tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题二 三角函数与平面向量


专题二 三角函数与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质

高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:1.三角函数的 图象,主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查.2.利用三角函数的 性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟
π? 1.(2015· 山东卷)要得到函数 y=sin? ?4x-3?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象( )

π π π π A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 12 12 3 3 π ? 2.如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin? ?6x+φ?+k,据此 函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 3.函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( 1 3 kπ- ,kπ+ ?,k∈Z A.? 4 4? ? 1 3? C.? ?k-4,k+4?,k∈Z 1 3 2kπ- ,2kπ+ ?,k∈Z B.? 4 4? ? 1 3? D.? ?2k-4,2k+4?,k∈Z

)

4.函数 f(x)=sin2x+sin xcos x+1 的最小正周期是________, 单调递减区间是________.

考 点 整 合
1.三角函数的图象及常用性质(表中 k∈Z) y=sin x y=cos x y=tan x

图象

增区间

?-π+2kπ, π+2kπ? 2 ? 2 ? ?π+2kπ, 3π+2kπ? 2 ?2 ?
π x=kπ+ 2 (kπ,0)

[-π+2kπ,2kπ]

?-π+kπ, π+kπ? 2 ? 2 ?


减区间

[2kπ,π+2kπ]

对称轴 对称中心 2.三角函数的两种常见变换

x=kπ



?π+kπ,0? ?2 ?

?kπ,0? ?2 ?
纵坐标变为原来的A倍 y=sin(ωx+φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 横坐标不变

向左(φ>0)或向右(φ<0) (1)y=sin x ― ― ― ― ― ― ― → y=sin(x+φ) 平移|φ|个单位
-1-

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). (2)y=sin x 向左(φ>0)或向右(φ<0) 纵坐标变为原来的A倍 y=sin ωx ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y=sin(ωx+φ) ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → φ? 横坐标不变 ? 平移?ω?个单位

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0). 3.正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的对称中心是函数图象与 x 轴的交点,对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且 与 x 轴垂直的直线;正切型函数 y=Atan(ωx+φ)的图象是中心对称图形,不是轴对称图形.

热点一 三角函数的图象 [微题型 1] 三角函数的图象变换 π? 【例 1-1】 (2015· 湖北卷)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2?在某一个周期内的图象时, 列表并填入了部分数据,如下表: ωx+φ x Asin(ωx+φ) 0 0 π 2 π 3 5 π 3π 2 5π 6 -5 0 2π

(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度, 得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一个对称中心为

?5π,0?,求 θ 的最小值. ?12 ?

[微题型 2] 由三角函数图象求其解析式 π 【例 1-2】(2015· 长沙模拟)函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0, |φ|< , x∈R)的部分图象如图所示, 则函数表达式为( 2 π π? A.y=-4sin? ?8x+4? π π? C.y=-4sin? ?8x-4? π ? ?2π ? 象过点? ?12, 3?和点? 3 ,-2?. (1)求 m,n 的值;(2)将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各 最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. π π? B.y=4sin? ?8x-4? π π? D.y=4sin? ?8x+4? )

【训练 1】 已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a· b,且 y=f(x)的图

-2-

热点二 三角函数的性质 [微题型 1] 根据单调性、对称性求参数 π? ?π ? 【例 2-1】 已知 ω>0,函数 f(x)=sin? ?ωx+4?在?2,π?上单调递减,则 ω 的取值范围是( 1 5? A.? ?2,4? 1 3? B.? ?2,4? 1? C.? ?0,2? D.(0,2] )

[微题型 2] 考查三角函数的单调性、对称性 π 【例 2-2】 (2015· 石家庄模拟)设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ;(2)求函数 y=f(x)的单调增区间.

[微题型 3] 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域) 【例 2-3】(2015· 济南模拟)设函数 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线 x=π 对称, 1 ? 其中 ω,λ 为常数,且 ω∈? ?2,1?. π ? ? π? (1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若 y=f(x)的图象经过点? ?4,0?,求函数 f(x)在 x∈?0,2?上的值域.

π? 2 2 【训练 2】 (2015· 河南名校联考)已知函数 f(x)=cos? ?2x-3?+sin x-cos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; (2)设函数 g(x)=[f(x)]2+f(x),求 g(x)的值域.

-3-

1.(1)y=-sin x 与 y=sin x 的单调性正好相反,y=-cos x 与 y=cos x 的单调性也同样相反. (2)y=|sin x|与 y=|cos x|的周期是 π,y=sin|x|不是周期函数,y=cos|x|是周期函数. π π? (3)对于函数 y=tan x,不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间? ?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)上为增函数. 2.运用整体换元法求解单调区间与对称性: 类比 y=sin x 的性质,只需将 y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成 y=sin x 中的“x”,采用整体代入求解. π (1)令 ωx+φ=kπ+ (k∈Z),可求得对称轴方程; 2 (2)令 ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标; (3)将 ωx+φ 看作整体,可求得 y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意 ω 的符号. 3.奇偶性: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ), x∈R 是奇函数?φ=kπ(k∈Z); 函数 y=Asin(ωx+φ), x∈R 是偶函数?φ=kπ+ (k∈Z); 2 π (2)函数 y=Acos(ωx+φ), x∈R 是奇函数?φ=kπ + (k∈Z); 函数 y=Acos(ωx+φ), x∈R 是偶函数?φ=kπ(k∈Z); 2 kπ (3)函数 y=Atan(ωx+φ),x∈R 是奇函数?φ= (k∈Z). 2 4.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式 ymax-ymin ymax+ymin (1)A= ,B= . 2 2 2π (2)由函数的周期 T 求 ω,ω= . T (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 φ.

一、选择题 1.为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图象,可以将函数 y= 2cos 3x 的图象( π A.向右平移 个单位 4 π π B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 4 12 ) π D.向左平移 个单位 12 )

2.(2015· 广州期末)若函数 f(x)=sin ax+ 3cos ax(a>0)的最小正周期为 2,则函数 f(x)的一个零点为( 2 ? π 2 A.- B. C.? D.(0,0) ?3,0? 3 3
2? 3

3.(2014· 湖南卷)已知函数 f(x)=sin(x-φ),且 5π A.x= 6 7π B.x= 12 π C.x= 3

?0

f(x)dx=0,则函数 f(x)的图象的一条对称轴是(

)

π D.x= 6 )

π? ?π? ?π π? 4.已知函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx(ω>0),f? ?6?+f?2?=0,且 f(x)在区间?6,2?上递减,则 ω=( A.3 B.2 C.6 D.5

2π 5.(2015· 安徽卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 均为正的常数)的最小正周期为 π,当 x= 时,函数 f(x)取 3 得最小值,则下列结论正确的是( )
-4-

A.f(2)<f(-2)<f(0) 二、填空题

B.f(0)<f(2)<f(-2)

C.f(-2)<f(0)<f(2)

D.f(2)<f(0)<f(-2)

π? 6.若将函数 f(x)=sin? ?2x+4?的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是________. π? ? π π? 7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示,若 x1,x2∈?-6,3?, 且 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)=________. π π? 8.设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x)在区间? ?6,2?上具有单调性, π? ?2 π ?=-f ?π ?,则 f(x)的最小正周期为________. 且 f? = f ?2 ? ? 3 ? ?6 ? 三、解答题 x x x 9.(2015· 北京卷)已知函数 f(x)= 2sin cos - 2sin2 . 2 2 2 (1)求 f(x)的最小正周期;(2)求 f(x)在区间[-π,0]上的最小值.

