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宁夏石嘴山市第三中学2016届高三数学下学期第一次模拟考试试题 文


石嘴山三中 2016 届第一次高考模拟考试(文科数学)
第Ⅰ卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22-24 题为选考题, 其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答 题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上; 2.选择题答案使用 2B 铅笔填

涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚; 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效; 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 第I卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、已知全集 U ? R , A ? { y | y ? 2x ? 1}, B ? {x | ln x ? 0} ,则 (CU A) ? B ? ( )

1 ? x ? 1} C. {x | x ? 1} 2 a ? 2i 2.已知 a ? R ,若复数 z ? 为纯虚数,则 1 ? ai ? ( 1? i
A. ? B. {x | A. 10 B. 10 C. 5 ) ”是“ cos x ?

D. x 0 ? x ? 1 ) D. 5

?

?

3.下列有关命题 的说法中,正确的是 ( A. ?x0 ? R ,使得 3 0 ? 0
x

B. “x ?

?
6

3 ”的必要不充分条件 2

C. ?x ? R , lg x ? 0

?

D. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 )

4. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.

9? 3 2

B. 6

C. 3 ? 3

D.

5 6

5.已知实数 a 、 b 满足 a 2 ? b 2 ? 1 ,设函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 5 ,
2

则使 f (a ) ? f (b) 的概率为( A.

) C.

3 1 ? 4 2?

B.

1 2

3 4

D.

1 1 ? 2 ?

1

6. 阅读如图所示的程序框图,若输入 a ? A. 9 B. 10 C. 11

9 k 19 ,则输出的 值是(



开始

输入a k ? 1, S ? 0

D. 12

S?S?

1 (2k ? 1)(2k ? 1)
k ? k ?1

S ? a?





输出k
结束

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 7.已知 ?ABC 的外接圆的圆心为O,半径为1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 BA 在向量 BC 方向上

的投影为 ( A. 1
2

) B. 3 2 C. ? 1
2

D. ? 3 2

8. 三棱锥 P-ABC 的三条侧棱两两垂直,三个侧面的面积分别是 的体积是( A、 ) B、

2 3 6 、 、 ,则该三棱锥的外接球 2 2 2

2 ? 3

8 2 ? 3

C、 6?

D、8 6?

9.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1与抛物线 y 2 ? 8x 的一个交点为 P , F 为抛物线的焦点,若 PF ? 5 ,则双曲 m
) B. 3x ? y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. x ? 2 y ? 0 )

线的渐近线方程为( A. x ? 3 y ? 0

10. 数列 {an } 中, a3 ? 2, a5 ? 1, 如 果数列 { A. 0 B

1 11

1 } 是等差数列,则 a11 ? ( an ? 1 1 1 ? C ? D. 7 13

11. 已知角 ? 的终边经过点 P (?4,3) ,函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (? ? 0) 的图象的相邻两条对称 轴之间的 距离等于

? ? ,则 f ( ) 的值为( 2 4



2

3 4 D. ? 5 5 12.如图,偶函数 f ?x ? 的图象如字母 M,奇函数 g ?x ? 的图象如字母 N,若
A. B. C. ? 方程 f ?g ?x ?? ? 0 , g ? f ?x ?? ? 0 的实根个数分别为 m 、 n ,则 m ? n =( A.18 B.16 C.14 D.12
?2 ?1 O

3 5

4 5

y


2

1

y

?1
2

O
x

1 x

1

?1 ?2 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13. 已知 sin? ? 2cos? ,则 cos(

2015? ? 2? ) 的值为 2

.

14.如图 6,为了测量 A 、 C 两点间的距离,选取同一平面上 B 、 D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长度 (单位: km ) : AB ? 5 , BC ? 8 , CD ? 3 , DA ? 5 ,且 ?B 与 ?D 互补, 则 AC 的长为_____ km .

? y ? x ?1 y ? 15.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 的最大值为_______. x?2 ? y ?1 ?
16.对于实数 a,b,定义运算“?”:a?b= ,设 f(x)=(2x﹣1)?(x﹣1) ,且关于 x .

的方程 f(x)﹣m=0 恰有三个互不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 12 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2a n ? 2 . ⑴求数列 {a n } 的通项公式; ⑵设 bn ? log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ? ? log 2 a n ,求使 (n ? 8)bn ? nk 对任意 n ? N ? 恒成立的实数 k 的取值范 围. 18. (本题满分 12 分)乐嘉是北京卫视 《我是演说家》的特约嘉宾,他的点评视角独特,语言犀利,给
3

观众留下 了深刻的印象. 某机构为了了解观众对乐嘉的喜爱程度, 随机调查了观看了该节目的 140 名观众, 得到如下的列联表: (单位:名) 男 女 总计 喜爱 40 60 100 不喜爱 20 20 40 总计 60 80 140 (Ⅰ)从这 60 名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样,抽取一个容量为 6 的样本,问样本中喜爱与 不喜爱的观众各有多少名? (Ⅱ) 根据以上列联表, 问能否在犯错误的概率不超过 0. 025 的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关. (精 确到 0.001) (Ⅲ)从(Ⅰ)中的 6 名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率. 2 p(k ≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879 附:临界值表参考公式: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

,n = a + b + c + d .

