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2009年全国高中数学联赛试题答案


2009 年全国高中数学联赛试题及答案 一试
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设 7 分和 0 分两档;其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分,解答题中至少 4 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空(共

8 小题,每小题 7 分,共 56 分) x f? ? f ? f ? x ?? ?? 1. 若函数 f ? x ? ? 且 f (n) ? x ? ? f ? ,则 f ?99? ?1? ? . ? ? 2 ??? ? ???? ? 1? x
n

1 【答案】 10
1 【解析】 f ? ? ? x ? ? f ? x ? ?

x 1 ? x2


x

f?

2?

? x? ? ? x? ?

f? ? f ? x ?? ?? x

1 ? 2 x2

……
1 ? 99 x 2 1 故 f ?99? ?1? ? . 10 f?
99 ?



已知直线 L : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 8 y ? 1 ? 0 ,点 A 在直线 L 上, B , C 为圆 M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 横坐标范围 为 . 6? 【答案】 ?3, 2.
9 ? a? , 【解析】 设 A? a , 则圆心 M 到直线 AC 的距离 d ? AM sin 45? , 由直线 AC 与圆 M 相
34 . 2 解得 3 ≤ a ≤ 6 .

交,得 d ≤

3.

?y≥0 ? 在坐标平面上有两个区域 M 和 N , M 为 ? y ≤ x , N 是随 t 变化的区域,它由 ?y ≤2 ? x ?

不等式 t ≤ x ≤ t ? 1 所确定, t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ,则 M 和 N 的公共面积是函 数 f ?t ? ? .

1 2 【解析】 由题意知 f ? t ? ? S阴影部分面积
【答案】 ?t 2 ? t ?
? S?A O B? S? O C ? D S? 1 1 2 ? 1 ? t 2 ? ?1 ? t ? 2 2 1 ? ?t 2 ? t ? 2
BEF

y

A C O D F E B x

1

4.

使不等式

1 1 1 1 ? ??? ? a ? 2007 对一切正整数 n 都成立的最小正整数 n ?1 n ? 2 2n ? 1 3 . a 的值为 1 1 1 . 显 然 f ? n? 单 调 递 减 , 则 由 f ? n? 的 最 大 值 ? ??? n ?1 n ? 2 2n ? 1 1 f ?1? ? a ? 2007 ,可得 a ? 2009 . 3

【答案】 2009 【解析】 设 f ? n ? ?

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 上任意两点 P , Q ,若 OP ? OQ ,则乘积 OP ? OQ 的 a 2 b2 最小值为 . 2 2 2a b 【答案】 2 a ? b2 【解析】 设 P ? OP cos? ,OP sin? ? ,
5. 椭圆
? π? π ?? ? ? Q ? OQ cos ? ? ? ? ,OQ sin ? ? ? ? ? . 2? 2 ?? ? ? ? 由 P , Q 在椭圆上,有

1 OP 1 OQ
2 2

? ?

cos2 ? sin 2 ? ? 2 a2 b sin 2 ? cos2 ? ? a2 b2

① ②

①+② 得 1 1 1 1 ? ? 2? 2. 2 2 a b OP OQ

于是当 OP ? OQ ? 6.

2a 2b2 2a 2b2 OP OQ 时, 达到最小值 . a 2 ? b2 a 2 ? b2

若方程 lg kx ? 2lg ? x ? 1? 仅有一个实根,那么 k 的取值范围是



【答案】 k ? 0 或 k ? 4 ? kx ? 0 ? ? 【解析】 ? x ? 1 ? 0 ? 2 ? ? kx ? ? x ? 1? 当且仅当 kx ? 0 x ?1 ? 0 x2 ? ? 2 ? k ? x ? 1 ? 0

① ② ③ ④

对③ 由求根公式得 1 x1 , x2 ? ?k ? 2 ? k 2 ? 4k ? ? 2?