π? 2 10.(2015· 咸阳模拟)已知函数 f(x)=Asin? ?ωx+4?(A>0,ω>0),g(x)=tan x,它们的最小正周期之积为 2π ,f(x)的 17π? 最大值为 2g? ? 4 ?. π? 3 (1)求 f(x)的单调递增区间;(2)设 h(x)= f2(x)+2 3cos2x.当 x∈? ?a,3?时,h(x)有最小值为 3,求 a 的值. 2

11.(2015· 福建卷)已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cos x 的图象经如下变换得到: 先将 g(x)图象上所有点的纵坐 π 标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位长度. 2 (1)求函数 f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程; (2)已知关于 x 的方程 f(x)+g(x)=m 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β. ①求实数 m 的取值范围;
-5-

2m2 ②证明:cos(α-β)= -1. 5

第2讲

三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点,其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问 题的工具,三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换,“角”的 变换是三角恒等变换的核心, 试题多为选择题或填空题.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形、 判断三角形的形状 或求值等,并经常和三角恒等变换结合进行综合考查.

真 题 感 悟
3π? cos? ?α-10? π 1.(2015· 重庆卷)若 tan α=2tan ,则 =( 5 π α- ? sin? ? 5? A.1 B.2 C.3 D.4 )

1 π 2.(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3,sin B= ,C= ,则 b=________. 2 6 3.(2015· 北京卷)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 sin 2A =________. sin C

4.(2015· 全国Ⅰ卷)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75° ,BC=2,则 AB 的取值范围是________.

考 点 整 合
1.三角函数公式 sin α (1)同角关系:sin2α+cos2α=1, =tan α. cos α kπ (2)诱导公式:在 +α,k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”. 2 (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
-6-

tan α± tan β sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β;cos(α± β)=cos αcos β?sin α sin β ;tan(α± β)= . 1?tan α tan β (4)二倍角公式:sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2.正、余弦定理、三角形面积公式 a+b+c a b c (1) = = = =2R(R 为△ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;sin A= a b c ,sin B= ,sin C= ;a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 2R 2R 2R

(2)a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C; b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 推论:cos A= ,cos B= ,cos C= ; 2bc 2ac 2ab 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2-c2=2abcos C. 1 1 1 (3)S△ABC= absin C= acsin B= bcsin A. 2 2 2

热点一 三角变换的应用 [微题型 1] 求值 【例 1-1】 (1)(2015· 成都模拟)sin(π-α)=- A.- 6 3 B.- 6 6 C. 6 6 3π? 5 ?π α? 且 α∈? ?π, 2 ?,则 sin?2+2?=( 3 D. 6 3 ) )

cos(π-2α) 2 (2)(2015· 邯郸模拟)已知 =- ,则 cos α+sin α=( π 2 ? sin? ?α-4? A.- 7 2 B. 7 2 1 C. 2 1 D.- 2

π ? tan α (3)(2015· 太原模拟)已知 =-1,则 cos2? ?2+α?-sin(π-α)cos(π+α)+2=________. tan α-1 [微题型 2] 求角 11 4 3 π π 【例 1-2】 (2015· 中山模拟)已知 cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= ,0<β< <α< ,则 α+β=________. 14 7 4 2 π? 1+sin β ? π? 【训练 1】 (2014· 新课标全国Ⅰ卷)设 α∈? ?0,2?,β∈?0,2?,且 tan α= cos β ,则( π A.3α-β= 2 π B.2α-β= 2 π C.3α+β= 2 π D.2α+β= 2 )

热点二 正、余弦定理的应用 [微题型 1] 判断三角形的形状 【例 2-1】(2015· 焦作模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A +B),则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 [微题型 2] 解三角形 【例 2-2】已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且 acos C+ 3asin C-b-c=0. (1)求 A;(2)若 a=2,求△ABC 面积的最大值.
-7-

[微题型 3] 求解三角形中的实际问题 【例 2-3】 (2015· 湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测 得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏 北 75° 的方向上,仰角为 30° ,则此山的高度 CD=________m. 【训练 2】 (2015· 湖南卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A,且 B 为钝角. π (1)证明:B-A= ;(2)求 sin A+sin C 的取值范围. 2

1.对于三角函数的求值,需关注: (1)寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练准确地应用公式; (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用; (3)对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,对于很难入手的问题,可利用分析 法. 2.三角形中判断边、角关系的具体方法: (1)通过正弦定理实施边角转换;(2)通过余弦定理实施边角转换;(3)通过三角变换找出角之间的关系;(4)通过三 角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论;(5)若涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出这些 三角形,先解条件多的三角形,再逐步求出其他三角形的边和角,其中往往用到三角形内角和定理,有时需设出 未知量,从几个三角形中列出方程(组)求解. 3.三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于 π”和诱导公式可得到 A+B C sin(A+B)=sin C, sin =cos 等, 利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题, 如: 在斜三角形中, 2 2 用正弦定理求角时,若已知小角求大角,则有两解;若已知大角求小角,则只有一解,注意确定解的个数.

一、选择题 1.已知 α∈R,sin α+2cos α= 4 A. 3 3 B. 4 10 ,则 tan 2α 等于( 2 3 C.- 4 ) 4 D.- 3 )

π ? ? π? 3 2.(2015· 晋中模拟)已知 α∈? ?2,π?,sin?α+4?=5,则 cos α 等于(
-8-

A.-

2 10

7 2 B. 10

C.-

2 7 2 或 10 10 ) D.1

7 2 D.- 10

1 3.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 B. 5 C.2

π 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6,C= ,则△ABC 的面积是( 3 A.3 9 3 B. 2 3 3 C. 2 D.3 3 )

)

4 5 5.已知 tan β= ,sin(α+β)= ,其中 α,β∈(0,π),则 sin α 的值为( 3 13 63 A. 65 二、填空题 33 B. 65 13 C. 65 63 33 D. 或 65 65

1 6.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=- ,则 4 a 的值为________. 7.(2015· 南昌模拟)若△ABC 的内角满足 sin A+ 2sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值是________. 8.如图,嵩山上原有一条笔直的山路 BC,现在又新架设了一条索道 AC,小李在山脚 B 处看 索道 AC,发现张角∠ABC=120° ;从 B 处攀登 400 米到达 D 处,回头看索道 AC,发现张角 ∠ADC=150° ;从 D 处再攀登 800 米方到达 C 处,则索道 AC 的长为________米. 三、解答题 9.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. π? (1)求 a 的值;(2)求 sin? ?A+4?的值.