AC ? 3 , 19. (本题满分 12 分) 19. (本题 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 侧棱 AA 1 ? 底面 ABC , BC ? 4 , AB ? 5 , AA 1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点.
(1)求 证: AC ? BC1 , (2)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; (3)求三棱锥 D ? AA 1C1 的体积.

20.(本题满分 12 分)已知直线 l : y ? kx ? 1(k ? 0) 与椭圆 3x 2 ? y 2 ? a 相交于 A、B 两个不同的点,记 l 与 y 轴的交点为 C . (Ⅰ)若 k ? 1 ,且 | AB |?
10 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅱ)若 AC ? 2CB ,求 ?AOB 面积的最大值,及此时椭圆的方程.

21.(本题满分 12 分)已知 f ? x ? ? (1)求 y ? f ? x ? 的单调区间;

m ? n ln x ( m, n 为实数) ,在 x ? 1 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . x ?1
4

(2)若任意实数 x ? ? ,1? ,使得对任意 t ? ? , 2? 的上恒有 f ? x ? ? t ? t ? 2at ? 2 成立,求实数 a 的取 e 2
3 2

?1 ? ? ?

?1 ?

? ?

值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图所示,圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E , EF ∥ CB ,

EF 交 AD 的延长线于点 F , FG 切圆 O 于点 G .
(1)求证:△ DEF ∽△ EFA ; (2)如果 FG ? 1 ,求 EF 的长.

23. (本题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐标系。已知曲线

? 2 x ? ?1 ? t ? 2 C : ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) ,过点 P(?1,2) 的直线 l 的参数方程为 ? ? ( t 是参数) , ?y ? 2 ? 2 t ? 2 ? 直线 l
与曲线 C 分别交于 M , N 两点。 (1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 PM , MN , PN 成等比数列,求 a 的值。

24(本题满分 10 分) .选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ,其中 a ? 1 . ⑴当 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 4? | x ? 4 | 的解集;
5

⑵若函数 h( x) ? f (2 x ? a ) ? 2 f ( x) 的图象与 x 、 y 轴围成的三角形面积大于 a ? 4 ,求 a 的取值范围.

参考答案 一.选择题 1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.D 12.A 二、填空题 13. -

4 5

14.

7

15.

2 3

16. (0, )

三、解答题 17.解:⑴? S n ? 2a n ? 2

? n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 2 ? a1 ? 2

??? 1 分

n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ?

an ? 2. a n ?1
.??? 4 分 .??? 6 分

所以数列 {a n } 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 2 的等比数列

? a n ? 2 n ( n ? N? )
⑵? bn ? log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ? log 2 a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?

n(n ? 1) ?? 8 分 2

? (n ? 8)bn ? nk 对 ?n ? N * 恒成立,即
设 cn ?

(n ? 8)(n ? 1) 2

? k 对 ?n ? N * 恒成立

1 (n ? 8)(n ? 1) ,则当 n ? 3 或 4 时, c n 取得最小值为 ? 10 2
?? 12 分

? k ? ?10 .
6 1 ? , 60 10 1 则样本中喜爱的观众有 40× =4 名;不喜爱的观众有 6﹣4=2 名. 10
18.解: (Ⅰ)抽样比为 (Ⅱ)假设:观众性别与喜爱乐嘉无关,由已知数据可求得,

?? 3 分

K ?
2

140 ? ? 60 ? 20 ? 40 ? 20 ? 80 ? 60 ?100 ? 40

2

?

224 ? 1.167 ? 5.024 192

∴ 不能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关. ?? 7 分 (Ⅲ)记喜爱乐嘉的 4 名男性观众为 a,b,c,d,不喜爱乐嘉的 2 名男性观众为 1,2;则基本事件分别 为: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,1) , (a,2) , (b,c) , (b,d) , (b,1) , (b,2) ,
6

(c,d) , (c,1) , (c,2) , (d,1) , (d,2) , (1,2) . 其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有 6 个, 故其概率为 P(A)=

6 ? 0.4 15

?? 12 分

19.解: (1)证明:∵底面三边长 AC ? 3 , AB ? 5 , BC ? 4 ,∴ AC ? BC , 又直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? CC1 ,且 BC ? CC1 ? C ,

BC, CC1 ? 平面 BCC1B1 ,∴ AC ? 平面 BCC1B1 .
而 BC1 ? 平面 BCC1B1 ,∴ AC ? BC1 . ?? 4 分

(2)证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E ,连接 DE , ∵ D 是 AB 的中点, E 是 BC1 的中点, ∴ DE ∥ AC1 , ∵ DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 平面 CDB1 , ∴ AC1 ∥平面 CDB1 . (3)解:取 AC 的中点 M ,连接 DM , ∵ D 是 AB 的中点,∴ DM ∥ BC 且 DM ? ?? 8 分

