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2011、2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题(含答案)


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二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分) 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 2)( x ? 6) ? 3, x ? Z ,0 ? x ? 7} ,则 A 的非空子集的个数 为 .

2. 若 f ? g ( x) ? ? sin

2x , g ( x) ? tan

x (0 ? x ? ? ) ,则 2

? 2? f? ? 2 ?? ? ? ?

.

3. 若底边长为 2 的正四棱锥恰内切一半径为

1 的球,则此正四棱锥的体积是 2

.

4. 在平面直角坐标系中,已知点 A(1, 2) 和 B(4,1) . 圆 x 2 ? y 2 ? 25 上的动点 P( x, y) 与

A, B 形成三角形,则三角形 ABP 的面积的最大值为

.

5.将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 任意分成两组,使每组至少有一个数,则第一组数的和与第二组 数的和相等的概率是 6. 数列满足 a 0 ? . .

12 1 0 1 1 2 , 及对于自然数 n , n?1 ? an ? an , ? 则 的整数部分是 a 4 n ?0 a n ? 1

7. 四次多项式 f (x) 的四个实根构成公差为 2 的等差数列,则 f ?( x ) 的所有根中最大根与最 小根之差是 .
2 2

8.设 [x ] 表示不超过实数的最大整数,则在平面上,由满足 [ x] ? [ y] ? 50 的点所形成的图 形的面积是 . 二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 ? 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n2 } 是公 比不大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式. 10. 已知 F 、 F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF F2 的面积是 1 1

3 ,求 ?F1PF2 .
11. 设 a1 , a2 ,…, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,求证:
2 1 2 1 2 1 2 ? n ? 1? . (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? a1 a2 an n 2

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Http://www.fhedu.cn 12.设 n ? 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A , 由不大于 n 的 连续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。

二O一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛评分参考
一.填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分) 1. 63 . 2.

4 2 . 9

3.

16 1 4 (7 ? 5 10) .5 . 4. .6. 3 .7. 2 5 . 8. 12 . 9 2 63

二.解答题 (本题满分 64 分, 第 9、10 题每题 14 分,第 11、12 题每题 18 分) 9. 已知正项数列 {an } 满足: (1) a1 ? 2012 ; (2) a2 , a3 是整数; (3)数列 {nan ? n2 } 是公 比不大于 10 的等比数列. 求数列 {an } 的通项公式. 解 由条件(3)知 nan ? n2 ? c ? qn?1 ,其中 c, q ? 0 ,于是 an ?

c ? q n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . n

由条件(1)可得 c ? 2011 ,由此 an ? 因为 a2 ?

2011q n ?1 ? n , n ? 1, 2,? . ………………4 分 n

2011q 2011q k ? 2 是整数,故 是整数,于是 q 只能是分数,不妨设 q ? ,其 2 2 m 中 k 与 m 互素. 注意到 2011 是素数,故 m 的取值只能是 1 和 2011 , k 只能为偶数.
……………8 分

k k 2011( )2 2011? 2 m ? 3 是整数,得知 m 是整数,于是 m 的取值只能是1 且 k 同理,由 a3 ? 3 3
是 3 的倍数,从而 q ? k 是 6 的倍数. q 不大于 10, 所以 q ? 6 ,故数列 {an } 的通项公式为

2

2011? 6n ?1 an ? ? n , n ? 1, 2,? . n

………………14 分

10. 已知 F 、 F2 为双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上, 若 ?PF F2 的面积是 1 1

3 ,求 ?F1PF2 .
解 不妨设点 P ( x0 , y0 ) 在双曲线的右支,由题设易得 F F2 ? 2 2 . ………………2 分 1 注意到 S?PF1F2 ?

1 1 6 F1 F2 ? y0 ? ? 2 2 y0 ? 3 ,解得 | y0 |? ,……………4 分 2 2 2

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6 5 2 2 2 2 又由 x 2 ? y 2 ? 1 有 x0 ? y0 ? 1,解得 x0 ? 1+y0 =1+ = . 4 2
由双曲线的第二定义得 | PF1 |? e[ x0 ? (?