10.(2015· 唐山模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 csin B=bcos C=3. 21 (1)求 b;(2)若△ABC 的面积为 ,求 c. 2

-9-

π? 11.(2015· 山东卷)设 f(x)=sin xcos x-cos2? ?x+4?. A? (1)求 f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f? ? 2 ?=0,a=1,求△ABC 面 积的最大值.

第3讲

平面向量

高考定位 1.对向量的概念和线性运算的考查多以熟知的平面图形为背景,多为客观题;2.对平面向量数量积的 考查多以考查角、模等问题为主,难度不大;3.还可能体现模块之间的综合性(例如与三角、解析几何等相结合).

真 题 感 悟
→ → 1.(2015· 山东卷)已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60° ,则BD· CD=( 3 A.- a2 2 3 B.- a2 4 3 C. a2 4 3 D. a2 2 ) )

2.(2015· 重庆卷)若非零向量 a,b 满足|a|= π A. 4 π B. 2

2 2 |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则 a 与 b 的夹角为( 3 D.π ) → 4→ 1 → D.AD= AB- AC 3 3

3π C. 4

→ → 3.(2015· 全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点,BC=3CD,则( 1→ 4 → → A.AD=- AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD= AB- AC 3 3 → 4→ 1 → C.AD= AB+ AC 3 3

4.(2015· 全国Ⅱ卷)设向量 a,b 不平行,向量 λa+b 与 a+2b 平行,则实数 λ=____________.

考 点 整 合
1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理:向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. (2)平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有 一对实数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中 e1,e2 是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a· b=0?x1x2+y1y2=0.
- 10 -

3.平面向量的三个性质 (1)若 a=(x,y),则|a|= a· a= x2+y2. → (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2. x1x2+y1y2 a· b (3)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为 a 与 b 的夹角,则 cos θ= = 2 2 2 2. |a||b| x1+y1 x2+y2 4.平面向量的三个锦囊 → → → (1)向量共线的充要条件:O 为平面上一点,则 A,B,P 三点共线的充要条件是OP=λ1OA+λ2OB(其中 λ1+λ2= 1). → → → → 1 → → (2)三角形中线向量公式:若 P 为△OAB 的边 AB 的中点,则向量OP与向量OA,OB的关系是OP= (OA+OB). 2 xA+xB+xC yA+yB+yC? → → → (3)三角形重心坐标的求法:G 为△ABC 的重心?GA+GB+GC=0?G? , 3 3 ? ?.

热点一 平面向量的有关运算 [微题型 1] 平面向量的线性运算 → → → → → → → 【例 1-1】在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则 x=________;y=________. [微题型 2] 平面向量的坐标运算 【例 1-2】 (2015· 保定模拟)已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a+2c)∥b,则 k=________. [微题型 3] 平面向量数量积的运算 → → → → → 【例 1-3】 (1)(2015· 湖北卷)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA· OB=________. (2)(2015· 天津卷)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60° ,动点 E 和 F 分别在线段 → → → 1 → → → BC 和 DC 上,且BE=λBC,DF= DC,则AE· AF的最小值为________. 9λ → → → → → 1 → → AB 4AC 【训练 1】 (2015· 福建卷)已知AB⊥AC, |AB|= , |AC|=t, 若点 P 是△ABC 所在平面内的一点, 且AP= + , t → → |AB| |AC| → → 则PB· PC的最大值等于( ) C.19 D.21

A.13 B.15 热点二 平面向量与三角的交汇 [微题型 1] 平面向量与三角形

→ → → 【例 2-1】 已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个动点,若动点 P 满足OP=OA+λ(AB+ → AC),λ∈(0,+∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心). [微题型 2] 平面向量与三角函数 【例 2-2】 (2015· 合肥模拟)已知向量 m=( 3sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),设函数 f(x)=m· n. (1)求 f(x)的最小正周期与单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若 f(A)=4,b=1,△ABC 的面积为 3 ,求 a 的值. 2

- 11 -

[微题型 3] 平面向量与解三角形 【例 2-3】 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.向量 m=(a, 3b)与 n=(cos A,sin B)平行. (1)求 A; (2)若 a= 7,b=2,求△ABC 的面积.

π λ>0,0<α<β< ?是平面上的两个向量,若向量 a+b 【训练 2】设 a=(cos α,(λ-1)sin α),b=(cos β,sin β)? 2? ? 与 a-b 互相垂直. 4 4 (1)求实数 λ 的值;(2)若 a· b= ,且 tan β= ,求 tan α 的值. 5 3

1.在解决平面向量的数量积问题中,要注意: (1)两个向量的夹角的定义;(2)两个向量的夹角的范围;(3)平面向量的数量积的几何意义;(4)向量的数量积的运 算及其性质等. 2.平面向量的数量积的运算有两种形式: (1)依据模和夹角计算,要注意确定这两个向量的夹角,如夹角不易求或者不可求,可通过选择易求夹角和模的 基底进行转化; (2)利用坐标来计算,向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式,从而应用方程思想解决问题,化形为数, 使向量问题数量化. 3.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行 四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直. 4.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况,如
- 12 -

已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线. 5.平面向量的综合运用主要体现三角函数和平面解析几何中,在三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角 函数之间的关系,解题的关键还是三角函数问题;解析几何中向量知识只是给出几何量的位置和数量关系,在解 题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何关系.

一、选择题 1.(2015· 陕西卷)对任意向量 a,b,下列关系式中不恒成立的是( ) 2 A.|a· b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b) =|a+b|2

D.(a+b)(a-b)=a2-b2 )

→ → 2.△ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a,b 满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是( A.|b|=1 B.a⊥b C.a· b=1 → D.(4a+b)⊥BC )

π π? → → → 3.函数 y=tan? AB=( ?4x-2?的部分图象如图所示,则(OA+OB)· A.4 B.6 C.1 D.2

3 3 4.已知 a,b 均为单位向量,(2a+b)· (a-2b)=- ,则向量 a,b 的夹角为( 2 π A. 6 π B. 4 3π C. 4 5π D. 6

)

→ → → → → → → → 5.设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M,N 满足BM=3MC,DN=2NC,则AM· NM=( A.20 B. 15 C.9 D.6 二、填空题 6.已知两个非零向量 a,b 的夹角为 60° ,且|a|=|b|=3,c=ta+(1-t)b,若 b⊥c,则 t=________. → → → → 7.如图,在△ABC 中,∠C=90° ,且 AC=BC=3,点 M 满足BM=2MA,则CM· CB=________.

