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高二下学期理科练习题13


-

高二下学期理科练习题 13 1.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,则 f '(?1) ? (
3 2

) C. 1 ) D.先减后增 D. 7

A. ?7

B. ?1

2. 设 y ? x ? ln x ,则此函数在区间 (0,1)

内为( A.单调递增 B. 先增后减
2 n ?1

C.单调递减

3.用数学归纳法证明: x

? y 2 n ?1 ( n ? N ? )能被 x ? y 整除.从假设 n ? k 成立
) C. x
2 k ?1

到 n ? k ? 1 成立时,被整除式应为( A. x
2k ?3

? y 2k ? 3

B. x

2k ?2

? y 2k ?2

? y 2 k ?1

D.

x2k ? y 2k
)

4. 设 x、y、z为正实数, a ? x ? A. 至少有一个不小于 2 C. 至少有一个不大于 2

1 1 1 , b ? y ? , c ? z ? ,则 a、b、c 三数( y z x
B.都小于 2 D.都大于 2

y

y ? f ?( x )

5. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导 函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极大 值点( )A.1 个 B.4 个
2

b

a

O

x

C.3 个 )

D.2 个

6.与直线 2 x ? y ? 5 ? 0 平行的抛物线 y ? x 的切线方程为( A. 2 x ? y ? 1 ? 0 7. 函数 f ( x) ? x ? e
2 x ?1

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0 )

D. 2 x ? y ? 3 ? 0
?1

, x ?[?2,1] 的最大值为(
2

A. 4e

B. e

2

C. e

D. 1

8.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范
3

围是(

) A. ? 1 ? a ? 2

B. ? 3 ? a ? 6

C. a ? ?3 或 a ? 6 ) D.1

D. a ? ?1 或 a ? 2

9.在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? an ?1 ? 1 ? 0 ,则 a2012 ? ( A. ?2 B. ?1 C. ?0.5

10.设 o 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,若在双曲 a 2 b2
)

线上存在点 P,满足∠ F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为( A.x± 3 y=0 B. 3 x±y=0 C. x± 2y =0 D. 2x ±y=0

11. 已知函数 f ( x) ? a sin 2 x ?
3

1 ? sin 3x (a 为常数)在 x= 处取得极值,则 a 的值为 3 3
.

.

12. 若函数 f ( x ) ? x ? ax ? 2 在区间 (1,??) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是

-

13. 已知函数 f ( x) 的导数为 f '( x) ? 2 x ,且 x ? 1 时, y ? 2 ,则这个函数的解析 式为________.

1?
14. 观察下列式子

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1? 2 ? 2 ? , 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 , …. 则可归纳出
2

.

15. 已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8 x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程 是 .
2 2

16.若实数 x、y、z 满足 y ? z ? 3x ? 4 x ? 6, y ? z ? x ? 4 x ? 4 . 试确定 x、y、z 的大小关系. 17.设函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? ax, g ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? c . 3

(Ⅰ)试问函数 f ( x) 能否在 x ? ?1 时取得极值?说明理由; (Ⅱ)若 a ? ?1, 当 x ?[?3,4] 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有两个公共点,求 c 的取值范围.

x2 y 2 3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b 为半径的圆相切.(I)求椭圆 C1 的方程;
18.已知椭圆 C1 : (II) 设椭圆 C1 的左焦点为 F1 , 右焦点 F2 , 直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴, 动直线 l 2 垂直 l1 于点 P , 线段 PF2 垂直平分线交 l 2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; 19.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1) 、 (2 ) 、 (3) 、 (4)她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小 正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f (n) 个小正方形.

(1)

(2)

(3)

(4)

(Ⅰ)求出 f (5) 的值; (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出 f (n ? 1) 与 f (n) 之间的关系式, 并根据你得到的关系式求出 f (n) 的表达式; (Ⅲ)求

1 1 1 1 的值. ? ? ? ?? f (1) f (2) ?1 f (3) ?1 f ( n) ?1 ex (其中常数 a < 0 ).(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的定义域及单调区间; x?a

20.已知:函数 f ? x ? ?

(Ⅱ)若存在实数 x ? ? a, 0? ,使得不等式 f ? x ? ?

1 成立,求 a 的取值范围 2

附加题 21. 已知: a、b ? R, a ? b ? e (其中 e 是自然对数的底数), 求证: b ? a .
a b

-

参考答案
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1 2 3 4 5 6 题 号 A B C C A D A B 卷 B C A B A B A A 卷 二、填空题: (共 5 小题,每小题 20 分) 11.1 12. [?3,??) 13. f ( x) = x ? 1
2

7 C D

8 C B

9 0 D C

1

1?
14.

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ?? ? ? 2 2 2 3 (n ? 1) n ? 1 (n∈N*)

15. y ? 2 x - 1

三、解答题(共计 50 分) 16.(本题 8 分) 解:因为 y ? z ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) ? 0 ,所以 y ? z.
2 2

又 y ? z ? 3x ? 4 x ? 6, y ? z ? x ? 4 x ? 4,
2 2

所以 z ? x ?

