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天津市五区县2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


天津市五区县 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知 i 是虚数单位,则 A. + i 等于( ) C. + i D. + i

B. + i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:

数系的扩充和复数. 分析:根据复数的基本运算法则进行计算即可. 解答: 解: = = = + i,

故选:A 点评:本题主要考查复数的基本运算,比较基础. 2.若 a,b∈R 且 a>b,则( A.a >b
2 2

)
3 3

B.a >b

C.

D.

考点:不等式的基本性质. 专题:不等式的解法及应用. 分析:根据不等式的基本性质,结合已知中 a>b,逐一分析四个答案中的不等式是否一定 成立,可得答案. 解答: 解:∵a,b∈R 且 a>b, 2 2 由于 a,b 符号不确定,故 a 与 b 的大小不能确定,故 A 不一定成立; 3 3 但 a >b 成立,故 B 正确; 但由于 a,b 符号不确定,故 但由于 a,b 符号不确定,故 与 大小不能确定,故 C 不一定成立; 大小不能确定,故 D 不一定成立;

故选:B. 点评: 本题考查的知识点是不等式的基本性质, 熟练掌握不等式的基本性质, 是解答的关键. 3.若 z1,z2∈R,则|z1?z2|=|z1|?|z2|,某学生由此得出结论:若 z1,z2∈C,则|z1?z2|=|z1|?|z2|, 该学生的推理是( ) A.演绎推理 B.逻辑推理 C.归纳推理 D.类比推理

考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:由实数集中成立的结论,到复数集中的结论,是类比推理. 解答: 解:由实数集中成立的结论,到复数集中的结论,是类比推理, 故选:D. 点评:本题考查类比推理,本题解题的关键在于对类比推理的理解. 4.一般地,在两个分类变量的独立性检验过程中有如下表格: P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.005

0.025

0.010

k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 如图是两个分类变量 X,Y 的 2×2 列联表的一部分,则可以有多大的把握说 X 与 Y 有关系 ( ) y1 y2 x1155 x22020 A.90% B.95% C.97.5% D.99%

考点:独立性检验的应用. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据所给的观测值,把观测值同表格所给的临界值进行比较,看观测值大于哪一个临 界值,得到说明两个变量有关系的可信程度. 解答: 解:∵k =
2

≈3.43>2.706,

∴有 90%的把握说 X 与 Y 有关系, 故选 A. 点评:本题考查独立性检验,考查两个变量之间的关系的可信程度,考查临界值表的应用, 本题是一个基础题,关键在于理解临界值表的意义. 5.已知 i 是虚数单位,则 1+i+i …+i A.1﹣i B.1+i
2 100

等于(

) C .0

D.1

考点:虚数单位 i 及其性质. 专题:数系的扩充和复数. n 分析:根据复数 i 的周期性进行求解. 4n 4n+1 4n+2 4n+3 解答: 解:∵i +i +i +i =0, 2 100 2 100 2 3 4 ∴1+i+i …+i =1+(i+i …+i )=1+25(i+i +i +i )=1, 故选:D 4n 4n+1 4n+2 4n+3 点评: 本题主要考查复数的计算, 根据 i +i +i +i =0 是解决本题的关键. 比较基础.

6.如图,在△ ABC 中,E,F 分别是 AB,AC 上的点,若 EF∥BC,△ AEF 与四边形 EFCB 的面积相等,则 等于( )

A.

B.

C.

D.

考点:平行线分线段成比例定理. 专题:选作题;空间位置关系与距离. 分析: 利用△ AEF 与四边形 EFCB 的面积相等, 可得△ AEF 与△ ACB 的面积相的比为 1: 2, 利用三角形相似的性质,即可得出结论. 解答: 解:∵△AEF 与四边形 EFCB 的面积相等, ∴△AEF 与△ ACB 的面积相的比为 1:2, ∵EF∥BC, ∴ = ,

故选:B. 点评:本题考查了相似三角形的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

7.已知函数 f(x)=2x+ (x>0) ,则(

)

A.x=±1 时,函数 f(x)的最小值为 4 B.x=±2 时,函数 f(x)的最小值为 2 C.x=1 时,函数 f(x)的最小值为 4 D.x=2 时,函数 f(x)的最小值为 2 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵x>0,∴f(x)≥2× =4,当且仅当 x=1 时取等号.

∴函数 f(x)的最小值为 4. 故选:C. 点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 8.如图,已知 AB 是半径为 5 的圆 O 的弦,过点 A,B 的切线交于点 P,若 AB=6,则 PA 等于( )

A.

B.

C.

