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河北省石家庄市第一中学2013届高三数学(理文)补充试题 2星


一、选择题: 1. 若复数 z = 1 + i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 , 则 z 2 +z 的虚部为(A) A . 0 B.-1 C . 1 A. $ x0 危 R, ex0 D. -2 ) B. " x ? R, 2x 2. 下列命题中,真命题是(D
?

2

0

x2<

br />
C. a + b = 0 的充要条件是

a =-1 b

D. a > 1, b > 1 是 ab > 1 的充分条件 )

3. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是(D

A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 4. 把函数 y =cos 2 x + 1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是(A)

5. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE = 1 ,连接 EC 、 ED 则 sin ? CED A.

( B
D


C

3 10 10

B.

10 10

C.

5 10

D.

5 15

6.将圆 x2 + y 2 - 2 x - 4 y +1 = 0 平分的直线是(C ) A. x + y - 1 = 0 B . x + y +3 = 0 C. x - y +1 = 0 D. x - y + 3 = 0
E A B

O 0,0 , P 6,8 , 7. 在平面直角坐标系中, 将向量 OP 按逆时针旋转
A.

( ) ( )

3π 后, 得向量 OQ , 则点 Q 的坐标是 ( 4
D.

A )

(-7
1 4

2, - 2

)
C.

B.

(-7

2, 2

)

C.

(-4

6, - 2

)

(-4

6, 2

)
(C )

2 2 8. 已知 F1、F2 为双曲线 C: x - y = 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, PF 1 = 2PF 2 ,则 cos? F 1PF 2

A.

B.

3 5

3 4

D.

4 5

9. 样本 x1 , x2

(

样本 ( y1 , y2 , xn ) 的平均数为 x ,

若样本 ( x1, x2 , ym ) 的平均数为 y x ? y ,

(

)

, xn , y1, y2 ,

ym )

的平均数 z = a x + (1 - a ) y ,其中 0 < α < A. n < m B. n > m C. n = m

1 ,则 n, m 的大小关系为( A ) 2
D.不能确定

10.设 a > 0,b > 0, 下列选项正确的是(A) A.若 2a + 2a = 2b + 3b ,则 a > b C.若 2a - 2a = 2b - 3b ,则 a > b B.若 2a + 2a = 2b + 3b ,则 a < b D.若 2a - 2a = 2b - 3b ,则 a < b

11. 右图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应填 入( D ) A. P =

N 1000

B. P =

4N 1000

C. P =

M 1000

D. P =

4M 1000

12. 已知矩形 ABCD ,AB 将 D ABD 沿矩形的对角线 BD 所 =, 1 BC = 2. 在的直线进行翻折,在翻折过程中,下列选项正确是(B) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“ AC 与 BD ” , “ AB 与 CD ” , “ AD 与 BC ”均不 垂直
]

二、填空题: 13. 设数列 {an },{bn } 都是等差数列,若 a1 + b1 = 7 , a3 + b3 = 21 ,则 a5 + b5 = ____35______. 14. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水 面宽(单位:米)

2 6

.

15. 某公司生产甲、 乙两种桶装产品. 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克. 每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的 利润是 400 元;公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计 划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是__2800 元_______
2 ì ba , b ? a -a 16. 对于实数 a , b ,定义运算“ * ” : a*b = í 2 ,设 f ( x) = ( 2 x - 1 ) *( x - 1) ,且关于 x 的方程为 ? ? b - ab, a > b

1- 3 f ( x) = m( m R ) 恰有三个互不相等的实数根 x1, x2 , x3 ,则 x1, x2 , x3 的取值范围是__ ( 16 , 0) ___.
三、解答题: 17. 设函数 f x =

( )

2 π cos(2 x + ) + sin 2 x 2 4 .

(I )求函数 f x 的最小正周期;

()

(II )设函数 g x 对任意 x ? R ,有 g ( x + ) = g( x ) ,且当 x ? 犏 0, 求函数 g x

( )

π 2

轾π 1 时, g ( x) = - f ( x) ; 犏 2 臌2

( )

在 - π,0 上的解析式.

