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《高中竞赛教程》教案:第13讲 奇偶分析(学生)


第 13 讲 奇偶分析法
把全体整数按被 2 除的余数分为两类:被 2 除余数为 0 整数的称为偶数,一般表示为 2k(k 为整 数),被 2 除余数为 1 整数的称为奇数,一般表示为 2k+1(k 为整数).由于既不会有一个整数同时出现 在奇数类和偶数类,也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类,因此,我们可以把对整数问题的研 究转化为对奇数和偶数的研究. 这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目 变得简单易 解了. 奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质: 1、奇数不等于偶数; 2、在自然数数列中,奇数与偶数是相间排列的; 3、奇数± 奇数=偶数,偶数± 偶数=偶数,奇数± 偶数=奇数;奇数个奇数的和是奇数,偶数个奇数 的和是偶数,任意个偶数的和是偶数;[来源:www.shulihua.net] 4、奇数× 奇数=奇数,偶数× 偶数=4 的倍数,偶数× 整数=偶数; 5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性 6、奇数的平方被 4 除余 1,偶数平方为 4 的倍数; 奇偶分析也常表现为染色,把一个图形染成黑白两色,往往可视为其中一色为奇数,另一色为偶 数;也可视为用+1 与-1(或 1 与 0)标号,……总之,在分成两类对问题进行讨论时,常常可以看成是 在进行奇偶分析. A 类例题 例 1 ⑴ 证明:平面上的格点中,任取五点,必有两点,其连线中点是格点. ⑵ 至多可以取出多少个格点,使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数.

例 2 设 a1,a2,…,a64 是 1,2,…,63,64 的任意一种排列.令 b1=|a1-a2|,b2=|a3-a4|,…,b32=|a63-a64|; c1=|b1-b2|,c2=|b3-b4|,…, c16=|b31-b32|; d1=|c1-c2|,d2=|c3-c4|,…,d8=|c15-c16|; ……… 这样一直作下去,最后得到一个整数 x.求证:x 为偶数.

情景再现 1.将某个 17 位数的数字顺序颠倒,再将得到的数与原来的数相加. 证明:得到的和中至少有一个数字是偶数.(1970 年第四届全苏数学奥林匹克 8 年级试题) 2.若 a ,b,c 都是整数,且 a 与 b 同为奇数或同为偶数,c 为奇数, 求证:找不到整数 n,使 an2+bn+c=0. B 类例题
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例 3 有 n× n(n>3)的一张空白方格表, 在它的每一个方格内任意的填入+1 与-1 这两个数中的一个, 先将表内 n 个两两既不同行又不同列的方格中的数的乘积称为一个基本项.试证明:按上述方式所填 成的每一个方格表,它的全部基本项之和总能被 4 整除(即总能表示成 4k 的形式,其中 k∈Z).(1989 年全国数学联赛)

例 4 设 P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an 是整系数多项式,如果 P(0)与 P(1)都是奇数,证明 P(x)无整 数根.(第 3 届加拿大数学奥林匹克)

例 5 在 12,22,32,…,19892 这 1989 个连续的完全平方数的每个数前都添“+”或“-”号,使其代 数和为最小的非负数,并写出算式.(1989 年第 15 届全俄数学奥林匹克)

情景再现 3.在国际象棋的棋盘上,放有 8 枚棋子,已知其中任意两枚不同行,也不同列.证明:黑格中的 棋子数为偶数. 4.在整个平面上有一个无限大的方格棋盘,上面摆好了一些棋子,它们恰好组成一个 3k?n 的矩 形.按下述规则进行游戏:每一枚棋子都可以越过(沿水平方向或竖直方向)相邻的棋子而放入这枚棋 子的相邻的空格里,并把相邻的这枚棋子从棋盘上取走.证明:不论怎样走,棋盘上都不会只剩下 1 枚棋子.(1982 波兰数学竞赛题)
2 2 2 2 2 5.设 a1,a2,a3,a4,a5 和 b 是满足关系式 a2 1+a2+a3+a4+a5=b 的整数,证明:所有这些数不可

能全是奇数. 6.设 x1,x2,…,xn 是一组数,它们之间每一个都取+1 或-1,并且 x1x2x3x4+ x2x3x4x5+…+xn-3xn-2xn-1xn+xn-2xn-1xnx1+xn-1xnx1x2+xnx1x2x3=0. 求证:n 是 4 的倍数.(第 26 届 IMO 预选题) C 类例题 例 6 设 E={1,2,3,…,200},G={a1,a2,…,a100}是 E 的真子集,且 G 具有下列两条性质:
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1)对于任何 1≤i<j≤100,恒有 ai+aj≠201; 2)a1+a2+…+a100=10080. 试证明:G 中的奇数的个数是 4 的倍数,且 G 中所有数的平方和为一定数.(1990 年全国数学联 赛)

