 C 、 D . (1)求圆 M 和圆 N 的方程;
(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度. y

D N B M 2 O A C x

解: (1)由于圆 M 与 ?BOA 的两边相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为圆 M 的半径, 则 M 在 ?BOA 的角平分线上,同理, N 也在 ?BOA 的角平分线上, 即 O、M、N 三点共线,且 OMN 为 ?BOA 的角平分线,

? M 的坐标为 M ( 3,1) ,?M 到 x 轴的距离为 1,即:圆 M 的半径为 1, ? 圆 M 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ; 设圆 N 的半径为 r ,由 Rt ?OAM ~ Rt ?OCN ,得: OM : ON ? MA : NC , 2 1 ? ? r ? 3 , OC ? 3 3 ,? 圆 N 的方程为: ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ; 即 3? r r (2)由对称性可知,所求弦长等于过 A 点的 MN 的平行线被圆 N 截得的弦长, 3 ( x ? 3 ) ,即 x ? 3 y ? 3 ? 0 , 此弦所在直线方程为 y ? 3 3 3 ? 3 ?3 ? 3 3 ? 圆心 N 到该直线的距离 d ? ,则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 2 1? 3 ? 3 3? ? 注:也可求得 B 点坐标 ? ? 2 , 2 ? ,得过 B 点 MN 的平行线 l 的方程 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,再 ? ?
根据圆心 N 到直线 l 的距离等于 距离,进而求得弦长。

3 ,求得答案 33 ;还可以直接求 A 点或 B 点到直线的 2

17 、 已 知

C 过 点 P(1,1) , 且 与

M : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 (r ? 0) 关 于 直 线

x ? y ? 2 ? 0 对称.
(Ⅰ)求

C 的方程;
C 上的一个动点,求 PQ ? MQ 的最小值; C 相交于 A, B , 且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互

(Ⅱ)设 Q 为

( Ⅲ ) 过点 P 作两条相异直线分别与

补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

?a ? 2 b ? 2 ? ?2?0 ? ?a ? 0 ? 2 2 解:(Ⅰ)设圆心 C ( a, b) ,则 ? ,解得 ? …………(3 分) b ? 2 b ? 0 ? ? ?1 ? a?2 ? 2 2 2 2 则圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r ?2 ,故圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 2 ………(5 分)
(Ⅱ)设 Q ( x, y ) ,则 x ? y ? 2 ,且 PQ ? MQ ? ( x ?1, y ?1) ? ( x ? 2, y ? 2)
2 2 2 2 = x ? y ? x ? y ? 4 = x ? y ? 2 ,…………………………(7 分)

所以 PQ ? MQ 的最小值为 ?4 (可由线性规划或三角代换求得)…(10 分) ( Ⅲ ) 由 题 意 知 , 直 线 PA 和 直 线 PB 的 斜 率 存 在 , 且 互 为 相 反 数 , 故 可 设 3

PA : y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

? y ? 1 ? k ( x ? 1) PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) , 由 ? 2 ,得 2 ? x ?y ?2 (1 ? k 2 ) x2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k )2 ? 2 ? 0 ………(11 分)
因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? 同理, xB ?

k 2 ? 2k ? 1 1? k 2

k 2 ? 2k ? 1 , 1? k 2 y ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? xA ) 所以 k AB ? B ? ? ? 1 = kOP xB ? xA xB ? xA xB ? xA 所以,直线 AB 和 OP 一定平行……………………………………(15 分)

18、 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 3, BC ? 1 , 以 A 为圆心 1 为半径的圆与 AB 交于 E(圆 弧 DE 为圆在矩形内的部分) (Ⅰ)在圆弧 DE 上确定 P 点的位置,使过 P 的切线 l 平分矩形 ABCD 的面积; (Ⅱ)若动圆 M 与满足题(Ⅰ)的切线 l 及边 DC 都相切,试确定 M 的位置,使圆 M 为 矩形内部面积最大的圆. l

D P
解(Ⅰ)以 A 点为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直 角坐标系. 设 P ? x0 , y0 ? , B

C M

A

?

3 ,0 , D?0,1? , 圆 弧 DE 的 方 程

?

E

B

x 2 ? y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0?
切线 l 的方程: x 0 x ? y 0 y ? 1 (可以推导: 设直线 l 的斜率为 k , 由直线 l 与圆弧 DE 相切知:AP ? l , 所以 k ? ?

x0 , y0

从而有直线 l 的方程为 y ? y 0 ? ?

x0 ? x ? x 0 ? ,化简即得 x0 x ? y0 y ? 1 ) . y0
1 ? y0 1 ,0 ) ,1 ) ,G( , l 平分矩形 ABCD 面积, x0 x0
……①

设 l 与 AB、CD 交于 F、G 可求 F(

? FB ? GN ? 3 ?
又 x0 ? y0 ? 1……②
2 2

1 1 ? y0 ? ? 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 x0 x0
解①、②得: x0 ?

3 1 3 1 , y0 ? ,? P( , ) . 2 2 2 2

4

(Ⅱ)由题(Ⅰ)可知:切线 l 的方程: 3x ? y ? 2 ? 0 , 当满足题意的圆 M 面积最大时必与边 BC 相切,设圆 M 与直线 l 、 BC、DC 分别切于 . R、Q、T ,则 MR ? MT ? MQ ? r ( r 为圆 M 的半径)

? M ( 3 ? r,1 ? r) ,由

3( 3 ? r ) ? 1 ? r ? 2 3 ? 12
2

? r ? r ? 3 ? 1(舍), r ?

3? 3 . 3

? M 点坐标为 (

4 3 ?3 3 , ). 3 3

5


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