[

]

解: (I )

f ( x) =

2 π 1 1 1 cos(2 x + ) + sin 2 x = cos 2 x - sin 2 x + (1 - cos 2 x) 2 4 2 2 2
,

1 1 = - sin 2 x 2 2
的最小正周期 T =

函数 f x

()

2π =π 2 .

(II )当 x ? 犏 0,

轾π 1 1 时, g ( x) = - f ( x) = sin 2 x 犏 2 2 臌2 , π 2 轾π 0, 犏 犏2 臌 轾π 0, 犏 犏 臌2
π 1 π 1 g ( x) = g ( x + ) = sin 2( x + ) = - sin 2 x 2 2 2 2 , π 1 π 1 g ( x) = g ( x + ) = sin 2( x + ) = sin 2 x 2 2 2 2 ,

当 x ? 犏 , 0 时, ( x + )

轾π 犏2 臌

当 x ? 犏π , -

轾 犏 臌

π 时, ( x + π ) 2

ì 1 p , 0] ? - sin 2 x, x ? [ ? 2 2 得:函数 g ( x) 在 [ - π,0] 上的解析式为 g ( x) = í p ?1 ? sin 2 x, x ? [ p , - ) ?2 2 .
18. 某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后 该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用 的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有 n + m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试 题库中 A 类试题的数量。 (Ⅰ)求 X = n + 2 的概率; (Ⅱ)设= m = n ,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解: (I ) X = n + 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 (Ⅱ) m = n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p = 随机变量 X 可取 n, n +1, n + 2

n n +1 ? m +n m +n +2

1 2 ,

1 1 1 2 P ( X = n) = (1 - p) = , P ( X = n +1) = 2 p (1 - p) = , P ( X = n + 2) = p 2 = 4 2 4

X
p

n
1 4
1 4

n +1

n+2

1 2
1 n +1

1 4

EX = n ?
19.

( n +1) ? 2 ( n + 2) ? 4

1

如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ^ 平面 ABCD , AB = 4,BC = 3,AD = 5 ,? DAB

? ABC 90 ,

E 是 CD 的中点.
(Ⅰ)证明: CD ^ 平面 PAE ; (Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P - ABCD 的体积. 解: (Ⅰ)连接 AC ,由 AB = 4 , ? ABC

90 ,得AC = 5.

又AD = 5, E 是 CD 的中点,所以 CD ^ AE. PA ^ 平面ABCD, CD 平面ABCD, 所以 PA ^ CD.
而 PA, AE 是 平 面 PAE 内 的 两 条 相 交 直 线 , 所 以 CD ^ 平 面

PAE .
(Ⅱ)过点B 作 BG ∥ CD, 分别与AE , AD相交于F , G , 连接PF . 由(Ⅰ) CD ^ 平面 PAE 知, BG ^ 平面 PAE .于是 ?BPF 为 直线 PB 与平面 PAE 所成的角,且 BG ^ AE . 由 PA ^ 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB = 4, AG = 2, BG ^ AF , 由题意,知 ? PBA
因为 sin ? PBA 由 ? DAB

BPF ,

PA ,sin ? BPF PB

BF , 所以 PA = BF . PB

? ABC

90 知,AD / / BC , 又BG / / CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形,故 GD = BC = 3. 于是

AG = 2.
在 RtΔBAG 中, AB = 4, AG = 2, BG ^ AF , 所以 BG =

AB 2 + AG 2 = 2 5, BF =

AB 2 16 8 5 = = . BG 2 5 5

于是 PA = BF = 又 梯 形

8 5 . 5
的 面 积 为

ABCD

1 S = ? (5 3)? 4 16, 所 以 四 棱 锥 2 P - ABCD 的体积为

1 1 8 5 128 5 V= 创 S PA = 创 16 = . 3 3 5 15

法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系.设 PA = h,

则相关的各点坐标为:

A(4, 0, 0), B(4, 0, 0), C (4,3, 0), D(0,5, 0), E (2, 4, 0), P (0, 0, h).
(Ⅰ)易知 CD = (- 4, 2, 0), AE = (2, 4, 0), AP = (0, 0, h). 因为

CD ? AE

- 8 + 8 + 0 = 0, CD ? AP 0, 所以 CD ^ AE , CD ^ AP. 而 AP, AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以

CD ^ 平面PAE.
(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, CD, AP 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与

平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

cos < CD, PB > = cos < PA, PB > ,即

CD 鬃 PB CD 鬃 PB

=

PA PB PA PB

.