………………6 分

a2 )] ? a ? ex0 ? 1 ? 2 x0 及 c

| PF2 |? e[ x0 ?

a2 )] ? ex0 ? a ? 2 x0 ? 1 . 再由余弦定理有 c

cos ?F1PF2 ?
于是

| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 , 2 | PF1 || PF2 |
2 2 2 2 2 ? 2 x0 ? 1? ? 8 2 2 ? 2 x0 ? 1?

………………9 分

?1+ cos ?F PF =
1 2

2 x0

? ? ? 2 ?1+ 2 x ?? 2 x ? 1?
2 x0 ? 1 ? 2 2
0 0

? ??

?

? 5 ? 2 ? 2 ? ? 1? ? 8 2 ? ? 5 ? 1? ? 8 2 ? 6 ? 8 1 2 ? ? ? ? ? ? . 2 ? ? 5 ? 1? 8 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? ?
由此得 ?F PF2 =600 . 1 11. 设 a1 , a2 ,…, an 为正数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,求证: ………………14 分

? n2 ? 1? . 1 1 1 (a1 ? ) 2 ? (a2 ? ) 2 ? ? ? (an ? ) 2? a1 a2 an n
2

证明 因 a1 , a2 ,…, an 为正数,由 Cauchy 不等式得

(a1 ? a2 ? ? ? an )(

1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ) ? ( a1 ? ? a2 ? ? ? ? an ? ) a1 a2 an a1 a2 an
1 1 1 ? ? ? ? ) ? n2 . a1 a 2 an 1 1 1 ? ??? ? n2 . a1 a 2 an
………………6 分

即 (a1 ? a 2 ? ? ? a n )(

又 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ,所以

………………9 分

对 a1 ?

1 1 1 , a2 ? ,…, a n ? 和实数 1,1,?,1 ,由 Cauchy 不等式得 ??? ? ? a1 a2 an n

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1 2 1 1 1 1 1 (a1 ? ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2(?????) (a1 ? ) 1 ? a2 ? ) 1 ? ? ? an ? ) 1]2 [ ( ] 12 ? 12 ? ?12 ? [ ? ( ? ( ? ? ? a1 a2 an a1 a2 an n

即(a1 ? [

1 2 1 1 1 1 1 ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2 ]n ? (a1 ? ? a2 ? ? ? ? an ? )2 , ( a1 a2 an a1 a2 an
………………12 分

即(a1 ? [

1 2 1 1 ) ? a2 ? )2 ? ? ? (an ? )2 ]n ? (n2 ? 1)2 ,………………15 分 ( a1 a2 an
2

2 1 2 1 2 1 2 ? n ? 1? 所以 (a1 ? ) ? (a2 ? ) ? ? ? (an ? ) ? . a1 a2 an n

………………18 分

12.设 n ? 11 是一正整数, 由不大于 n 的连续 10 个正整数的和组成集合 A , 由不大于 n 的 连续 11 个正整数的和组成集合 B 。若 A ? B 的元素个数是 181,求 n 的最大值和最小值。 解:显然 A ? {55 ? 10k | 0 ? k ? n ?10, k ? Z} , B ? {66 ? 11l | 0 ? l ? n ? 11, l ? Z } , ………………6 分 为求 A ? B 的元素个数,令

55 ? 10k ? 66 ? 11l ,则 10k ? (l ? 1)11。

………………9 分

再令 k ? 11m ,则得 l ? 10m ? 1.因为 0 ? k ? n ? 10 ,m 可取值 0,1, 2,? ,[ 的相应取值为 ?1,9,19,? ,10[ 注意到

n ? 10 ] ,此时 l 11

n ? 10 ] ?1。 11

………………12 分

10[

n ? 10 n ? 10 ] ? 1 ? 10 ? ? 1 ? n ? 11 11 11

符合 l 的取值范围,舍去不合乎要求的值 ?1 ,则知集合 A ? B 的元素个数为 [

n ? 10 ] 。令 11

n ? 10 n ? 10 ] , 则 181 ? ? 182 ……………15 分 11 11 即 2001 ? n ? 2012 ,于是 n 的最大值和最小值分别为 2011 和 2001. ……………18 分 181 ? [

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