? ? k 2 ? 4k ≥ 0 ? k ≤ 0 或 k ≥ 4 . (ⅰ )当 k ? 0 时,由③ 得 ? x1 ? x2 ? k ? 2 ? 0 ? ? x1 x2 ? 1 ? 0

所以 x1 , x 2 同为负根.
2

?x ?1 ? 0 又由④ 知? 1 ? x2 ? 1 ? 0 所以原方程有一个解 x1 .

k ?1 ? 1 . 2 ?x ? x ? k ? 2 ? 0 (ⅲ )当 k ? 4 时,由③ 得? 1 2 ? x1 x2 ? 1 ? 0
(ⅱ )当 k ? 4 时,原方程有一个解 x ? 所以 x1 , x 2 同为正根,且 x1 ? x2 ,不合题意,舍去. 综上可得 k ? 0 或 k ? 4 为所求. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个 数之和,最后一行仅有一个数,第一行是前 100 个正整数按从小到大排成的行,则 最后一行的数是 (可以用指数表示) 98 【答案】 101 ? 2 【解析】 易知: (ⅰ )该数表共有 100 行; (ⅱ )每一行构成一个等差数列,且公差依次为 d1 ? 1 , d 2 ? 2 , d3 ? 22 ,…, d99 ? 298 (ⅲ ) a100 为所求. 设第 n ? n ≥ 2? 行的第一个数为 a n ,则 7.

an ? an?1 ? ? an?1 ? 2n?2 ? ? 2an?1 ? 2n?2

n?3 n?2 ? 2? ?2an?2 ? 2 ? ??2 n?4 n?2 n?2 ? 22 ? ?2an?3 ? 2 ? ? ? 2? 2 ? 2

? 23 an?3 ? 3 ? 2n?2 …… ? 2n?1 a1 ? ? n ? 1? ? 2n?2

? ? n ? 1? 2n?2
故 a100 ? 101? 298 .
∶ 00 ~ 9∶ 00 , 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随 某车站每天 8 机的,且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8 ∶ 10 8 ∶30 8 ∶50 到站时刻 9∶ 10 9∶30 9∶50 1 1 1 概率 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分) . 【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为 10 30 50 70 90 候车时间(分) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 概率 2 6 6 2 6 3 6 3 候车时间的数学期望为 1 1 1 1 1 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? 70 ? ? 90 ? ? 27 2 3 36 12 18

8.

二、解答题
3

1.

(本小题满分 14 分)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m 为整数)与椭圆

x2 y 2 ? ?1 16 12

x2 y 2 交于不同两点 A , B ,与双曲线 ? ? 1 交于不同两点 C , D ,问是否存在直 4 12 ???? ??? ? 线 l ,使得向量 AC ? BD ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请 说明理由. ? y ? kx ? m ? 【解析】 由 ? x 2 y 2 消去 y 化简整理得 ?1 ? ? ?16 12

?3 ? 4k ? x
2

2

? 8kmx ? 4m2 ? 48 ? 0
8km 3 ? 4k 2

设 A ? x1 ,y1 ? , B ? x2 ,y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ?

?1 ? ?8km? ? 4?3 ? 4k 2 ?? 4m2 ? 48? ? 0
2

① ………………………………………………4 分 ? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 消去 y 化简整理得 ?1 ? ? ? 4 12

?3 ? k ? x
2

2

? 2kmx ? m2 ?12 ? 0
2km 3 ? k2

设 C ? x3 ,y4 ? , D ? x4 ,y4 ? ,则 x3 ? x4 ?

?2 ? ? ?2km? ? 4?3 ? k 2 ?? m2 ? 12? ? 0
2

② ………………………………………………8 分 ???? ??? ? 因为 AC ? BD? 0 ,所以 ? x4 ? x2 ? ? ? x3 ? x1? ?0 ,此时 ? y4 ? y2 ? ? ? y3 ? y1? ?0 .由
x1 ? x2 ? x3 ? x4得

?