由(Ⅰ)知, CD = (- 4, 2, 0), AP = (0, 0, - h), 由 PB = (4, 0, - h), 故

- 16 + 0 + 0 2 5? 16 h
解得 h =
2

=

0 + 0 + h2 h ? 16 h 2

.

8 5 . 5
1 2

又梯形 ABCD 的面积为 S = ? (5 3) ? 4 16 ,所以四棱锥 P - ABCD 的体积为

1 1 8 5 128 5 . V= 创 S PA = 创 16 = 3 3 5 15

x2 y 2 ??? F 1 ( - c,0) , F 2 ( c,0) 分别是椭圆 C : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的左,右焦点,过点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 a b
分于点 P ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x = (I )若点 Q 的坐标为 4,4 ;求椭圆 C 的方程; (II )证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

a2 于点 Q ; c

( )

x2 y 2 b2 解: (I )点 p ( - c, y1)( y1 > 0) 代入 2 + 2 = 1 得: y1 = a b a

b2 -0 4- 0 a PF1 ^ QF2 鄞 = -1 ①, - c- c 4- c


a2 =4 ② , c

c2 = a2 - b2 ( a,b,c > 0) ③
由①②③得: a = 2, c = 1, b = 3 既椭圆 C 的方程为

x2 y 2 + =1 4 3 .

b2 -0 a a (II )设 Q( , y2 ) ;则 PF1 ^ QF2 鄞 c -c- c
2

y2 - 0 = -1? y2 a2 -c c
2

2a

得: K PQ

b2 c = 2 a = a a +c c 2a -

x y + 2 =a? y 2 a b

2

2

b2 -

b 2 x ? y? a2

b2 x a2 b2 b2 - 2 x2 a -

c 过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k = y? x =- c = = kPQ a
得:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。 21.已知函数 f ( x) = e ax - x ,其中 a ?

.

0 .

R, f x (Ⅰ)若对一切 x 纬

()

1 恒成立,求 a 的取值集合.

(II )在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A x1 , f ( x1 ) , B ( x2 , f ( x2 )) ( x1 < x2 ) ,记直线 AB 的斜率为 K ,问:是否存

(

)

( x0 ) > k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由. 在 x0 ?(x1,x2 ,使 f ? )
解: (Ⅰ)若 a < 0 ,则对一切 x > 0 , f ( x) = e ax - x < 1 ,这与题设矛盾,又 a ? 故 a >0. 而 f? ( x) = 0, 得x = ( x) = ae ax - 1, 令 f ? 当x<

0,

1 1 ln . a a

1 1 1 1 1 1 ln 时, f ? ( x) < 0, f ( x) 单调递减;当 x > ln 时, f ? ( x) > 0, f ( x) 单调递增,故当 x = ln 时, f ( x) a a a a a a 1 1 1 1 1 取最小值 f ( ln ) = - ln . a a a a a
于是对一切 x 纬R, f ( x)

1 恒成立,当且仅当

1 1 1 - ln a a a

1.



令 g (t ) = t - t ln t , 则 g ? (t ) = - ln t. 当 0 < t < 1 时, g ? (t ) > 0, g (t ) 单调递增;当 t > 1 时, g ? (t ) < 0, g (t ) 单调递减. 故当 t = 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) = 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 {1} .

