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扬州市江都市甘棠中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题


2012-2013 学年江苏省扬州市江都市甘 棠中学高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题 1. 如图为一几何体的展开图, 其中 ABCD 是边长为 6 的正方形, SD=PD=6, CR=SC, AQ=AP, 点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠起来,使 P,Q,R,S 四点 重合,则该几何体的内切球的半径为 6

﹣ .

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 计算题;作图题. 分析: 由展开图还原回原图形,得到原几何体是有一条侧棱垂直于底面,其余两侧面是直角 三角形的四棱锥,且四棱锥底面是边长为 6 的正方形,利用等积法可求四棱锥的内切 球的半径. 解答: 解:把该几何体沿图中虚线将其折叠,使 P,Q,R,S 四点重合,所得几何体为下图 中的四棱锥, 且底面四边形 ABCD 为边长是 6 的正方形,侧棱 PD⊥平面 ABCD,PD=6 又在折叠前后∠QAB 与∠RCB 的大小不变, 所以四棱锥中∠PAB 与∠PCB 仍为直角. 在直角三角形 PDA 和直角三角形 PDC 中,由 PD=DA=DC=6,得 PA=PC= , 所以 , , SABCD=6×6=36. 利用等积法,设四棱锥内切球的半径为 r, 则 即 解得:r=6﹣ 故答案为 . . . .

1

点评: 本题考查了棱锥的结构特征,考查了利用等积法求几何体内切球的半径,解答此题的 关键是把展开图还原回原几何体,需要注意的是平面图形折叠前后的变量与不变量, 是基础题. 2.如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图,试根据图形中的数据填空: (1)样本数据落在范围[6,10)内的频率为 0.32 (2)样本数据落在范围[10,18)内的频数为 48 (3)样本数据落在范围[2,10)的概率约为 0.4 .

考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题;图表型. 分析: (1)由各区间段内的频率和列式求出 X 的值,乘以组距即可得到样本数据落在范围 [6,10)内的频率; (2)首先求出样本数据落在范围[10,18)内的频率,乘以样本容量即可得到样本数 据落在范围[10,18)内的频数; (3)求出样本数据落在范围[2,10)的频率,因为概率是针对随机过程发生频率的 统计稳定值,所以样本数据落在范围[2,10)的概率可求. 解答: (1)由直方图看出,组距为 4,则(0.09+X+0.03+0.03+0.02)×4=1. 解: 解得 x=0.08.所以样本数据落在范围[6,10)内的频率为 0.08×4=0.32; (2)样本数据落在范围[10,18)内的频率为(0.09+0.03)×4=0.48. 所以样本数据落在范围[10,18)内的频数为 0.48×100=48; (3)样本数据落在范围[2,10)的频率为(0.02+0.08)×4=0.4. 因为概率是针对随机过程发生频率的统计稳定值,所以样本数据落在范围[2,10)的 概率约为 0.4. 故答案分别为 0.32;48;0.4. 点评: 本题考查频率分布直方图的相关知识.直方图中的各个矩形的面积代表了频率,所以 各个矩形面积之和为 1.是基础题.
2

3.函数 y=(m +2m﹣2)x

2

是幂函数,则 m= ﹣3 .

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. α 分析: 据幂函数的定义:形如 y=x 的函数为幂函数,令 x 前的系数为 1,求出 m 的值,再 根据 m﹣1≠0 验证即可. 2 解答: 解:令 m +2m﹣2=1 解得 m=1,或 m=﹣3. 当 m=1 时, 无意义,∴m=1 舍去,

则 m=﹣3. 故答案为:﹣3. α 点评: 本题考查幂函数的形式:形如 y=x 的函数为幂函数.

4.已知函数

,则

=



考点: 函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 ,知 f( 的值. 解答: 解:∵函数

)=log4

=﹣2,由此能求出



∴f( ∴

)=log4

=﹣2, =f(﹣2)=3 = .
﹣2

故答案为: . 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题.解题时要认真审题,注意分段函数的函数值的求 法. 5.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为 .

3

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 由题意连接 A1C1,则∠AC1A1 为所求的角,在△ AC1A1 计算出此角的正弦值即可. 解答: 解:连接 A1C1,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∴A1A⊥平面 A1B1C1D1,则∠AC1A1 为 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角. 在△ AC1A1 中,sin∠AC1A1= = = .