1 BC ? 2 . 2

又∵ BC ? AC , BC ? AA 1 ,∴ BC ? 平面 ACC 1A 1, ∴ DM ? 平面 ACC1 A1 . ∵ S ?AA1C1 ? ∴ VD ? AA1C1

1 1 AA1 ? A1C1 ? ? 4 ? 3 ? 6 , 2 2 1 1 ? DM ? S ?AA1C1 ? ? 2 ? 6 ? 4 . 3 3

?? 12 分

20.解:设直线 l 与椭圆的两个交点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , (Ⅰ) ?

? y ? x ?1
2 2

1 1? a , ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 4 ?3x ? y ? a
3 10 ? ?a?2. 4 2
?? 4 分

| AB |? 2 | x1 ? x2 |? 2 ? a ?

(Ⅱ) ?

? y ? kx ? 1 ?3x ? y ? a
2 2

? (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? a ? 0 , ? x1 ? x2 ? ?

2k 1? a , x1 x2 ? , 2 3? k 3? k2
7

由 AC ? 2CB ? (?x1,1 ? y1 ) ? 2( x2 , y2 ?1) ? x1 ? ?2x2 ,代入上式得:

x1 ? x2 ? ? x2 ? ?

2k 2k ? x2 ? , 2 3? k 3? k2
?? 8 分

S ?AOB ?

1 3 3| k | 3 3 3 , | OC || x1 ? x2 |? | x2 |? ? ? ? 2 3 2 2 3? k 2 2 3 ?|k | |k|
2

2k 4k 2 2 2 当且仅当 k ? 3 时取等号,此时 x2 ? , x1 x2 ? ?2 x2 ? ?2 ?? , 2 2 2 3? k (3 ? k ) 3
又 x1 x2 ?

1? a 1? a 1? a 2 ? ? ? ? a ? 5. ,因此 2 3? k 6 6 3

所以, ?AOB 面积的最大值为 21.解: (1) f ' ? x ? ? ?

3 ,此时椭圆的方程为 3x 2 ? y 2 ? 5 . 2

?? 12 分

1 n ? ,由条件可得: f ' ?1? ? 1, f ?1? ? 1? m ? 2, n ? ? 2 ? x ? 1? x

m

2

? f ' ? x? ? ?

2

? x ? 1?

2

?

1 ? x ? 0 ? f ' ? x ? ? 0? f ? x ? 的减区间为 ? 0, ?? ? , 2x
?? 5 分

没有递增区间; (2)由⑴可知, f ? x ? 在 ? ,1? 上的最小值为 f ?1? ? 1

?1 ? ?e ?

1 ?1 ? ? 只需 t 3 ? t 2 ? 2at ? 1? 2a ? t 2 ? t ? 对任意 t ? ? , 2? 恒成立 t ?2 ?
2 1 ' 1 ? t ? 1? ? 2t ? t ? 1? 令 g ? t ? ? t ? t ? , g ? t ? ? 2t ? 1 ? 2 ? t t t2 2

?当

1 ? t ? 1 时, g ' ?t ? ? 0, g ? x ? 单调递减,当 1 ? t ? 2 时, g ' ?t ? ? 0, g ? x ? 单调递增 2

而g?

5 5 5 ?1? ? ? g ? 2 ? ? 0 ? g ? t ? 的最大值为 g ? 2 ? ? 2 ?只需 2a ? 2 ? a ? 4 ; ?? 12 分 ?2?

22. 解: (1)

(2) ?EFA ∽ ?EFD ? FE 2 ? FD ? FA 又因为 FG 为切线,则 FG 2 ? FD ? FA 所以, EF ? FG ? 1 .

8

23:(1) l : x ? y ? 1 ? 0 (2) a ?

C : y 2 ? 2ax(a ? 0)

┈┈┈4 分 ┈┈6 分

1 2

??2 x ? 7, x ? 3, ? 24.解:⑴当 a ? 3 时, f ( x) ? x ? 4 ? ?1,3<x<4, ?2 x ? 7, x ? 4. ?
当 x ? 3 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, ?2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ? 当 3 ? x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 ,无解; 当 x ? 4 时, f ( x) ? 4 ? x ? 4 得, 2 x ? 7 ? 4 ,解得 x ? ∴ f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 x x ?

3 ; 2

11 . 2
????5 分

?

3 11 ? 或x ? ?. 2 2?

??2a, x ? 0, ? ⑵记 h( x) ? f (2 x ? a ) ? 2 f ( x) ,则 h( x) ? ?4 x ? 2a, 0 ? x ? a, ?2a, x ? a. ?
所以 S ?

1 a ? 2a ? ? a ? 4 ,解得 a ? 4 . 2 2

????10 分

9


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