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人教A版选修2-1第三章第九课时导学案3.2立体几何中的向量方法(2)


§3.2 立体几何中的向量方法(2)
学习目标
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题; 2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P105~ P107,找出疑惑之处. 复习 1:已知 a · b =1,︱ a ︱=1, ︱ b ︱=2,且

m =2 a + b ,求︱ m ︱. 复习 2:什么叫二面角?二面角的大小如何度量?二面角的范围是什么?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:用向量求空间线段的长度 问题:如何用向量方法求空间线段的长度? 新知:用空间向量表示空间线段,然后利用公式︱ a ︱= a .求出线段长度. 试试:在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,已知 AB ? 1, BC ? 2, CC ' ? 1 ,求 AC ' 的长.
2

反思:用向量方法求线段的长度,关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. ※ 典型例题 例 1 如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点 A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是 60°, 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关 系?

变式 1:上题中平行六面体的对角线 BD1 的长与棱长有什么关系?

变式 2:如果一个平行六面体的各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角 都等于 ? , 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?

探究任务二:用向量求空间图形中的角度 例 2 如图, 甲站在水库底面上的点 A 处, 乙站在水坝斜面上的点 B 处.从 A, B 到直线 l(库 底与水坝的交线)的距离 AC , BD 分别为 a , b , CD 的长为 c , AB 的长为 d .求库底与水坝 所成二面角的余弦值.

变式:如图,60 ? 的二面角的棱上有 A, B 两点,直线 AC , BD 分别在这个二面角的两个半平 面内,且都垂直于 AB , 已知 AB ? 4, AC ? 6, BD ? 8 ,求 CD 的长.

※ 动手试试 练 1. 如图,已知线段 AB 在平面 α 内,线段 AC ? ? ,线段 BD⊥AB,线段 DD ' ? ? , ?DBD ' ? 30 ,如果 AB=a,AC=BD=b,求 C、D 间的距离.

练 2. 如图, M、 N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 BB ' 、B ' C ' 的中点. 求 异面直线 MN 与 CD ' 所成的角.

三、总结提升

※ 学习小结
1. 求出空间线段的长度:用空间向量表示空间线段,然后利用公式︱ a ︱= a ; 2. 空间的二面角或异面直线的夹角,都可以转化为 利用公式 cos< a , b >=
2

a ?b | a |?|b |

求解.

※ 知识拓展 解空间图形问题时,可以分为三步完成: (1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助); (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问 题; (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:

1. 已知 A ?1,02 ?, B ? ?1,1,3 ? ,则 AB ? 2. 已知 cos< a , b >= ?

. .

1 ,则 a , b 的夹角为 2

3. 若 M、N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱 A' B ', BB' 的中点,那么直线 AM , CN 所成的角的余弦为( ) A.
3 2

B.

10 10

C.

3 5

D.

2 5

4. 将锐角为 60 ? 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成 60 ? 的二面角, 则 AC , BD 间的 距离是( ) 3 3 3 3 a a A. a B. C. a D. 2 4 2 4 5.正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中棱长为 a , AM ? A.
21 a 6

1 AC ' , N 是 BB ' 的中点,则 MN 为( ) 3
D.
15 a 3

B.

6 a 6

C.

15 a 6

课后作业
1. 如图,正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1, M , N 分别是 BB' , B'C ' 的中点,求:

⑴ MN , CD' 所成角的大小; ⑵ MN , AD 所成角的大小; ⑶ AN 的长度.


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