故答案为: . 点评: 本题主要考查了求线面角的过程:作、证、求,用一个线面垂直关系,属于中档题. 6.若实数 a 满足 a>|t﹣1|﹣|t﹣2|(t∈R)恒成立,则函数 f(x)=loga(x ﹣5x+6)的单调 减区间为 (﹣∞,2) . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 先确定|t﹣1|﹣|t﹣2|的最大值,从而可得 a>1,确定函数的定义域,考虑内外函数的 单调性,即可得到结论. 解答: 解:y=|t﹣1|﹣|t﹣2|= ,
2

∵1≤t≤2 时,﹣1≤2t﹣3≤1,∴函数的最大值 1 ∵实数 a 满足 a>|t﹣1|﹣|t﹣2|(t∈R)恒成立, ∴a>1 2 函数 f(x)=loga(x ﹣5x+6)的定义域为{x|x>3,或 x<2} 2 令 t=x ﹣5x+6,则函数在(﹣∞,2]上单调递减,在[3,+∞)单调递增 又 y=logat 在(0,+∞)单调递增由复合函数的单调性可知,函数 f(x)在(﹣∞,2) 单调递减 故答案为: (﹣∞,2) 点评: 本题考查恒成立问题,考查复合函数的单调性,要注意函数的单调区间一定要在函数 有意义的条件下讨论. 7.计算 2log510+log50.25 的值为 2 . 考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题.
4

n 分析: 利用 nlogab=logab 和 logaM+logaN=loga(MN) ,化简表达式,求解即可. 解答: 解:∵2log510+log50.25

=log5100+log50.25 =log525 =2 故答案为:2. 点评: 本题考查对数的运算法则,解题的关键是对对数运算法则的熟练程度,属于基础题. 8. (2013?辽宁一模)已知 O 是锐角△ ABC 的外接圆圆心,∠A=θ,若 ,则 m= sinθ . (用 θ 表示)

考点: 正弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据题意画出相应的图形,取 AB 的中点为 D,根据平面向量的平行四边形法则可得 ,代入已知的等式中,连接 OD,可得 化简后的等式两边同时乘以 ⊥ ,可得其数量积为 0,在

,整理后利用向量模的计算法则及平面向量的数量积

运算法则化简,再利用正弦定理变形,并用三角函数表示出 m,利用诱导公式及三角 形的内角和定理得到 cosB=﹣cos(A+C) ,代入表示出的 m 式子中,再利用两角和与 差的余弦函数公式化简,抵消合并约分后得到最简结果,把∠A=θ 代入即可用 θ 的三 角函数表示出 m. 解答: 解:取 AB 中点 D,则有 , 代入 得: , 由 ⊥ ,得 ? =0,

∴两边同乘

,化简得: ,

即 由正弦定理 = =

, 化简得: C,

由 sinC≠0,两边同时除以 sinC 得:cosB+cosAcosC=msinC, ∴m=

5

= 又∠A=θ, 则 m=sinθ. 故答案为:sinθ

=sinA,

点评: 此题考查了正弦定理,平面向量的数量积运算,三角形外接圆的性质,利用两向量的 数量积判断两向量的垂直关系,诱导公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌 握定理及公式是解本题的关键. 9. (2012?芜湖二模) 3 .

=

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 将(0,2)区间分为(0,1)和(1,2) ,分别化简 2﹣|1﹣x|,转化成 =∫0 (1+x)dx+∫1 (3﹣x)dx,求解即可. 解答: 解: =(x+ x )|0 +(3x﹣
2 1 1 2

=∫0 (1+x)dx+∫1 (3﹣x)dx )|1
2

1

2

=(1+ ﹣0)+(6﹣2﹣3+ ) =3 故答案为:3 点评: 本题主要考查了定积分、定积分的应用、导数等基础知识,考查运算求解能力、化归 与转化思想.属于基础题. 10. (2011?扬州模拟)设 M={a|a=(2,0)+m(0,1)},m∈R 和 N={b|b=(1,1)+n(1, ﹣1)},n∈R 都是元素为向量的集合,则 M∩N= {(2,0)} . 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用两个集合的交集是由两个集合的公共向量构成, 令两个集合的向量相等求出参数 n,m 的值,代入两个集合求出公共向量即为交集中的向量. 解答: 解:

6



解得

∴M∩N={(2,0)} 故答案为{(2,0)} 点评: 本题考查利用交集的定义求两个集合的交集运算、 考查向量相等的条件是两个坐标分 别相等. 11. (2012?海淀区二模)在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P,则△ PAB 的面积 大于等于 的概率是 .

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: E、F 分别为 AD、BC 的中点,可得四边形 ABFE 是矩形.当点 P 落在线段 EF 上 设 时,△ PAB 的面积等于矩形 ABFE 面积的一半,可得此时 S△ ABP= S 矩形 ABFE= ,由 此可得当点 P 落在矩形 CDEF 内部或在 EF 上时△ PAB 的面积大于等于 ,即可算出 △ PAB 的面积大于等于 的概率. 解答: 解:设正方形 ABCD 中,E、F 分别为 AD、BC 的中点 ∵四边形 ABCD 是正方形,E、F 分别为 AD、BC 的中点 ∴EF∥AB 且 EF=AB,可得四边形 ABFE 是矩形 ∵正方形 ABCD 面积