高中数学完整讲义——复数

高中数学讲义

复数

典例分析
题型一：复数的概念
【例1】若复数 ? a2 ? 3a ? 2? ? ? a ? 1? i 是纯虚数，则实数 a 的值为（ A． 1 B． 2 C． 1 或 2 ） D． ?1

【例2】若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数，则实数 x 的

值为（ A． ?1 B． 0 C． 1

） D． ?1 或 1

【例3】已知 0 ? a ? 2 ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是（
5? A． ?1， 3? B． ?1，

）

C． 1， 5

?

?
．

D． 1， 3

?

?

【例4】若复数 i ? (2 ? bi) 是纯虚数，则实数 b ?

【例5】设 z1 是复数， z2 ? z1 ? iz1 （其中 z1 表示 z1 的共轭复数） ，已知 z 2 的实部是 ?1 ，则 z 2 的虚部 为 ．

【例6】复数 1 ?

2 ?（ i3 A． 1 ? 2i

） B． 1 ? 2i C． ?1 D． 3

0! 1! 2! 【例7】计算： i + i + i +

+ i100! ?

（ i 表示虚数单位）

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1

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【例8】设 z ? (2t 2 ? 5t ? 3) ? (t 2 ? 2t ? 2)i ， t ? R ，则下列命题中一定正确的是（ A． z 的对应点 Z 在第一象限 C． z 不是纯虚数 B． z 的对应点 Z 在第四象限 D． z 是虚数

）

【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ① 两个复数不能比较大小； ② 若 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数，则实数 x ? ?1 ； ③z 是虚数的一个充要条件是 z ? z ? R ； b 是两个相等的实数，则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数； ④ 若 a， ⑤z ? R 的一个充要条件是 z ? z ． 1 ⑥ z ? 1 的充要条件是 z ? ． z A．1 B．2 C．3

D．4

题型二：复数的几何意义
【例10】复数 z ?

(2 ? i ) 2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ 1? i
B．第二象限 C．第三象限

）

A．第一象限

D．第四象限

【例11】复数 z1 ? 3 ? i ， z2 ? 1 ? i ，则复数 A．第一象限

z1 在复平面内对应的点位于（ z2
C．第三象限

） D．第四象限

B．第二象限

1 ? i 2009 【例12】在复平面内，复数 对应的点位于（ (1 ? i)2
A．第一象限 B．第二象限

） D．第四象限

C．第三象限

【例13】在复平面内，复数 z ? sin 2 ? i cos 2 对应的点位于（ A．第一象限 B．第二象限

） D．第四象限

C．第三象限

2

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【例14】在复平面内，复数 A． 1

2 对应的点与原点的距离是（ 1? i

） D． 2 2

B．

2

C． 2

【例15】若复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? ai ，且复数 z 在复平面上对应的点位于第二象限，则实数 a 的 取值范围是（ A． a ? 1 ） B． ? 1 ? a ? 1 C． a ? ?1 D． a ? ?1或a ? 1

【例16】已知复数 z＝3＋4i 所对应的向量为 OZ ，把 OZ 依逆时针旋转 θ 得到一个新向量为

OZ 1 ．若 OZ 1 对应一个纯虚数，当 θ 取最小正角时，这个纯虚数是（
A．3i B．4i C．5i D．－5i

）

【例17】复数 z ?

m ? 2i （ m ? R ， i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ 1 ? 2i

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【例18】若 ? ? ? π ， π ? ，复数 (cos? ? sin ? ) ? (sin ? ? cos? )i 在复平面内所对应的点在（ 4 4 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

?3 ?

5 ? ?

）

B 为锐角三角形的两个内角，则复数 z ? (cot B ? tan A) ? (tan B ? cot A)i 对应的点位于 【例19】设 A ，

复平

面的（ A．第一象限

） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例20】如果复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ，那么 z ? i ? 1 的最小值是（ A．1 B． 2 C．2

） D． 5

【例21】满足 z ? 1 及 z ?

1 3 ? z ? 的复数 z 的集合是（ 2 2

）

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3

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? 3 1 3 ? ? 1 ? A． ?? ? i， ? ? i? 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 2 2 ? ? C． ? ? i， ? i? 2 2 2 ? ? 2 ? ?

B． ? ? i ， ? i ?
?1 ? 3 1 3 ? ? D． ? ? i， ? i? 2 2 ? ?2 2 ? ?