1 = 1 即 a = 1 时,①式成立. a

(Ⅱ)由题意知, k =

f ( x2 ) - f ( x1 ) e ax2 - e ax1 = - 1. x2 - x1 x2 - x1
ax2

e 令 j ( x) = f ? ( x) - k = ae ax -

- e ax1 ,则 x2 - x1

e ax1 轾a ( x2 - x1 ) j ( x1 ) = e - a ( x2 - x1 ) - 1 , x2 - x1 臌 j ( x2 ) = e ax2 轾a ( x1 - x2 ) e - a ( x1 - x2 ) - 1 . x2 - x1 臌

令 F (t ) = et - t - 1 ,则 F ? (t ) = et - 1 . 当 t < 0 时, F ? (t ) < 0, F (t ) 单调递减;当 t > 0 时, F ? (t ) > 0, F (t ) 单调递增. 故当 t = 0 , F (t ) > F (0) = 0, 即 et - t - 1 > 0. 从而 e a ( x2 - x1 ) - a ( x2 - x1 ) - 1 > 0 , e a ( x1 - x2 ) - a ( x1 - x2 ) - 1 > 0, 又 所以 j ( x1 ) < 0, j ( x2 ) > 0. 因 为 函 数 y = j ( x) 在 区 间 x1 , x2

e ax1 e ax2 > 0, > 0, x2 - x1 x2 - x1

[

]

上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 所 以 存 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使

1 e ax2 - e ax1 2 ax ? j ( x0 ) = 0, j ( x) = a e > 0,j ( x) 单 调 递 增 , 故 这 样 的 x0 是 唯 一 的 , 且 x0 = ln .故当且仅当 a a ( x2 - x1 ) 1 e ax2 - e ax1 x ? ( ln , x2 ) 时, f ? ( x0 ) > k . a a ( x2 - x1 )

( x0 ) > k 成立.且 x0 的取值范围为 综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?
1 e ax2 ? e ax1 ( ln , x2 ) . a a ( x2 ? x1 )
选做题: 22. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆 O 和圆 O?相交于 A,B 两点, 过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C , D 两点, 连结 DB 并延长交圆 O 于点 E . 证明: (I ) AC ? BD AD AB ; (II ) AC = AE 证明: (I )由 AC 与圆 O 相切于 A ,得 ? CAB

ADB ,同理 ? ACB

DAB ,

AC AD = ,即 AC ? BD AD AB AB BD BAD ,又 ? ADE BDA ,得 D EAD 相似于 D ABD (II )由 AD 与圆 O 相切于 A ,得 ? AED AE AD = 从而 ,即 AE ? BD AD AB ,综合(I )的结论, AC = AE AB BD

ACB 相似于 D DAB ,从而 所以 D

23. 选修 4-4:坐标系与参数方程

2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x2 + y 2 = 4 ,圆 C2 : x - 2 + y = 4 . (I )在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 , C2 的交点坐

(

)

2

标(用极坐标表示); (II )求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程. 解: (I )圆 C1 的极坐标方程为 ρ = 2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ρ = 4 cos θ ,

ì π π π ? ρ =2 得 ρ = 2, θ = ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 (2, ), (2, - ) 3 3 3 ? ? ρ = 4cos θ ì ? x = ρ cos θ (II )由 í ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1, - 3 ? ? y = ρ sin θ ì ? x = 1; 故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 í (t为参数, - 3# t 3) ? ? y = t.
解í

( )(

)

24. 选修 4-5:不等式选讲 已知 f x = ax +1 a (I )求 a 的值; (II )若 f x - 2 f ( ) 解: (I )由 ax +1

()

(

R) ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x - 2 #x 1}
k 恒成立,求 k 的取值范围.

( )

x 2

3 得 - 4 #ax 2 ,又 f ( x) ? 3 的解集为 {x - 2 #x 1} ,所以
2 ,得 a = 2 a
.

当 a ? 0 时,不合题意 当 a > 0 时, -

4 #x a

ì ? 1, x ? 1 ? ? x 1 ? (II )记 h ( x) = f ( x) - 2 f ( ) ,则 h ( x) = í - 4 x - 3, - 1 < x < , 2 2 ? ? 1 ? 1, x ? ? ? 2 所以 h ( x) ? 1 ,因此 k ? 1 .