)

→ → ? AB AC ? → → + 8.已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,若动点 P 满足OP=OA+λ? ?,λ∈(0,+∞),则动 → → ?|AB|cos B |AC|cos C? 点 P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心). 三、解答题 3x 3x? x x? ? ? π? 9.已知向量 a=? ?cos 2 ,sin 2 ?,b=?cos 2,-sin 2?,且 x∈?0,2?. 3 (1)求 a· b 及|a+b|;(2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是- ,求 λ 的值. 2

- 13 -

10.已知在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 p=(cos B+sin B,2sin B-2), q=(sin B-cos B,1+sin B),且 p⊥q. (1)求 B 的大小;(2)若 b=2,△ABC 的面积为 3,求 a,c.

11.已知 A,B 是△ABC 的两个内角,a= 2cos

A+B A-B 6 i+sin j(其中 i,j 是互相垂直的单位向量),且|a|= . 2 2 2

(1)试问 tan A· tan B 是否为定值,若是定值,请求出,否则说明理由; (2)求 tan C 的最大值,并判断此时三角形的形状.

专题二 三角函数与平面向量 答案
第1讲 三角函数的图象与性质 真 题 感 悟

π? ? ? π ?? ∴要得到 y=sin?4x-π?的图象,只需将函数 y=sin 4x 的图象向右平移 1.解析 ∵y=sin? 3? ?4x-3?=sin?4?x-12??, ? π 个单位.答案 B 12 2.解析 由题干图易得 ymin=k-3=2,则 k=5.∴ymax=k+3=8.答案 C π? T 5 1 1 π π 3.解析 由图象知 = - =1,∴T=2.由 π× +φ= +2kπ,k∈Z,不妨取 φ= ,∴f(x)=cos? ?πx+4?,由 2kπ 2 4 4 4 2 4 π 1 3 <πx+ <2kπ+π,得 2k- <x<2k+ ,D 正确. 4 4 4 1-cos 2x 1 π? 3 2 2π π π 3π 4.解析 f(x)= + sin 2x+1= sin? ?2x-4?+2,∴T= 2 =π,由2+2kπ≤2x-4≤ 2 +2kπ,k∈Z,解得: 2 2 2
- 14 -

3π 3π 7π 7π +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,∴单调递减区间是? +kπ, +kπ?,k∈Z.答案 8 8 8 ? 8 ?

3 7 ? π ? ?8π+kπ,8π+kπ?(k∈Z)

π 【例 1-1】 解 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=- .数据补全如下表: 6 ωx+φ x Asin(ωx+φ) π? 且函数表达式为 f(x)=5sin? ?2x-6?. π? π? ? (2)由(1)知 f(x)=5sin? ?2x-6?,得 g(x)=5sin?2x+2θ-6?.因为 y=sin x 的对称中心为(kπ,0),k∈Z. 5π ? π kπ π kπ π 令 2x+2θ- =kπ,解得 x= + -θ,k∈Z.由于函数 y=g(x)的图象关于点? ?12,0?成中心对称,令 2 +12-θ 6 2 12 = 5π kπ π π ,解得 θ= - ,k∈Z.由 θ>0 可知,当 k=1 时,θ 取得最小值 . 12 2 3 6 0 π 12 0 π 2 π 3 5 π 7π 12 0 3π 2 5π 6 -5 2π 13 π 12 0

探究提高 三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也 必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言. π T 2π 2π π ? 【例 1-2】解析 由图象知 =6-(-2)=8,∴T=16,A=4.∴ω= = = .∴y=4sin? ?8x+φ?, 2 T 16 8 π 3π? π 3π π ?π π? 把点(6,0)代入得: ×6+φ=0,得 φ=- .∴y=4sin? ?8x- 4 ?,又∵|φ|<2.∴y=-4sin?8x+4?.答案 A 8 4 探究提高 已知图象求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高 点、最低点或特殊点求 A;由函数的周期确定 ω;确定 φ 常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个 零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置. π ? ?2π ? 【训练 1】解 (1)由题意知 f(x)=a· b=msin 2x+ncos 2x.因为 y=f(x)的图象经过点? ?12, 3?和? 3 ,-2?, π π 1 3 ? 3=msin6+ncos 6, ? 3=2m+ 2 n, 所以? 即? 解得 m= 4π 4π 3 1 - 2 = m sin + n cos , ? 3 3 ?-2=- 2 m-2n,

3,n=1.

π? π? ? (2)由(1)知 f(x)= 3 sin 2x+cos 2x=2sin? ?2x+6?.由题意知 g(x)=f(x+φ)=2sin?2x+2φ+6?. 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知 x2 0+1=1,所以 x0=0, π? π 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2).将其代入 y=g(x)得 sin? ?2φ+6?=1,因为 0<φ<π,所以 φ=6. π? π 因此 g(x)=2sin? ?2x+2?=2cos 2x.由 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得 kπ-2≤x≤kπ,k∈Z, π ? 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为? ?kπ-2,kπ?,k∈Z. π 5 π π 3 1 1 2kπ+ ?≤x≤ ?2kπ+ π?,k∈Z. 【例 2-1】解析 由 2kπ+ ≤ωx+ ≤2kπ+ π,k∈Z 且 ω>0,得 ? 4? 4 ? 2 4 2 ω? ω? π ? π 5π π π 5π 1 5 取 k=0,得 ≤x≤ ,又 f(x)在? ?2,π?上单调递减,∴4ω≤2,且 π≤4ω,解之得2≤ω≤4.答案 A 4ω 4ω
- 15 -