D.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析:连接 OP,交 AB 于 C,求出 OC,OP,利用勾股定理求出 PA. 解答: 解:连接 OP,交 AB 于 C,则 ∵过点 A,B 的切线交于点 P, ∴OB⊥BP,OP⊥AB, ∵AB=6,OB=5, ∴OC=4, ∵OB =OC?OP, ∴25=4OP, ∴OP= ,
2

∴CP= , ∴PA= 故选:C. = ,

点评:本题考查圆的切线的性质,考查勾股定理,考查学生的计算能力,比较基础. 9.已知 z∈C,i 是虚数单位,f( ﹣1)=|z+i|,则 f(1+2i)等于( A. B. C. D. 考点:复数代数形式的混合运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:根据条件将函数 f(1+2i)转化为已知条件 f( ﹣1)=|z+i|形式进行求解即可. 解答: 解:∵f(1+2i)=f(2+2i﹣1) , ∴ =2+2i,则 z=2﹣2i, 即 f(1+2i)=|2﹣2i+i|=|2﹣i|= = , )

故选:D 点评:本题主要考查函数值的计算,根据复数形式进行有效转化是解决本题的关键. 10.如图,AB 是半径为 2 的圆 O 的弦,CD 是圆 O 的切线,C 是切点,D 是 OB 的延长线 与 CD 的交点,CD∥AB,若 CD= ,则 AC 等于( )

A.

B.

C .1

D.2

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题;推理和证明. 分析:连接 OC,则 OC⊥CD,利用 CD∥AB,可得 OC⊥AB,AC=BC,利用余弦定理求出 BC,即可得出结论. 解答: 解:连接 OC,则 OC⊥CD, ∵CD∥AB,∴OC⊥AB, ∴AC=BC, △ OCD 中,OC=2,CD= ,∴OD=3, ∴BD=1,cos∠D= ∴BC= ∴AC= 故选:B. , , = ,

点评:本题考查圆的切线的性质,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 11.在一次抽样调查中,获得一组具有线性关系的数据(xi,yi) ,i=1,2,…,10,用最小 二乘法得到的线性回归方程为 y= x+2,若这组数据的样本点中心为(3,4) ,则 = .

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:将这组数据的样本点中心为(3,4) ,代入线性回归方程为 y= x+2,即可得出结论. 解答: 解:因为用最小二乘法得到的线性回归方程为 y= x+2,这组数据的样本点中心为 (3,4) , 所以 4=3 +2,

所以 = . 故答案为: . 点评:本题考查线性回归方程,考查数据的样本中心点,考查样本中心点和线性回归直线的 关系,本题是一个基础题. 12.数列{n }的前 n 项和为 Sn,观察下列式子:S
3 3 3 2 3 3

,S

=(1+2) , .

2

S3=1 +2 +3 = (1+2+3) , …, 根据以上式子猜想数列{n }前 n 项和公式 Sn=

考点:归纳推理. 专题:等差数列与等比数列;推理和证明. 3 3 2 2 3 3 3 2 2 分析:根据题意,分析题干所给的等式可得:1 +2 =(1+2) =3 ,1 +2 +3 =(1+2+3) =6 , 3 3 3 3 2 2 1 +2 +3 +4 =(1+2+3+4) =10 ,归纳等式两边的变化规律,进而可得答案. 解答: 解:根据题意,分析题干所给的等式可得: 1 +2 =(1+2) =3 , 3 3 3 2 2 1 +2 +3 =(1+2+3) =6 , 3 3 3 3 2 2 1 +2 +3 +4 =(1+2+3+4) =10 , … 归纳可得:1 +2 +3 +4 +…+n =(1+2+3+4+…+n) =[ 故答案为: 点评:归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 13.阅读如图的程序框图,输入的 N=6,则输出的结果为 9
3 3 3 3 3 2 3 3 2 2

]=

2



考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 的值,

解答: 解:∵输入的 N=6, 当 i=1 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=1,i=2; 当 i=2 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=9,i=3; 当 i=3 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=36,i=4; 当 i=4 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=100,i=5; 当 i=5 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=225,i=6; 当 i=6 时,不满足退出循环的条件,执行循环体后:S=441,i=7; 当 i=7 时,满足退出循环的条件, 故输出的 = =9,

故答案为:9 点评:本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的 方法解答. 14.如图,在直角△ ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°,CD⊥AB,DE⊥BC,D,E 为垂足, 则 DE= .

考点:相似三角形的性质. 专题:选作题;推理和证明. 分析:利用射影定理,求出 BD,再利用等面积,即可求出 CD,DE. 解答: 解:在直角△ ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°,所以 AB=5,所以 BD= 因为 CD⊥AB,所以由等面积可得 CD= , ,

所以由等面积可得 DE= 故答案为: .

=



点评:本题考查射影定理,考查三角形面积公式的运用,属于中档题.

15.若 k>1,a>0,则 k a +

2 2

的最小值是 12.

考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析:两次利用基本不等式的性质即可得出.