一、选择题: 1. 复数 z 满足 ( z - i )i = 2 + i ,则 z = A . ?1? i B .1 ? i (B) D.1 ? 2i

C. ? 1 ? 3i

2. 命题“存在实数 x ,使 x > 1 ”的否定是(C ) A. 对任意实数 x , 都有 x > 1 C. 对任意实数 x , 都有 x ? 1 6. B. 不存在实数 x ,使 x ? 1 D. 存在实数 x ,使 x ? 1

sin 47 ? sin17 cos 30 =(C ) cos17
3 2
B. ?

A. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

7.下列命题正确的是( C ) A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C. 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 二、填空题 13. 公比为 2 的等比数列{an } 的各项都是正数,且 a3a11 = 16 ,则 a5 = 1

ì x+ y - 3 0 ? ? 15. 若曲线 y = 2x 上存在点 ( x, y) 满足约束条件 í x - 2 y - 3 0 ,则实数 m 的最大值为 1. ? x? m ? ?
三、解答题: 17.已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , S k ? 2 成等比数列,求正整数 k 的值. 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 ? 解得 a1 ? 2, d ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n . (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ?

? 2a1 ? 2d ? 8 , ?2a1 ? 4d ? 12

(a1 ? an )n (2 ? 2n) n ? ? n(1 ? n) , 2 2
2 k

因 a1 , ak , S k ? 2 成等比数列,所以 a 从而 (2k ) 2 ? 2( k ? 2)( k ? 3) ,即

= a1S k +2 ,
k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 . 18.近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设 置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾, 数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾” 箱 厨余垃圾 可回收物 400 30 “可回收物” 箱 100 240 “其他垃圾” 箱 100 30 60

其他垃圾 20 20 (Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误额概率;

( Ⅲ ) 假 设 厨 余垃 圾 在 “ 厨余 垃 圾 ”箱 、 “ 可 回收 物 ” 箱 、 “ 其 他 垃 圾” 箱 的 投 放量 分 别 为 a, b, c

其中

2 a > 0, a+ b+ c = 6 0 0 .当数据 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s 的值.

(注: s =

2

1轾 犏x1 - x n臌

(

) + ( x - x)
2 2

2

+

+ xn - x

(

)

2

,其中 x 为数据 x1 , x2 ,

, xn 的平均数)

解: (Ⅰ)由题意可知:

400 2 = ? 600 3 ??

(Ⅱ)由题意可知:

200 + 60 + 40 3 ? = 1000 10 ?? 1 2 2 2 a + b + c - 120000 ,? 3 ?

(Ⅲ)由题意可知: s 2 =

(

)

因此当 a = 600, b = 0, c = 0 ? 时, s 2 = 80000 .? ??? 如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥, D ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? , M 为线段 AE 的中点,求证: DM ∥平面 BEC . 解:(I)设 BD 中点为 O ,连接 OC,OE ,则由 BC ? CD 知, CO ? BD , 又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE . 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N ,连接 MN , DN , ∵ M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵D ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB .

BCD = 120 知, 邪 CBD = 30 ,所以 邪 ABC = 60 + 30鞍 = 90 ,即 BC ? AB , 由邪
所以 ND ∥ BC , 所以平面 MND ∥平面 BEC ,故 DM ∥平面 BEC 20. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 上. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程. 解:(Ⅰ)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1, 0) ,所以 c ? 1 , 点 P (0,1) 代入椭圆
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 (?1, 0) ,且点 P(0,1) 在 C1 a 2 b2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , 2 a b b

所以 a ? b ? c ? 2 , 所以椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

ì x2 + y2 =1 ? ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 2 ? 0 , í 2 ? ? ? y = kx + m
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k 2 m 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m 2 ? 2) ? 0 , 整理得 2k 2 ? m 2 ? 1 ? 0 ①

2 ì ? y = 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m 2 ? 0 , í ? ? y = kx + m

因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m 2 ? 0 , 整理得 km ? 1 ②

ì 2 ì 2 ? ? ?k= ? k =综合①②,解得 í 2 或í 2 . ? ? ? ?m= 2 ? ? m=- 2
所以直线 l 的方程为 y ? 21. 已知函数 f ( x) ? 平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g ( x) ? xf ?( x) ,其中 f ?( x) 为 f ( x) 的导函数. 证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e ?2 .
1 ? ln x ? k 解:(I) f ?( x) ? x , ex

2 2 x? 2. x? 2或 y ?? 2 2

ln x ? k (k 为常数,e=2.71828?是自然对数的底数 ),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴 ex

由已知, f ?(1) ?