探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式, 再根据参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证. π π ? 1.∴π+φ=kπ+π,k∈Z. 【例 2-2】解 (1)∵x= 是函数 y=f(x)的图象的对称轴.∴sin? ?2×8+φ?=± 8 4 2 3π 又-π<φ<0,∴φ=- . 4 3π? 3π π 3π π (2)由(1)知 φ=- ,y=sin? ?2x- 4 ?.由题意得 2kπ-2≤2x- 4 ≤2kπ+2,k∈Z. 4 3π π 5π 2x- ?的单调增区间为?kπ+ ,kπ+ ?(k∈Z). 所以函数 y=sin? 4? 8 8? ? ? 探究提高 对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)单调区间的求解, 其基本方法是将 ωx+φ 作为一个整体代入正 弦函数增区间(或减区间),求出的区间即为 y=Asin(ωx+φ)的增区间(或减区间),但是当 A>0,ω<0 时,需先利 用诱导公式变形为 y=-Asin(-ωx-φ),则 y=Asin(-ωx-φ)的增区间即为原函数的减区间,减区间即为原函数 的增区间. π? 【例 2-3】 解 (1)因为 f(x)=sin2ωx+2 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx+λ=-cos 2ωx+ 3sin 2ωx+λ=2sin? ?2ωx-6?+ π? π π λ,由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴,可得 sin? 1,所以 2ωπ- =kπ+ (k∈Z), ?2ωπ-6?=± 6 2 1 ? k 1 5 6π 即 ω= + (k∈Z).又 ω∈? ?2,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω=6.所以 f(x)的最小正周期是 5 . 2 3 π ? π ?π? ?5 π π? (2)由 y=f(x)的图象过点? ?4,0?,得 f?4?=0,即 λ=-2sin?6×2-6?=-2sin4=- 2,即 λ=- 2. 5 π? 5 π ? π 2π? ? π? 故 f(x)=2sin? ?3x-6?- 2,∵x∈?0,2?,∴3x-6∈?-6, 3 ?,∴函数 f(x)的值域为[-1- 2,2- 2]. 探究提高 求三角函数最值的两条思路:(1)将问题化为 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式,结合三角函数的性质或图象 求解;(2)将问题化为关于 sin x 或 cos x 的二次函数的形式,借助二次函数的性质或图象求解. π? π 1 3 π 【训练 2】 解 (1)f(x)= cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin? 由 2x- =kπ+ (k∈Z), ?2x-6?.则 f(x)的最小正周期为 π, 2 2 6 2 kπ π kπ π 得 x= + (k∈Z),所以函数图象的对称轴方程为 x= + (k∈Z). 2 3 2 3 π 1 2 1 π π π 1 1 2x- ?+sin?2x- ?=?sin?2x-6?+ ? - .当 sin?2x- ?=- 时, (2)g(x)=[f(x)]2+f(x)=sin2? g(x)取得最小值- , 6? 6? ? ? ? 2? 4 6? ? ? ? 2 4 π? ? 1 ? 当 sin? ?2x-6?=1 时,g(x)取得最大值 2,所以 g(x)的值域为?-4,2?. 一、选择题 π? π? ? 1.解析 因为 y=sin 3x+cos 3x= 2cos? ?3x-4?,要得到函数 y= 2cos?3x-4?的图象,可以将函数 y= 2cos 3x π 的图象向右平移 个单位,故选 C. 12 π π 2π 2 ax+ ?,∵T= =2,∴a=π.∴f(x)=2sin?πx+ ?,∴当 x= 时,f(x)=0.故选 B. 2.解析 f(x)=2sin? 3 3 ? ? ? ? a 3
2? 3 2? 3

3.解析 由

?0

f(x)dx=0,得

?0

sin(x-φ)dx=0,

- 16 -

即 - cos (x - φ)| π π ∴φ + = + 6 2

2? 3 0

2 π 2 3 π-φ?+cos φ=0,∴ cos φ- sin φ=0,∴ 3cos?φ+ ?=0, =0,∴-cos? 3 ? ? ? 6? 3 2 π?? π π π ? kπ(k∈Z),解得 φ=kπ+ ,∴f(x)=sin ? ?x-?kπ+3??,由 x-kπ-3=k′π+2 3

5 得 x=(k+k′)π+ π(k,k′∈Z),故选 A. 6 π π + π π π π π ? ?+f? ?=0.∴当 x=6 2=π时, ωx+ ?, 4.解析 ∵f(x)=2sin? f f(x)=0.∴ ω+ =kπ, k∈Z, ∴ω=3k-1, k∈Z, 3? ?6? ?2? ? 2 3 3 3 π π? 排除 A、C;又 f(x)在? ?6,2?上递减,把 ω=2,ω=5 代入验证,可知 ω=2.答案 B 2π 4π π 5.解析 由于 f(x)的最小正周期为 π, ∴ω=2, 即 f(x)=Asin(2x+φ), 又当 x= 时, 2x+φ= +φ=2kπ- (k∈Z), 3 3 2 ∴φ = 2kπ- 11π π π 1 π (k∈Z) ,又 φ>0 , ∴φmin = ,故 f(x) = Asin(2x + ). 于是 f(0) = A , f(2) = Asin(4 + ) , f( - 2) = 6 6 6 2 6

π? π 5π 7π π π ?13π ? ? π? ? ? π?? Asin ? ?-4+6? = Asin ? 6 -4? , 又 ∵ - 2 < 6 - 4<4 - 6 < 6 < 2 , 其 中 f(2) = Asin ?4+6? = Asin ?π-?4+6?? = 5π ? ?13π ? ? ?13π ?? ? 7π? Asin? ? 6 -4?,f(-2)=Asin? 6 -4?=Asin?π-? 6 -4??=Asin?4- 6 ?. π π - , ?单调递增,∴f(2)<f(-2)<f(0),故选 A. 又 f(x)在? ? 2 2? 二、填空题 π?右平移φ π? π ? ? 6.解析 f(x)=sin? ― → g(x)=sin? ?2x+4? ― ?2(x-φ)+4?=sin?2x+4-2φ?, π π k π 关于 y 轴对称,即函数 g(x)为偶函数,则 -2φ=kπ+ ,∴φ=- π- (k∈Z), 4 2 2 8 π π 3π 3π 显然,k=-1 时,φ 有最小正值 - = .答案 2 8 8 8 7. 解析 π ? 观察图象可知,A=1,T=π,∴ω=2,f(x)=sin(2x+φ).将? ?-6,0?代入上式得

π π - + 6 3 π π π π ? ? sin? 由已知得 φ= , 故 f(x)=sin? ?-3+φ?=0, ?2x+3?.函数图象的对称轴为 x= 2 =12. 3 π π? π ? 3 ? ?π ? ? π π? 又 x1,x2∈? ?-6,3?,且 f(x1)=f(x2),∴f(x1+x2)=f ?2 × 1 2 ?= f ?6 ?=sin?2×6+3?= 2 .答案 3 2

π π? T π π 2π ?π ? ?2 π ? 8.解析 由 f(x)在? ?6,2?上具有单调性,得2≥2-6,即 T≥ 3 ;因为 f ?2 ?= f ? 3 ?,所以 f(x)的一条对称轴为 x π 2π π π + + 2 3 7π π π ?=-f ? ?,所以 f(x)的一个对称中心的横坐标为2 6=π.所以1T=7π-π=π,即 T=π. = = ;又因为 f ? ?2 ? ?6 ? 2 12 2 3 4 12 3 4 9.解 (1)因为 f(x)= π 2 2 2 x+ ?- ,所以 f(x)的最小正周期为 2π. sin x- (1-cos x)=sin? ? 4? 2 2 2

3π π π π π 3π (2)因为-π≤x≤0,所以- ≤x+ ≤ .当 x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值. 4 4 4 4 2 4 3π? 2 所以 f(x)在区间[-π,0]上的最小值为 f ? ?- 4 ?=-1- 2 .
- 17 -