解答: 解: ka+
2 2

=6



=2, 当且仅当 k=2,a= 时取等号. 故答案为:12. 点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.已知 i 是虚数单位,z=(m ﹣2m﹣3)+(2m +m﹣1)i,m∈R. (1)若 z 是纯虚数,求 m 的值; (2)若 m=1 时 z 对应的点为 A,m=2 时 z 对应的点为 B,求 A,B 两点的距离. 考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析: (1)根据 z 是纯虚数,建立方程关系即可求 m 的值; (2)根据复数的几何意义求出 A,B 的坐标即可. 解答: 解: (1)∵z 是纯虚数, ∴ …
2 2





∴m=3 … (2)当 m=1 时,z=﹣4+2i,∴点 A 的坐标为(﹣4,2)… 当 m=2 时,z=﹣3+9i, ∴点 B 的坐标为(﹣3,9)… ∴|AB|= =5 …

点评:本题主要考查复数的概念以及复数的几何意义,比较基础. 17.已知关于 x 的不等式|3x﹣a+5|<|2a+1|,a∈R, (1)当 a=1 时解不等式; (2)若 x= 是不等式的一个解,求 a 的取值范围.

考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)当 a=1 时,原不等式即|3x=4|<3,即﹣3<3x+4<3,由此求得它的解集.

(2) 由 x= 是不等式的一个解, 可得|3× ﹣a+5|<|2a=11|, 即|2a+1|>5, 由此求得 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=1 时,原不等式即|3x=4|<3,∴﹣3<3x+4<3, ∴﹣7<3x<﹣1,求得﹣ <x<﹣ , ∴a=1 时,不等式的解集为{x|﹣ <x<﹣ }.

(2)∵x= 是不等式的一个解,∴|3× ﹣a+5|<|2a=11|,即|2a+1|>5, ∴2a+1>5 或 2a+1<﹣5,求得 a>2 或 a<﹣3. 点评:本题主要考查分式不等式的解法,体现了等价转化的数学思想,属于基础题. 18.已知数列{an}满足 nan+1=(n+1)an+1,n∈N ,a1=a>0. (1)求 a2,a3,a4 的值并猜出{an}的通项公式; (2)求证,分别以 a2,a3,a4 为边的三角形不可能是直角三角形. 考点:数列的应用;数列递推式. 专题:综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)n=1,2,3,分别代入,即可求 a2,a3,a4 的值,从而猜出{an}的通项公式; (2)利用反证法证明,即可得出结论. 解答: (1)解:∵nan+1=(n+1)an+1,n∈N ,a1=a>0, ∴令 n=1 得 a2=2a1+1=2a+1 … 令 n=2 得 2a3=3a2+1=3a+2 … 令 n=3 得 3a4=4a3+1=4a+3 … ∴an=(a+1)n﹣1… (2)证明:假设以 a2,a3,a4 为边的三角形是直角三角形 ∵a>0,∴4a+3>3a+2>2a+1,∴4a+3 为直角三角形的斜边 ∴(4a+3) =(2a+1) +(3a+2) ∴3a +8a+4=0,∴a=﹣ 或 a=﹣2
2 2 2 2 * *



… …

以上二根均为负数,与已知 a>0 矛盾 … ∴假设不成立,原命题成立 … 点评:本题考查数列递推式,考查反证法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档 题. 19.已知 a>0,b>0,且 a+b=2. (1)求 + 的最小值及其取得最小值时 a,b 的值; (2)求证:a +b ≥2. 考点:基本不等式. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 2 2 2 (2)利用 2(a +b )≥(a+b) 即可得出.
2 2

解答: 解: (1)∵a>0,b>0,且 a+b=2. ∴ + = 当且仅当 = ,b= 时等号成立. =5+ + ≥ =9,

∴ + 的最小值为 9. (2)∵a>0,b>0,且 a+b=2. 2 2 2 ∴2(a +b )≥(a+b) =4, 2 2 ∴a +b ≥2,当且仅当 a=b=1 时取等号. 点评:本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.如图,△ ABC 是圆内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点 D,交 BC 于点 F,过点 B 圆的切线与 CD 的延长线交于点 E. (1)求证;∠EBD=∠CBD. (2)若 DE=2,DC=3,求边 BC 的长.

考点:与圆有关的比例线段;弦切角. 专题:选作题;推理和证明. 分析: (1)利用角与弧的关系,得到角相等; (2)利用角相等推导出三角形相似,得到边成比例,即可得出结论. 解答: (1)证明:∵BE 是切线,由弦切角定理,∴∠EBD=∠DAB … ∵∠DAC,∠CBD 是同弧上的圆周角,∴∠CBD=∠DAC … ∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠DAB=∠DAC … ∴∠EBD=∠CBD … (2)解:∵BE 是切线,由切割线定理,EB =ED?EC=10, ∴EB= … 由弦切角定理,∠EBD=∠DCB … ∴由(1)知,∠EBD=∠CBD=∠DCB,∴DC=DB=3 … ∵∠BED=∠CED, ∴△BED∽△CEB … ∴ ∴BC= ,∴ … ,
2

点评:本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系,还考查了三角形相似的知识,本题总体难度 不大,属于中档题.


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