1? k ? 0 ,∴ k ? 1 . e

1 ? ln x ? 1 (II)由(I)知, f ?( x) ? x . ex

设 k ( x) ? 数,

1 1 1 ? ln x ? 1 ,则 k ?( x) ? ? 2 ? ? 0 ,即 k ( x) 在 (0, ??) 上是减函 x x x

由 k (1) ? 0 知,当 0 ? x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 k ( x) ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 . 综上可知, f ( x) 的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1, ??) .

( x ) ? 0<1 e- 2 , 故 只 需 证 明 (III) 由 (II) 可 知 , 当 x ? 1 时 , g ( x) = xf ? g ( x) ? 1 ? e?2 在 0 ? x ? 1 时成立.

当 0 ? x ? 1 时, e x > 1 ,且 g ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ?

1 ? x ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x . ex

设 F ( x) ? 1 ? x ln x ? x , x ? (0,1) ,则 F ?( x) ? ?(ln x ? 2) , 当 x ? (0,e?2 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? (e?2 ,1) 时, F ?( x) ? 0 , 所以当 x ? e?2 时, F ( x) 取得最大值 F (e?2 ) ? 1 ? e ?2 . 所以 g ( x) ? F ( x) ? 1 ? e ?2 . 综上,对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e ?2 . 选做题: 22. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, 圆 O 和圆 O? 相交于 A,B 两点, 过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C , D 两点, 连结 DB 并延长交圆 O 于点 E . 证明: (I ) AC ? BD ? AD ? AB ; (II ) AC = AE 证明: (I )由 AC 与圆 O 相切于 A ,得 ? CAB

ADB ,同理 ? ACB DAB , AC AB = 所以 ?ACB 相似于 ?DAB ,从而 ,即 AC ? BD ? AD ? AB AD BD BAD ,又 ? ADE BDA ,得 ?EAD 相似于 ?ABD (II )由 AD 与圆 O 相切于 A ,得 ? AED AE AD = 从而 ,即 AE ? BD ? AD ? AB ,综合(I )的结论, AC = AE AB BD
23. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x2 + y 2 = 4 ,圆 C2 : x - 2 标(用极坐标表示); (II ) )求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程. 解: (I )圆 C1 的极坐标方程为 ρ = 2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ρ = 4 cos θ ,

(

)

2

+ y2 = 4

(I )在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程,并求出圆 C1 , C2 的交点坐

ì π π π ? ρ =2 得 ρ = 2, θ = ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 (2, ), (2, - ) 3 3 3 ? ? ρ = 4cos θ ì ? x = ρ cos θ (II )由 í ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1, - 3 ? ? y = ρ sin θ ì ? x = 1; (t为参数, - 3# t 3) 故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 í ? ? y = t.
解í

( )(

)

24. 选修 4-5:不等式选讲 已知 f x = ax +1 a (I )求 a 的值; (II )若 f x - 2 f ( ) 解: (I )由 ax +1

()

(

R) ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x - 2 #x 1}
k 恒成立,求 k 的取值范围.

( )

x 2

3 得 - 4 #ax 2 ,又 f ( x) ? 3 的解集为 {x - 2 #x 1} ,所以
2 ,得 a = 2 a
.

当 a ? 0 时,不合题意 当 a > 0 时, -

4 #x a

ì ? 1, x ? 1 ? ? x 1 ? (II )记 h ( x) = f ( x) - 2 f ( ) ,则 h ( x) = í - 4 x - 3, - 1 < x < , 2 2 ? ? 1 ? - 1, x ? ? ? 2
所以 h x ? 1 ,因此 k ? 1

( )


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