例 7 设有一个顶点都是格点的 100 边形,它的边都与 x 轴或 y 轴平行,且边长都是奇数. 求证:它的面积也是奇数.(1987 年中国数学奥林匹克)
y A7 A100 A6 A99 A3 A5 A4 A8

A1 O B1 B99

A2 B3 B7 B5 B9 x

例 8 能否把 1,1,2,2,3,3,4,4,…1986,1986 这些数排成一行,使得两个 1 之间夹着一 个数,两个 2 之间夹着两个数,…,两个 1986 之间夹着 1986 个数?请你证明你的结论.(1986 年中 国数学奥林匹克)

情景再 现 7.在圆周上按任意顺序写上 4 个 1 与 5 个 0,然后进行下面的运算:在相邻的相同数字之间写 上 0,而在不同的相邻数字之间写上 1,并擦掉原来的数字.接着进行同样的运算,如此继续.证明: 不管这种运算进行多少次,都不可能得到 9 个 0.(1975 年南斯拉夫数学竞赛) 8.设 d1,d2,…,dk 是正整数 n 的所有因数,这里,1=d1<d2<…<dk=n,k≥4,求所有满足 2 2 2 d2 1+d2+d3+d4=n 的正整数 n.(1989 年巴尔干数学竞赛)

习题 13 1.一天,某旅游者乘火车来到某个城市游玩,他玩了一天后于晚上回到来时的火车站,试证明: 他总可以沿着他当天走过奇数次的街道回到火车站.
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2. 将正方形 ABCD 分割成 n2 个相等的小方格(n 是正整数), 把相对的项点 A、 C 染成红色, 把 B、 D 染成蓝色,其它交点任意染红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格数目必是 偶数. 3.在黑板上写有若干个 0、1 和 2,现在可以擦掉两个不同的数字,并用另一个数字代替它们(用 2 代替 0 与 1,用 1 代替 0 与 2,用 0 代替 1 与 2).证明如果这种做法,最后在黑板上只留下一个数 字,那么,留下的数字与操作顺序无关.(1975 年第 9 届全苏数学奥林匹克) 4.在平面上画了一个由边长为 1 的正六边形组成的蜂窝形网格,如果沿网格 线从一个网格点 A 用最短路程走到另一个网格点时共走的路程为 100,试证:他 走的全程的一半是走在同一个方向上. 5.已知多项式 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数,并且 bd+cd 是奇数,则这个多 项式不能分解成为两个整系数多项式的乘积.(1963 年北京市高中数学竞赛) 6.是否存在整数 a,b,c,d,使得对所有的整数 x,等式 x4+2x2+2000x+30=(x2+ax+b)(x2+cx+d) 成立. 7.能否将 1990× 1990 方格表中的每个小方格涂成黑色或白色,使得关于表的中心对称的方格涂 有不同的颜色,并且任一行及任一列中黑格与白格都各占一半.(1990 全苏第 4 届数学奥林匹克) 8. 在 99 枚外观相同的硬币中, 要找出其中的某些假币. 已知每枚假币与真币的重量相差奇数克, 而所给硬币重量和恰等于真币的重量,现有带指针标明整克数的双盘天平,证明只要称一次就可辨别 指定的硬币是否是假币.(1987 年第 13 届全俄数学奥林匹克) 9.从集{0,1,2,…,14}中选出不同的数,填入图中的 10 个小圆圈中,使得由线段连结的两个数的差的绝对值均不相 等, 这可能吗?证明你的结论. (1991 年第 23 届加拿大数学奥林 匹克) 10.设正整数 d 不等于 2、5、13,证明:在集合{2,5,13,d}中,可以找到两个不同元素 的 a, b,使 ab-1 不是完全平方数. (1986 年第 27 届国际数学奥林匹克竞赛试题) 11.设 P0,P1,P2,…,P1993=P0 为 xy 平面上不同的点,具有下列性质: ⑴Pi 的坐标均为整数,i=0,1,2,3,…,1992; ⑵在线段 PiPi+1 上没有其他的点,坐标均为整数,i=0,1,2,3,…,1992. 求证:对某个 i,0≤i≤1992,在线段 PiPi+1 上有一个点 Q(qx,qy)使 2qx,2qy,均为奇整数.(1993 年亚太地区数学奥林匹克) 12.设 n≥2,a1,a2,…,an 都是正整数,且 ak≤k(1≤k≤n) .试证明:当且仅当 a1+a2+…+an 为偶 数时,可适当选取“+”号与“-”号,使 a1± a2±…±an=0.(1990 年中国数学奥林匹克)

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