17π? 2π 17 π ? π? 10.解 (1)由题意,得 ·π=2π2.所以 ω=1.又 A=2g? ? 4 ?=2tan 4 π=2tan 4=2,所以 f(x)=2sin?x+4?. ω π π π 3π π 令 2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得 2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z). 2 4 2 4 4 3π π? 故 f(x)的单调递增区间为? ?2kπ- 4 ,2kπ+4?(k∈Z). π? 3 3 2 2 2 (2)因为 h(x)= f2(x)+2 3cos2x= ×4×sin2? ?x+4?+2 3cos x=3(sin x+cos x) +2 3cos x 2 2 π 2x+ ?, =3+3sin 2x+ 3(cos 2x+1)=3+ 3+2 3sin? 6? ? π? π? 1 ? 又 h(x)有最小值为 3,所以有 3+ 3+2 3sin? ?2x+6?=3,即 sin?2x+6?=-2. π? π 5π? π ? π π π 因为 x∈? ?a,3?,所以 2x+6∈?2a+6, 6 ?,所以 2a+6=-6,即 a=-6. 11.解 法一 (1)将 g(x)=cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 y=2cos x 的图象, π? π 再将 y=2cos x 的图象向右平移 个单位长度后得到 y=2cos? ?x-2?的图象,故 f(x)=2sin x. 2 π 从而函数 f(x)=2sin x 图象的对称轴方程为 x=kπ+ (k∈Z). 2 (2)①f(x)+g(x)=2sin x+cos x= 5? 依题意,sin(x+φ)= 2 1 1 2 sin x+ cos x?= 5sin(x+φ)?其中sin φ= ,cos φ= ?. 5 5 5? ? 5 ? ?

m m 在[0,2π)内有两个不同的解 α,β,当且仅当? ?<1,故 m 的取值范围是(- 5, 5). 5? ? 5 m m ,sin(β+φ)= . 5 5

②因为 α,β 是方程 5sin(x+φ)=m 在[0,2π)内的两个不同的解.所以 sin(α+φ)=

π ? ?3π ? 当 1≤m< 5时,α+β=2? ?2-φ?,即 α-β=π-2(β+φ);当- 5<m<1 时,α+β=2? 2 -φ ?, 即 α-β=3π-2(β+φ).所以 cos(α-β)=-cos 2(β+φ)=2sin2(β+φ)-1 m 2 2m2 =2? ? -1= -1. 5 ? 5? 法二 (1)同法一. (2)①同法一. ②因为 α,β 是方程 5sin(x+φ)=m 在[0,2π)内的两个不同的解.所以 sin(α+φ )= m m ,sin(β+φ)= . 5 5

π ? ?3π ? 当 1≤m< 5时,α+β=2? ?2-φ?,即 α+φ=π-(β+φ);当- 5<m<1 时,α+β=2? 2 -φ?, 即 α+φ=3π-(β+φ);所以 cos(α+φ)=-cos(β+φ).于是 cos(α-β )=cos[(α+φ)-(β+φ)]=cos(α+φ)cos(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ)=-cos2(β+φ)+sin(α+φ)sin(β+φ) =-?1-?

? ?

2 m ?2? ? m ?2 2m ?+? 5 ? = 5 -1. ? 5 ? ?

第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 真 题 感 悟

- 18 -

tan α +1 π 3π? π 3π? π? π π ? ? ? tan cos?α-10? sin?2+α-10? sin?α+5? sin αcos5+cos αsin5 5 2+1 1.解析 = = = = = =3.答案 C π π π π π tan α 2-1 ?α- ? ?α- ? sin α· α- ? cos -cos αsin -1 sin? sin sin 5 5 π ? 5? ? 5? ? 5? tan 5 1 π 5π π π 2π 2.解析 因为 sin B= 且 B∈(0,π),所以 B= 或 B= .又 C= ,所以 B= ,A=π-B-C= . 2 6 6 6 6 3 a b 3 b 又 a= 3,由正弦定理得 = ,即 = ,解得 b=1.答案 1 sin A sin B 2π π sin sin 3 6 b2+c2-a2 25+36-16 3 a2+b2-c2 16+25-36 1 7 3.解析 由余弦定理:cos A= = = ,∴sin A= ,cos C= = = , 2bc 4 4 2ab 8 2×5×6 2×4×5 3 7 sin 2A ∴sin C= ,∴ = 8 sin C 3 7 2× × 4 4 =1.答案 1 3 7 8

4.解析 如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,则可知在△ADE 中,∠DAE=105° ,∠ADE=45° , ∠E=30° , 6+ 2 1 2 ? 6+ 2 ?· ∴设 AD= x,则 AE= x,DE= x,CD=m,∵BC=2,∴? = ? sin 15° 2 2 4 ? 4 x+m? 1? 6+ 2 6+ 2 6- 2 2 2 x+m= 6+ 2,∴0<x<4,而 AB= x+m- x= x+m= 6+ 2- x, 4 4 2 4 2

∴AB 的取值范围是( 6- 2, 6+ 2).]答案 ( 6- 2, 6+ 2) 【例 1-1】 解析 (1)sin(π-α)=sin α=- 3π? 5 2 ,又 α∈? ?π, 2 ?,∴cos α=- 1-sin α=- 3 1-?-

?

2 2 5? =- . 3 3?

α α π 3π? α , ,得 cos =- 由 cos α=2cos2 -1, ∈? 2 2 ?2 4 ? 2

cos α+1 π α? 6 α 6 =- .所以 sin? ?2+2?=cos 2=- 6 . 2 6

cos(π-2α) -cos 2α -(cos2α-sin2α) 2 1 (2) = = = 2(cos α+sin α)=- .所以 cos α+sin α=- . π 2 2 2 2 ? sin? (sin α-cos α) (sin α-cos α) ?α-4? 2 2 π ? tan α 1 2 =-1 得 tan α= ,所以 cos2? ?2+α?-sin(π-α)cos(π+α)+2=sin α+sin αcos α+2 2 tan α-1 1?2 1 ? 3 × ?2? +2+2 13 3sin2α+sin αcos α+2cos2α 3tan2α+tan α+2 2 2 2 =sin α+sin αcos α+2(sin α+cos α)= = = = . 2 5 sin2α+cos2α tan2α+1 ?1? +1 ?2? (3)由 答案 13 (1)B (2)D (3) 5

探究提高 在三角函数求值过程中,要注意“三看”,即: (1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化; (2)看名称,把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称,例如把所有的切都转化为相应的弦,或把所有的弦转 化为相应的切; (3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式,如果满足,直接使用,如果不满足,则需要转化角或转换名称, 才可以使用.
- 19 -

11 π 5 3 【例 1-2】解析 因为 cos(2α-β)=- ,且 <2α-β<π,所以 sin(2α-β)= . 14 4 14 4 3 π π 1 因为 sin(α-2β)= ,且- <α-2β< .所以 cos(α-2β)= , 7 4 2 7 11 1 5 3 4 3 1 所以 cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=- × + × = . 14 7 14 7 2 π 3π π π 又 <α+β< ,所以 α+β= .答案 4 4 3 3 探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开, 看需要求相关角的哪些三角函数值, 然后 根据角的范围求出相应角的三角函数值,代入展开式即可,特别要注意对三角函数值符号的判断. 【训练 1】解析 由 tan α= 1+sin β sin α 1+sin β 得 = ,即 sin αcos β=cos α+cos αsin β, cos β cos α cos β