8km 2km . ? 2 3 ? 4k 3 ? k2

4 1 .由上式解得 k ? 0 或 m ? 0 .当 k ? 0 时,由① 和② ? 2 3 ? 4k 3 ? k2 得 ?2 3 ? m ? 2 3 .因 m 是整数,所以 m 的值为 ?3 , ?2 , ?1 , 0 ,1 , 2 ,3 .当 m ? 0 ,由① 和② 得 ? 3 ? k ? 3 .因 k 是整数,所以 k ? ?1 , 0 , 1 .于是满足条 件的直线共有 9 条.………14 分
所以 2 km ? 0 或 ? 2. (本小题 15 分)已知 p ,q ? q ? 0? 是实数,方程 x2 ? px ? q ? 0 有两个实根 ? , ? , (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式(用 ? , ? 表示) ; (Ⅱ )若 p ? 1 , q ? 数列 ?an ? 满足 a1 ? p , a2 ? p2 ? q , an ? pan?1 ? qan?2 ? n ? 3 , 4, ??

1 ,求 ?an ? 的前 n 项和. 4

【解析】 方法一: (Ⅰ )由韦达定理知 ? ? ? ? q ? 0 ,又 ? ? ? ? p ,所以 整理得 an ? ? an?1 ? ? ? an?1 ? ? an?2 ? 数列 ?bn ? 的首项为:
an ? pxn?1 ? qxn?2 ? ?? ? ? ? an?1 ? ?? an?2 , ? n ? 3 , 4, 5, ??

2, ?? . 令 bn ? an?1 ? ? an , 则 bn?1 ? ? bn ? n ? 1, 所以 ?bn ? 是公比为 ? 的等比数列.

b1 ? a2 ? ? a1 ? p2 ? q ? ? p ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 .
2

4

1 所 以 bn ? ? 2 ? ? n? ? ? n?

1 , 即 an?1 ? ? an ? ? n?1

2, ?? ? n ? 1,

. 所 以 ,

an?1 ? ? an ? ?

n?1 2

?? . ? n ? 1,2 ,

① 当

? ? p ? 4q ? 0
n?1





? ?? ?0


n?1

an?1 ? ? an ? ?

?? 变为 an?1 ? ? an ? ? ? n ? 1,2 ,

?? .整理得, ? n ? 1,2 ,

a1 ? p ? ? ? ? ? 2?

?a ? 2, ?? .所以,数列 ? nn ? 成公差为 1 的等差数列,其 ? 1 , ? n ? 1, ? ? ?? ? a 2? 首项为 1 ? ? 2 .所以

an?1

n?1

?

an

n

?

?

于是数列 ?an ? 的通项公式为

?n

an

? 2 ? 1? n ? 1? ? n ? 1 .

an ? ? n ? 1?? n ;………………………………………………………………5 分
② 当 ? ? p2 ? 4q ? 0 时, ? ? ? ,
an?1 ? ? an ? ? n?1 ? ? ? n?1 ? ? an ? ? ? ?? ? ? ? ? an ? ? n?1 ? ? n?1 ? n ? 1, 2, ?? . ? ?? ? ??

整理得 ? ? n? 2 ? n?1 ? an?1 ? ? ? ? an ? 2, ?? . ? , ? n ? 1, ? ?? ? ?? ? ? ? ? n?1 ? 所 以 , 数 列 ?an ? ? 成 公 比 为 ? 的 等 比 数 列 , 其 首 项 为 ? ?? ? ?

?2 ?2 ?2 ? n?1 ?2 ?? ? ? ? ? ? ? n?1 . .所以 an ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 于 是 数 列 的 通 项 公 ?an ?
a1 ?
an ?