( z ? y) ? ( y ? z ) 1 3 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ? ? 0. 2 2 4 所以 z ? x. 即 y ? z ? x.

17.(本题 10 分)解:(Ⅰ)由题意 f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? a , 假设在 x ? ?1 时 f ( x ) 取得极值,则有 f ' (?1) ? 1 ? 2a ? a ? 0 ,∴a=-1, 而此时, f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 ,函数 f ( x ) 在 x=-1 处无极值.

c? 1 (Ⅱ)设 f ( x) ? g ( x) ,则有 x 3 ? x 2 ? 3x ? c ? 0 ,∴ 3
1 3

1 3 x ? x 2 ? 3x , 3

设 F ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3x, G( x) ? c ,令 F ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1 或 x ? 3 . 列表如下: x
F ' ( x) F ( x)

-3 -9

(-3,-1) + 增

-1 0
5 3

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增

4
20 3

?

由此可知:F(x)在(-3,1) , (3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数. 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F(-1)= F(-3)=F(3)=-9,而 F(4)= ?

5 ;当 x=3 时,F(x)取得极小值 3

20 . 3

如果函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点, 所以 ?

20 5 ? c ? 或 c ? ?9 . 3 3

-

18.(本题 10 分) 解: (Ⅰ)∵ e ?

3 c 2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b 2 2 3 a c 3
2 2 2

∵直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, ∴

2 2

? b,? b ? 2 , b 2 ? 2

∴a ? 3
2

∵椭圆 C1 的方程是

x2 y2 ? ?1 3 2

(Ⅱ)∵MP=MF2, ∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 19.(本题 10 分) 解: (Ⅰ) f (5) ? 41

y 2 ? 4x

f (2) ? f (1) ? 4 ? 4 ? 1
(Ⅱ)因为

f (3) ? f (2) ? 8 ? 4 ? 2 f (4) ? f (3) ? 12 ? 4 ? 3 f (5) ? f (4) ? 16 ? 4 ? 4

由上式规律,所以得出 f (n ? 1) ? f (n) ? 4n 因为 f (n ? 1) ? f (n) ? 4n ? f (n ? 1) ? f (n) ? 4n ?

f (n) ? f (n ? 1) ? 4( n ? 1) ? f (n ? 2) ? 4( n ? 1) ? 4( n ? 2) ? f ( n ? 3) ? 4( n ? 1) ? 4( n ? 2) ? 4( n ? 3) ?? ? f (1) ? 4( n ? 1) ? 4( n ? 2) ? 4( n ? 3) ? 4 ? 2n 2 ? 2n ? 1
(Ⅲ)当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 ? ? [ ? ] ,则 f (n) ? 1 2n(n ? 1) 2 n ? 1 n

1 1 1 1 ? ? ?? ? f (1) f ( 2 ? ) 1 f ?( 3 ) 1 f n ? ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? [ 1 ? ? ? ? ? ??? ? ] 2 2 2 3 3 4 n? 1 n 1 1 3 1 ? 1? [ 1 ? ? ] ? 2 n 2 2 n
20. (本题 12 分)解: (Ⅰ)函数 f ? x ? 的定义域为 x x ? a .

?

?

f ?? x? ?

e x ? x ? a ? ? e x ?1

? x ? a?

2

?

ex ? ? x ? ? a ? 1?? ?

? x ? a?

2

.

由 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? a ? 1 .

由 f ? ? x ? ? 0 ,解得

x ? a ? 1 且 x ? a .∴ f ? x ? 的单调递增区间为 ? a ? 1, ?? ? ,单调递减区间为 ? ??, a ? , ? a, a ? 1? .

-

(Ⅱ)由题意可知, a ? 0 ,且 f ? x ? ?

ex 1 在 ? a, 0 ? 上的最小值小于等于 时,存在实数 x ? ? a, 0? ,使得不 x?a 2

1 成立. 2 若 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时,
等式 f ? x ? ?

x
f ?? x? f ? x?

? a, a ? 1?
? ↘

a+1
0 极小值
a ?1

? a ? 1, 0 ?
+ ↗


∴ f ? x ? 在 ? a, 0 ? 上的最小值为 f ? a ? 1? ? e 则e
a ?1

?

1 1 ,得 a ? ln ? 1 . 2 2 1 . a

若 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时, f ? x ? 在 ? a, 0 ? 上单调递减,则 f ? x ? 在 ? a, 0 ? 上的最小值为 f ? 0 ? ? ?

1 1 . ? 得 a ? ?2 (舍) a 2 1 综上所述, a ? ln ? 1 . 2
由? 附加题(10 分)
a b 证明:∵ b ? 0, a ? 0 ∴要证: b ? a
a b

只要证: a ln b ? b ln a

ln b ln a ? a .(∵ a ? b ? e ) 只要证 b f ( x) ?
取函数

ln x 1 ? ln x f ?( x) ? x ,∵ x2

? ∴当 x ? e 时, f ( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (e, ??) 上是单调递减.

ln b ln a ? a .得证 ∴当 a ? b ? e 时,有 f (b) ? f (a) 即 b


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