π ? ? π? ? π? ? π π? π ? π? ∴sin(α-β)=cos α=sin? ?2-α?.∵α∈?0,2?,β∈?0,2?,∴α-β∈?-2,2?,2-α∈?0,2?, π ? π π ∴由 sin(α-β)=sin? ?2-α?,得 α-β=2-α,∴2α-β=2.答案 B 【例 2-1】解析 因为(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),所以(a2+b2)(sin Acos B-cos Asin B) =(a2-b2)(sin Acos B+cos Asin B),即 a2cos Asin B=b2sin Acos B. 法一 由正弦定理得 sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B,因为 sin A· sin B≠0, 所以 sin Acos A=sin Bcos B, 所以 sin π 2A=sin 2B.在△ABC 中,0<2A<2π,0<2B<2π, 所以 2A=2B 或 2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B= ,所以△ABC 2 为等腰三角形或直角三角形.故选 D. b2+c2-a2 2 a2+c2-b2 法二 由正弦定理、余弦定理得 a2b =b a ,即 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 2bc 2ac 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以 a2-b2=0 或 a2+b2-c2=0,即 a=b 或 a2+b2=c2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D. 探究提高 判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化,使之变为只含有边或角的式子然后判断.如本题既 π 可化为角的关系 A=B 或 A+B= 来判断,也可化为边的关系 a=b 或 a2+b2=c2 来判断.同时在判断三角形的形 2 状时一定要注意“解”是否唯一,并注意挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角 A,B,C 的范围对三角函 数值的影响. 【例 2-2】解 (1)由 acos C+ 3asin C-b-c=0 及正弦定理得 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0. 因为 B=π-A-C,所以 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.易知 sin C≠0,所以 3sin A-cos A=1, π? 1 π 所以 sin? ?A-6?=2.又 0<A<π,所以 A=3. 2π? 2π 2π a b c 2 4 (2)法一 由(1)得 B+C= ?C= -B? ?0<B< 3 ?,由正弦定理得sin A=sin B=sin C= π= 3, 3 3 sin 3 所以 b= 4 4 1 1 4 4 π 4 3 4 3 sin B,c= sin C.所以 S△ABC= bcsin A= × sin B× sin C· sin = sin B· sin C= · sin 2 2 3 3 3 3 3 3 3

2π π 4 3? 3 3 3 2 3 ? 3 1 2 ? -B?= 2B- ?+ . B· sin? = sin 2 B - cos 2 B + = sin sin B cos B + sin B 3 6 ? ? 3 ?2 ? ? 3 3 3 3 2 ? π π 7π π π π 2 3 3 易知- <2B- < ,故当 2B- = ,即 B= 时,S△ABC 取得最大值,最大值为 + = 3. 6 6 6 6 2 3 3 3 π π 法二 由(1)知 A= ,又 a=2,由余弦定理得 22=b2+c2-2bccos ,即 b2+c2-bc=4?bc+4=b2+c2≥2bc?bc 3 3
- 20 -

1 1 3 3 ≤4,当且仅当 b=c=2 时,等号成立.所以 S△ABC= bcsin A= × bc≤ ×4= 3,即当 b=c=2 时,S△ABC 取 2 2 2 4 得最大值,最大值为 3. 探究提高 解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之 间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是: 第一步:定条件 即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果. 【例 2-3】解析 在△ABC 中,AB=600 m,∠BAC=30° ,∠ACB=75° -30° =45° ,由正弦 BC AB BC 600 定理得 = ,即 = ,所以 BC=300 2 m.在△BCD 中,∠CBD= sin 30° sin 45° sin∠BAC sin∠ACB 30° ,CD=BCtan∠CBD=300 2· tan 30° =100 6 m.。答案 100 6 探究提高 求解三角形的实际问题,首先要准确理解题意,分清已知与所求,关注应用题中的 有关专业名词、术语,如方位角、俯角等;其次根据题意画出其示意图,示意图起着关键的作用;再次将要求解 的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型,从而正确求解,演算 过程要简练,计算要准确;最后作答. sin A a sin A 【训练 2】(1)证明 由 a=btan A 及正弦定理,得 = = ,在△ABC 中,sin A≠0, cos A b sin B π π π π ? ?π ? 所以 sin B=cos A,即 sin B=sin? ?2+A?.又 B 为钝角,因此2+A∈?2,π?,故 B=2+A,即 B-A=2. (2)解 π? π ? π? ?π ? 由(1)知,C=π-(A+B)=π-? ?2A+2?=2-2A>0,所以 A∈?0,4?.于是 sin A+sin C=sin A+sin?2-2A?

1 2 9 π 2 sin A- ? + .因为 0<A< ,所以 0<sin A< , =sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1=-2? 4 ? ? 8 4 2 2 1? 9 9 2 ? 2 9? 因此 <-2? ?sin A-4? +8≤8.由此可知 sin A+sin C 的取值范围是? 2 ,8?. 2 一、选择题 1.解析 ∵sin α+2cos α= 10 5 ,∴sin2 α+4sin α· cos α+4cos2α= .用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α, 2 2

sin 2α 3 ∴tan 2α= =- .故选 C. cos 2α 4 π ? π ?3 5 ? 4 ? π? 3 ? π? 2.解析 ∵α∈? ?2,π?.∴α+4∈?4π,4π?.∵sin?α+4?=5,∴cos?α+4?=-5, π? π 4 2 3 2 2 ? π? π ∴cos α=cos? ?α+4?cos 4+sin?α+4?sin 4=-5× 2 +5× 2 =- 10 .答案 A 1 1 1 2 3.解析 S△ABC= AB· BCsin B= ×1× 2sin B= ,∴sin B= ,若 B=45° ,则由余弦定理得 AC=1,∴△ABC 2 2 2 2 为直角三角形,不符合题意,因此 B=135° ,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B=1+2-2×1× 2 ×?- 2? =5,∴AC= 5.故选 B. 2? π ∵C= ,由余弦定理得 c2=a2+b2-ab②,由①和②得 3

?

4.解析 c2=(a-b)2+6,即 c2=a2+b2-2ab+6①.

1 1 3 3 3 ab=6,∴S△ABC= absin C= ×6× = ,故选 C. 2 2 2 2
- 21 -

4 3 5 π π 5.解析 依题意得 sin β= ,cos β= .注意到 sin(α+β)= <sin β,因此有 α+β> (否则,若 α+β≤ ,则有 0 5 5 13 2 2 π 12 <β<α+β≤ ,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾),则 cos(α+β)=- ,sin α=sin[(α+β)-β] 2 13 63 =sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β= .答案 A 65 1 15 1 1 15 6.解析 ∵cos A=- ,0<A<π,∴sin A= ,S△ABC= bcsin A= bc× =3 15,∴bc=24, 4 4 2 2 4 1 - ?=64, 又 b-c=2,∴b2-2bc+c2=4,b2+c2=52,由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A=52-2×24×? ? 4? ∴a=8. a+ 2b 7.解析 ∵sin A+ 2sin B=2sin C.由正弦定理可得 a+ 2b=2c,即 c= , 2 a +b -c cos C= = 2ab
2 2 2

a2+b2-?

