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高中数学(苏教版)必修一讲义:第三章 3.3 幂 函 数(含答案)


考察以下几个函数: 1 y=x,y=x2,y= ,y= x. x 问题 1:这几个函数是指数函数吗? 提示:不是指数函数. 问题 2:它们有什么共同特征? 提示:幂的底数是自变量,指数是常数. 问题 3:你能举出一个这样的函数的实际例子吗? 提示:正方体的棱长为 x,它的体积关于 x 的函数关系式是 V=x3. 幂函数的概念:一般地,我们把形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是 常数. 1 - - 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x 1,y=x ,y=x 2 的图象如图所示. 2 问题 1:它们的图象都过同一个定点吗? 提示:是的.都过定点(1,1). 问题 2:这六个函数的图象哪些关于原点对称,哪些关于 y 轴对称? 提示:y=x,y=x3,y=x-1 关于原点对称,而 y=x2,y=x-2 关于 y 轴对称. 问题 3:通过观察这六个函数的图象,在第一象限内,哪些是增函数,哪些是减函数? 1 提示:在第一象限内,y=x,y=x2,y=x3,y=x 是增函数,y=x-1,y=x-2 是减函数. 2 问题 4:这几个函数在第四象限有图象吗? 提示:没有. 1 - - 幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y=x 1,y=x 2 的性质: 2 函数 特征 性质 定义域 值域 奇偶性 R R 奇 R {y|y≥0} 偶 x∈[0,+∞) 单调性 增 增, x∈(-∞,0] 减 公共点 (0,0),(1,1) 增 增 R R 奇 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 x∈(-∞,0) 减, x∈(0,+∞) 减 {x|x≠0} (0,+∞) 偶 x∈(0,+∞) 减, x∈(-∞,0) 增 (1,1) y=x y=x2 y=x3 1 y=x 2 y=x -1 y=x -2 1.幂函数 y=xα 的底数为自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,指数函数 y=ax 中,底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线 x=1 的右侧,图象从上到下,相应的指数由大到小;在直线 x=1 的 左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小. [例 1] 已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 数;③反比例函数;④二次函数? -5m-3 ,m 为何值时,f(x)是:①幂函数;②正比例函 [思路点拨] 根据各相应函数的定义,列出系数、指数满足的方程或不等式求解. [精解详析] ①∵f(x)是幂函数, 故 m2-m-1=1,即 m2-m-2=0, 解得 m=2 或 m=-1. ②若 f(x)是正比例函数,则-5m-3=1, 4 解得 m=- , 5 4 此时 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 ③若 f(x)是反比例函数,则-5m-3=-1, 2 解得 m=- , 5 2 此时 m2-m-1≠0,故 m=- . 5 ④若 f(x)是二次函数,则-5m-3=2,得 m=-1. 此时 m2-m-1≠0,故 m=-1. [一点通] 将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查,要注意区别 k 它们之间的不同点,根据各自定义:①正比例函数 y=kx(k≠0);②反比例函数 y= (k≠0); x ③二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0);④幂函数 y=xα(α∈R),转化为系数和指数的取值问题. 1.下列函数中是幂函数的为________. 1 1 ①y= 2;②y=-3x3;③y=x +x2;④y=xπ;⑤y=(x-1)2;⑥y=


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