?

n ?1

?? ? ??

n ?1

.………………………………………………10 分

1 1 (Ⅱ )若 p ? 1 , q ? ,则 ? ? p2 ? 4q ? 0 ,此时 ? ? ? ? .由第(Ⅰ )步的结果得,数 4 2
? 1 ? n ?1 列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? n ? 1? ? ? ? n ,所以, ?an ? 的前 n 项和为 2 ?2? 2 3 4 n n ?1 sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? 2 2 2 2 2n 2n?1 1 3 n?3 以上两式相减,整理得 sn ? ? n?1 2 2 2 所 以 n?3 sn ? 3 ? n .…………………………………………………………………15 分 2 方法二: (Ⅰ )由韦达定理知 ? ? ? ? q ? 0 ,又 ? ? ? ? p ,所以
a1 ? ? ? ? , a2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? .
n

特征方程 ? 2 ? p? ? q ? 0 的两个根为 ? , ? .
5

① 当 ? ? ? ? 0 时,通项 an ? ? A1 ? A2n ?? n ? n ? 1, 2, ?? 由 a1 ? 2? , a2 ? 3? 2 得

? ?? A1 ? A2 ?? ? 2? ? 2 2 ? ?? A1 ? 2 A2 ?? ? 3? 解 得
n

A1 ? A2 ? 1





an ? ?1 ? n ?? .……………………………………………………5 分
② 当 ? ? ? 时 , 通 项 an ? A1? n ? A2 ? n ? n ? 1, 2, ?? . 由 a1 ? ? ? ? ,
a2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? 得

? ? A1? ? A2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 ? ? A1? ? A2 ? ? ? ? ? ? ??
解得 A1 ?
an ?
?? ? , A2 ? .故 ? ?? ? ??

?? n?1 ? n?1 ? n?1 ? ? n?1 ? ? .……………………………………10 分 ? ? ? ?? ? ? ? ?

(Ⅱ )同方法一. 3. (本小题满分 15 分)求函数 y ? x ? 27 ? 13 ? x ? x 的最大和最小值.
y ? x ? x ? 27 ? 13 ? x ? x ? 27 ? 13 ? 2 x ?13 ? x ?
≥ 27 ? 13 ? 3 3 ? 13 号 成 立

【解析】 函数的定义域为 ?0 , 13? .因为



x?0









y











3 3 ? 13 .……………………………………………5 分 又由柯西不等式得

y2 ?

?

x ? x ? 27 ? 13 ? x

?

2

1? ?1 ≤ ? ? 1 ? ? ? 2 x ? ? x ? 27 ? ? 3 ?13 ? x ? ? ? 121 2 3? ? 所以 y ≤11 . …………………………………………………………………10 分

由柯西不等式等号成立的条件,得 4x ? 9 ?13 ? x ? ? x ? 27 ,解得 x ? 9 .故当 x ? 9 时 等号成立.因此 y 的最大值为 11 .……………… 15 分

加试
说明: 1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本 评分标准适当划分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空(共 4 小题,每小题 50 分,共 200 分) ? 、? AC 的 9. 如图, M , N 分别为锐角三角形 ?ABC ( ?A ? ?B )的外接圆 ? 上弧 BC 中点.过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 ? 于 P 点, I 为 ?ABC 的内心,连接 PI 并延长交圆 ? 于T . ⑴求证: MP ? MT ? NP ? NT ; AB (不含点 C )上任取一点 Q ( Q ≠ A , T , B ) ⑵在弧 ? ,记 ?AQC , △QCB 的 内心分别为 I1 , I 2 ,

6

P N

C M I T

B

A

Q

求证: Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. 【解析】 ⑴ 连 NI , MI .由于 PC ∥ MN , P , C , M , N 共圆,故 PCMN 是等腰梯形.因 此 NP ? MC , PM ? NC .
P N I T A C M