?1 ?2

1 2

1 2

1 ? 2 ?

y ? R) 的模为 3 ，则 【例22】已知复数 ( x ? 2) ? yi( x ，

y 的最大值为_______． x

【例23】复数 z 满足条件： 2 z ? 1 ? z ? i ，那么 z 对应的点的轨迹是（ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

）

【例24】复数 z1 ， z 2 满足 z1 z2 ? 0 ， z1 ? z2 ? z1 ? z2 ，证明：

z12 ? 0． z2 2

【例25】已知复数 z1 ， z 2 满足 z1 ? 7 ? 1， z2 ? 7 ? 1，且 z1 ? z2 ? 4 ，求

z1 与 z1 ? z2 的值． z2

【例26】已知复数 z1，z2 满足 z1 ? z2 ? 1，且 z1 ? z2 ? 2 ，求证： z1 ? z2 ? 2 ．

z2 ? C ， z1 ? z2 ? 1 ， z1 ? z2 ? 3 ，求 z1 ? z2 ． 【例27】已知 z1 ，

【例28】已知复数 z 满足 z ? (2 ? 3i) ? z ? (2 ? 3i) ? 4 ，求 d ? z 的最大值与最小值．

题型三：复数的四则运算
【例29】复数 ? i ? ? 等于（ i
? ? ? 1?
3

） B． ?8 C． 8 i D． ? 8i

A． 8

【例30】设 a ? R ，且 (a ? i)2 i 为正实数，则 a ? （

）

4

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A． ?1 B． 1 C． 0 D． ?1

【例31】已知复数 z ? 1 ? i ，则 A． 2 i

z 2 ? 2z ?（ z ?1 B． ? 2i C． 2

） D． ?2

【例32】设 z 的共轭复数是 z ，若 z ? z ? 4 ， z ? z ? 8 ，则 A． i B． ?i C． ?1

z 等于（ z

）

D． ?i

【例33】已知集合 z ? A．
5 5

(3 ? i)(3 ? i) ，则 | z |? （ 2?i

） C． 5 D． 2 5

B．

2 5 5

【例34】已知复数 z1 ? 2 ? 3i , z2 ? A． 49

z 3 ? 2i ，则 1 ? （ 2 z2 (2 ? i)
C． 25

） D． 5

B ．7

【例35】若将复数

1? i 表示为 a ? bi （ a ， b ? R ， i 是虚数单位）的形式，则 a ? b ? 1? i

．

【例36】若复数

a ? 3i （ a ? R ， i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ 1 ? 2i A． ?2 B．4 C． ?6 D．6

）

【例37】i 是虚数单位，若 A． ?15

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ) ，则乘积 ab 的值是（ 2?i
B． ?3 C．3 D．15

）

【例38】设 a，b ? R 且 b ? 0 ，若复数 (a ? bi)3 是实数，则（
2 2 A． b ? 3a 2 2 B． a ? 3b

）
2 2 D． a ? 9b

2 2 C． b ? 9a

【例39】若 a 为实数，

2 ? ai 1 ? 2i

? ? 2i ，则 a 等于（

）

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A． 2 B．－ 2 C．2 2 D．－2 2

【例40】若复数 z= (a ? 2) ? 3i （ a ? R ）是纯虚数，则

a?i = 1 ? ai

【例41】定义运算 (a, b) ? (c, d ) ? ac ? cd ，则符合条件 ( z,1 ? 2i) ? (1 ? i,1 ? i) ? 0 的复数 z 的所对 应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【例42】定义运算

a b z 1 ? 2i ? ad ? bc ，则符合条件 ? 0 的复数 z 对应的点在（ ） c d 1 ? 2i 1 ? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

【例43】投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n ， 则复数 (m ? ni)(n ? mi) 为实数的概率为（ ） A．

1 3

B．

1 4

C．

1 6

D．

1 12

【例44】已知复数 z 满足 z ? 1, z 2009 ? z 2008 ? 1 ? 0 ，则复数 z ＝_____________

【例45】已知 m ? R ，若 (m ? mi)6 ? ?64i ，则 m 等于（ A． ?2 B． ? 2 C． ? 2 D．4

）

【例46】复数

(2 ? 2i) 4 (1 ? 3i)5

等于（

） C． 1 ? 3i D． ?1 ? 3i

A． 1 ? 3i

B． ?1 ? 3i

【例47】计算：

(2 ? 2i)12 (?1 ? 3i)9

?