B

连 AM , CI ,则 AM 与 CI 交于 I ,因为 ?MIC ? ?MAC ? ?ACI ? ?MCB ? ?BCI ? ?MCI , 所以 MC ? MI .同理 NC ? NI . 于是 NP ? MI , PM ? NI . 故四边形 MPNI 为平行四边形.因此 S△PMT ? S△PNT (同底,等高) . 又 P , N , T , M 四点共圆,故 ?TNP ? ?PMT ? 180? ,由三角形面积公式 1 S△PMT ? PM ? MT sin ?PMT 2 1 ? S△PNT ? PN ? NT s i n ?PNT 2 1 ? PN? NT s i n? P M T 2 于是 PM ? MT ? PN ? NT . ⑵ 因为 ?NCI1 ? ?NCA ? ?ACI1 ? ?NQC ? ?QCI1 ? ?CI1 N ,
P N I I2 I1 A T Q C M

B

7

所以 NC ? NI1 ,同理 MC ? MI 2 .由 MP ? MT ? NP ? NT 得 由⑴ 所证 MP ? NC , NP ? MC ,故 NT MT ? . NI1 MI 2 又因 ?I1 NT ? ?QNT ? ?QMT ? ?I 2 MT , 有 ?I1 NT ∽ ?I 2 MT . 故 ?NTI1 ? ?MTI 2 ,从而
?I1QI 2 ? ?NQM ? ?NTM ? ?I1TI 2 .

NT MT . ? MP NP

因此 Q , I1 , I 2 , T 四点共圆. 10. 求证不等式: 1 ? n k ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ln n ≤ 2 , n ? 1 ,2,… k ? 1 ? k ?1 ? 【解析】 证明:首先证明一个不等式: x ⑴ ? ln(1 ? x) ? x , x ? 0 . 1? x 事实上,令 x h( x) ? x ? ln(1 ? x) , g ( x) ? ln(1 ? x) ? . 1? x 则对 x ? 0 , 1 1 x 1 ? ? ?0. h?( x) ? 1 ? ? 0 , g ?( x) ? 2 1 ? x (1 ? x) (1 ? x) 2 1? x 于是 h( x) ? h(0) ? 0 , g ( x) ? g (0) ? 0 . 1 在⑴ 中取 x ? 得 n 1 ? 1? 1 ? ln ?1 ? ? ? . ⑵ n ?1 ? n? n 令 xn ? ?
k 1 ? ln n ,则 x1 ? , 2 k ?1 k ? 1
2 n

xn ? xn ?1 ?

n 1 ? ? ? ln ?1 ? ? n ?1 ? n ?1? n 1 ? 2 ? n ?1 n 1 ?? 2 ?0 (n ? 1)n
2

因此 xn ? xn?1 ? ? ? x1 ? 又因为

1 . 2

n ?1 ? 1? ln n ? (ln n ? ln(n ? 1)) ? (ln(n ? 1) ? ln(n ? 2)) ? ? ? (ln 2 ? ln1) ? ln1 ? ? ln ?1 ? ? . ? k? k ?1 从而 n n ?1 k ? 1? xn ? ? 2 ? ? ln ?1 ? ? k ? 1 ? k? k ?1 k ?1

8

n ?1 n ?1 1? ? k n ? k ? 1 ?? ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ? ln ?1 ? ? ? ? 2 k ? 1 k? k ? 1 k n ? 1 ? ?? k ?1 ? k ?1 ? n ?1 n ?1 1 1 ? ?? 2 ≥ ?? ( k ? 1) k ( k ? 1)k k ?1 k ?1 1 ? ?1 ? ? ?1 . n l 11. 设 k ,l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与 互素.

【解析】 证法一:对任意正整数 t ,令 m ? k ? t ? l ? (k !) .我们证明 Ck l ?1 . m, 设 p 是 l 的任一素因子,只要证明: p ? Ck m . k ! ,则由 若p?
k !Ck m ? ? (m ? k ? i )
i ?1 k k

?

?

? ?[ ( i ? t l( k ! ) ]
i ?1 k

? ?i

? k !? m o d p? ?1 ? .
? ?1 及 p? | k ! ,且 p? ?1 ? k ! ,知 p? | k !Ck ? k !Ck Ck m且 p m .从而 p ? m .

i ?1

证法二:对任意正整数 t ,令 m ? k ? t ? l ? (k !)2 ,我们证明 Ck l ?1 . m, 设 p 是 l 的任一素因子,只要证明: p ? C . k ! ,则由 若p?
k !Ck m ? ? (m ? k ? i )
i ?1 k

?

?

k m

? ?[ ( i ? t l ( k2 !) ]
i ?1 k

k

? ?i

? k !? m o d p? .

i ?1

即 p 不整除上式,故 p ? Ck m . 若 p | k ! ,设 ? ≥ 1 使 p? | k ! ,但 p? ?1 ? k ! . p? ?1 | (k !)2 .故由
k !Ck m ? ? (m ? k ? i )
i ?1 k k ?1

? ?[ ( i ? t l ( k2 !) ]
i ?1

? ?i

k

? k !? mod p? ?1 ?
? ?1 及 p? | k ! ,且 p? ?1 ? k ! ,知 p? | k !Ck ? k !Ck Ck m且 p m .从而 p ? m . 12. 在非负数构成的 3 ? 9 数表 x7 ? x ? x1 1 x 1 2 x 1 3 x 1 4x 1 x 5 1x 6 1 1 8 1 9 ? ? P?? x x x x x x x x x 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 ? 2 8 2 9 ?x x x x x x x x ? x ? 31 32 33 34 35 36 37 ? 38 39 中每行的数互不相同, 前 6 列中每列的三数之和为 1,x17 ? x28 ? x39 ? 0 ,x27 ,x37 ,

i ?1

9

x18 , x38 , x19 , x29 均大于.如果 P 的前三列构成的数表

? x1 1 x 1 2 x ? 1 3 ? ? S ?? x x x 2 1 2 2 ?2 3 ?x x x ? 3 3 ? 31 32 ?
? x1k ? ? ? 满足下面的性质 (O ) :对于数表 P 中的任意一列 ? x2 k ? ( k ? 1 ,2,…,9)均存 ?x ? ? 3k ? 在某个 i ??1, 2, 3?

使得 ⑶ xik ≤ ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? . 求证: (ⅰ)最小值 ui ? min ?xi1 , xi 2 , xi 3? , i ? 1 ,2,3 一定自数表 S 的不同列.

? x1k* ? ? ? (ⅱ)存在数表 P 中唯一的一列 ? x2 k* ? , k * ≠1 ,2,3 使得 3 ? 3 数表 ? ?x ? ? ? 3k * ? ? x11 x12 x1k* ? ? ? S ? ? ? x21 x22 x2k* ? ? ? x31 x32 x ? ? 3k * ? ? 仍然具有性质 (O ) .
【解析】 (ⅰ ) 假设最小值 ui ? min ?xi1 ,xi 2 ,xi 3 ? ,i ? 1 , 2, 3 不是取自数表 S 的不同列. 则 存在一列不含任何 u i .不妨设 ui ≠ xi 2 , i ? 1 ,2,3.由于数表 P 中同一行中的任 何两个元素都不等, 于是 ui ? xi 2 ,i ? 1 , 2, 3. 另一方面, 由于数表 S 具有性质 (O ) , 在⑶ 中取 k ? 2 ,则存在某个 i0 ? ?1, 2, 3? 使得 xi0 2 ≤ ui0 .矛盾. (ⅱ )由抽届原理知 min ?x11 ,x12 ? , min ?x21 ,x22 ? , min ?x31 ,x32 ? 中至少有两个值取在同一列.不妨设 min ?x21 ,x22 ? ? x22 , min ?x31 ,x32 ? ? x32 . 由前面的结论知数表 S 的第一列一定含有某个 u i ,所以只能是 x11 ? u1 .同样, 第二列中也必含某个 u i , i ? 1 ,2.不妨设 x22 ? u2 .于是 u3 ? x33 ,即 u i 是数表 S 中的对角线上数字. ? x11 x12 x13 ? ? ? S ? ? x21 x22 x23 ? ?x x x ? ? 31 32 33 ? 2, ?, 9? ,令集合 记 M ? ?1,

I ? ?k ? M | xik ? min ?xi1 ,xi 2 ? , i ? 1, 3? .