(?2 3 ? i)100 (1 ? 2 3i)100

．

6

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【例48】已知复数 z1 ? cos? ? i ， z2 ? sin ? ? i ，则 z1 ? z2 的最大值为（ A．
3 2

）

B． 2

C．

6 2

D．3

b 使 az ? 2bz ? (a ? 2z)2 ． 【例49】若复数 z ? 1 ? i ，求实数 a ， （其中 z 为 z 的共轭复数）

【例50】设 x 、 y 为实数，且

x y 5 ? ? ，则 x ? y =________． 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i

n ? N} ． 【例51】对任意一个非零复数 z ，定义集合 M z ? {w | w ? z n ，
1 ? 0 的一个根，试用列举法表示集合 M z ．若在 M z 中任取两个数，求其 x 和为零的概率 P ； ⑵ 若集合 M z 中只有 3 个元素，试写出满足条件的一个 z 值，并说明理由．

⑴ 设 z 是方程 x ?

【例52】解关于 x 的方程 x2 ? 5x ? 6 ? ( x ? 2)i ? 0 ．

【例53】已知 z1 ? x2 ? i x2 ? 1 ， z2 ? ( x2 ? a)i ，对于任意 x ? R ，均有 z1 ? z2 成立，试求实数 a 的 取值范围．

【例54】关于 x 的方程 x2 ? (2a ? i) x ? ai ? 1 ? 0 有实根，求实数 a 的取值范围．

【例55】设方程 x2 ? 2 x ? k ? 0 的根分别为 ? ， ? ，且 ? ? ? ? 2 2 ，求实数 k 的值．

n ? N? ． 【例56】用数学归纳法证明： (cos? ? isin ? )n ? cos(n? ) ? isin(n? )，

并证明 (cos? ? isin ? )?1 ? cos? ? isin ? ，从而 (cos? ? isin ? )?n ? cos(n? ) ? isin(n? ) ．

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【例57】若 cos ? ? i sin ? 是方程 xn ? a1 xn?1 ? a2 xn?2 ? 求证： a1 sin ? ? a2 sin 2? ?
? an sin n? ? 0 ． a2 ， ， an ? R ）的解， ? an?1 x ? an ? 0 （ a1 ，

【例58】已知

z 是纯虚数，求 z 在复平面内对应点的轨迹． z ?1

【例59】设复数 z1 ， z 2 满足 z1 ? z2 ? A ? z1 ? A ? z2 ? 0 ，其中 A ? 5 ，求 z1 ? A ? z2 ? A 的值．

【例60】设复数 z 满足 z ? 2 ，求 z2 ? z ? 4 的最值．

【例61】若 f ( z) ? 2z ? z ? 3i ， f ( z ? i) ? 6 ? 3i ，试求 f (? z ) ．

【例62】已知虚数 ? 为 1 的一个立方根， 即满足 ? 3 ? 1 ，且 ? 对应的点在第二象限，证明 ? ? ? 2 ，
1? ? 并求 ? 2 ? 3 与 的值． ? ? ? 1? ?

1

1

1

2

【例63】若 a0 ? a1? ? a2? 2 ? a3?3 ? 求证： a0 ? a3 ? a6 ?

1 3 a0 ， a1 ， a2 ， ， a2 n ? R ， ??? ? i） ? a2n? 2n ? 0 （ n ? N ? ， ， 2 2

? a1 ? a4 ? a7 ?

? a2 ? a5 ? a8 ?

1 【例64】设 z 是虚数， w ? z ? 是实数，且 ?1 ? w ? 2 ． z

⑴ 求 z 的值及 z 的实部的取值范围； ⑵ 设u ?
1? z ，求证： u 为纯虚数； 1? z

⑶ 求 w ? u 2 的最小值．

8

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【例65】对任意一个非零复数 z ，定义集合 M z ? {w | w ? z 2n?1 ， n ? N} ． ⑴ 设 ? 是方程 x ?
1 ? 2 的一个根，试用列举法表示集合 M ? ； x

⑵ 设复数 ? ? M z ，求证： M ? ? M z ．

y， x? ， y ? 均为实数， i 为虚数 【例66】已知复数 z0 ? 1 ? mi(m ? 0) ， z ? x ? yi 和 w ? x? ? y?i ，其中 x ，

单

位，且对于任意复数 z ，有 w ? z0 ? z ， w ? 2 z ． ⑴ 试求 m 的值，并分别写出 x ? 和 y ? 用 x ， y 表示的关系式；
y) 作为点 P 的坐标， ( x? ， y ?) 作为点 Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上 ⑵ 将 (x ，

点

的一个变换：它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q ． 当点 P 在直线 y ? x ? 1 上移动时，试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹方程； ⑶ 是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上 ?若存在，

试求

出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

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