显然 I ? ?k ? M | x1k ? x11 ,x3k ? x32 ? 且 1,2 3 ? I .因为 x18 , x38 ? 1≥ x11 , x32 , 所以 8 ? I . 故 I ≠ ? .于是存在 k * ? I 使得 x2k* ? max ?x2k | k ? I ? .显然, k * ≠1 ,2,3. 下面证明 3 ? 3 数表 ? x11 x12 x1k* ? ? ? S ? ? ? x21 x22 x2k* ? ? ? x31 x32 x ? ? 3k * ? ?
10

具有性质 (O ) .
3) .这说明 从上面的选法可知 ui? :? min xi1 ,xi 2 ,xik* ? min ?xi1 ,xi 2 ? , (i ? 1,

?

?

x1k* ? min ?x11 ,x12 ? ≥ u1 , x3k* ? min ?x31 ,x32 ? ≥ u3 .

又 由 S 满 足 性 质 (O ) . 在 ⑶ 中 取 k ? k * , 推 得 x2k* ≤ u2 , 于 是

? ? min x21 ,x22 ,x2k* ? x2k* .下证对任意的 k ? M ,存在某个 i ? 1 ,2,3 使 u2
得 ui? ≥ xik .假若不然,则 xik ? min ?xi1 ,xi 2 ? ,i ? 1 ,3 且 x2k ? x2k* .这与 x2 k * 的 最大性矛盾.因此,数表 S ? 满足性质 (O ) . 下证唯一性.设有 k ? M 使得数表 ? x11 x12 x1k ? ? ? ? S ? ? x21 x22 x2 k ? ?x x x ? ? 31 32 3k ? 具有性质 (O ) ,不失一般性,我们假定 ⑷u2 ? min ?x21 ,x22 ,x23 ? ? x22
u3 ? m i n x3 , ? x3 , ? 3?3 1 2 x
x3 2 ? x 3. 1

?

?

u1 ? m i n x1 , ? x1 , ? 1?3 1 2 x

x
x

11

33

?1 ? min ?x , 由于 x32 ? x31 , x22 ? x21 及(ⅰ ) ,有 u )知: x12 , x1k ? ? x11 .又由(ⅰ 11 ? 3 ? min ?x ,x ,x ? ? x ,或者 (b)u ? 2 ? min ?x , 或者 ( a ) u x , x ?? x .
31 32 3k 3k 21 22 2k 2k

? 具有性质 (O ) ,则 如果 ( a ) 成立,由数表 S ?1 ? m i n , u ? x , x , x? ? x
11 12 k 1 11

? 2 ? min ?x ,x ,x ? ? x , ⑸u 21 22 2k 22 ? u3 ? m i n ?x ,x ,x ? ? x .
31 32 k 3 k 3

? 满 足 性 质 (O ) , 则 对 于 3 ? M 至 少 存 在 一 个 i ??1, 2, 3? 使 得 由数表 S

? i ≥ x .由 k * ? I 及 ⑷和 ⑹式知, x ? x ? u ?1 , x ? x ? u ? 3 .于是只能有 u 11 32 ik* 1k* 3k * ? 2 ? x .类似地,由 S ? 满足性质 (O ) 及 k ? M 可推得 x ≤ u? ? x .从 x2k* ≤ u 2k 2 2k 2 k*
而 k* ? k .

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