2 ?a+ 2b? ? ? 2 ? 3a2+2b2-2 2ab 2 6ab-2 2ab = 8ab ≥ 8ab

2ab



6- 2 , 4

6- 2 6- 2 a 2 当且仅当 3a2=2b2 即 = 时等号成立.∴cos C 的最小值为 .答案 b 4 4 3 8.解析 如题图,在△ABD 中,BD=400 米,∠ABD=120° .因为∠ADC=150° ,所以∠ADB=30° .所以∠DAB= BD AD 400 AD 180° -120° -30° =30° .由正弦定理,可得 = .所以 = ,得 AD=400 3(米). sin 30° sin 120° sin∠DAB sin∠ABD 在△ADC 中,DC=800 米,∠ADC=150° ,由余弦定理可得 AC2=AD2+CD2-2· AC· CD· cos∠ADC =(400 3)2+8002-2×400 3×800×cos 150° =4002×13,解得 AC=400 13(米).故索道 AC 的长为 400 13米. 9.解 a2+c2-b2 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得 a=2b· . 2ac 1 2 2 1- = . 9 3

因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- .由于 0<A<π,所以 sin A= 1-cos2A= 2bc 6 3 π? π π 2 2 2 ? 1? 2 4- 2 故 sin? ?A+4?=sin Acos 4+cos Asin 4= 3 × 2 +?-3?× 2 = 6 . 10.解(1)由正弦定理得:sin Csin B=sin Bcos C. 又 sin B≠0,所以 sin C=cos C,∴C=45°.又 bcos C=3,所以 1 21 b=3 2.(2)因为 S△ABC= acsin B= ,csin B=3,所以 a=7,由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=25.所以 c= 2 2 5. sin 2x 11.解 (1)由题意知 f(x)= - 2 π? 1+cos? ?2x+2? 2 sin 2x 1-sin 2x 1 π π = - =sin 2x- .由- +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z, 2 2 2 2 2

π π π 3π π 3π 可得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z;由 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z, 可得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 4 4 2 2 4 4 π π π 3π - +kπ, +kπ?(k∈Z);单调递减区间是? +kπ, +kπ ?(k∈Z). 所以 f(x)的单调递增区间是? 4 4 ? 4 ? ?4 ? A? 1 1 3 (2)由 f? ? 2?=sin A-2=0,得 sin A=2,由题意知 A 为锐角,所以 cos A= 2 . 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,可得 1+ 3bc=b2+c2≥2bc, 2+ 3 2+ 3 1 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立.因此 bcsin A≤ .所以△ABC 面积的最大值为 . 2 4 4
- 22 -

第 3 讲 平面向量 真 题 感 悟 1.解析 如图所示,由题意,得 BC=a,CD=a,∠BCD=120° . 1? 2 BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos 120° =a2+a2-2a· a×? ?-2?=3a , ∴BD= 3a. 3 3 → → → → ∴BD· CD=|BD||CD|cos 30° = 3a2× = a2.答案 D 2 2

2.解析 由题意(a-b)· (3a+2b)=3a2-a· b-2b2=0, 2 π 2 2?2 2 2 即 3|a|2-|a|· |b|cos θ-2|b|2=0,所以 3×? - cos θ-2=0,cos θ= ,θ= ,选 A. 3 2 4 ? 3 ? 1→ 4 → → → → → → → → → → → 3.解析 ∵BC=3CD,∴AC-AB=3(AD-AC),即 4AC-AB=3AD,∴AD=- AB+ AC.答案 A 3 3 4.解析 ∵向量 a,b 不平行,∴a+2b≠0,又向量 λa+b 与 a+2b 平行,则存在唯一的实数 μ,使
? ?λ=μ, 1 λa+b=μ(a+2b)成立,即 λa+b=μa+2μb,则得? 解得 λ=μ= . 2 ?1=2μ, ?

1 1 → → → 1 → 1 → 1 → 1 → → 1→ 1 → 【例 1-1】解析 MN=MC+CN= AC+ CB= AC+ (AB-AC)= AB- AC,∴x= ,y=- . 3 2 3 2 2 6 2 6 探究提高 解决此类问题的关键是先选择一组基底, 并运用平面向量的基本定理, 将条件和结论表示成基底的线 性组合,再通过对比已知等式列方程组可得. 【例 1-2】 解析 依题意得 a+2c=(3,1)+(2k,14)=(3+2k,15),因为 b=(1,3),(a+2c)∥b. 所以 3(3+2k)=15,解得 k=1.答案 1 探究提高 在证明两向量平行时,若已知两向量的坐标形式,常利用坐标运算来判断,即若 a=(x1,y1),b=(x2, y2),则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0;若两向量不是以坐标形式呈现的,常利用共线向量定理(当 b≠0 时,a ∥b?存在唯一实数 λ,使得 a=λb)来判断. → → → → → → → → → → → → →2 【例 1-3】 解析(1)因为OA⊥AB,所以OA· AB=0.所以OA· OB=OA· (OA+AB)=OA2+OA· AB=|OA| +0=32=9. → → → → → 1 → (2)法一 在梯形 ABCD 中,AB=2,BC=1,∠ABC=60° ,可得 DC=1,AE=AB+λBC,AF=AD+ DC, 9λ 1 → 1 → → → → → → → → 1 → → → → 1 → ∴ AE · AF = ( AB + λ BC )· ( AD + DC ) = AB · AD + AB · DC + λ BC · AD + λ BC · DC = 2×1×cos 60° + 2× + 9λ 9λ 9λ 9λ 1 2 λ 17 λ×1×cos 60° +λ· ×cos 120° = + + ≥2 9λ 9λ 2 18 2 λ 17 29 2 λ 2 29 · + = ,当且仅当 = ,即 λ= 时,取得最小值为 . 9λ 2 18 18 9λ 2 3 18

3 3 1 3 法二 以点 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 B(2,0),C? , ?,D? , ?. 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 3 1 1 3 → → → 1 → 又BE=λBC;DF= DC,则 E?2- λ, λ?,F? + , ?,λ>0, 9λ 2 ? ? 2 ? 2 9λ 2 ? → → ? 1 ??1 1 ? 3 17 2 1 17 所以AE· AF=?2-2λ??2+9λ?+ λ= + + λ≥ +2 4 18 9λ 2 18 2 1 29 · λ= ,λ>0, 9λ 2 18 答案 29 (1)9 (2) 18

2 1 2 29 → → 当且仅当 = λ,即 λ= 时取等号,故AE· AF的最小值为 . 9λ 2 3 18

探究提高 求解几何图形中的数量积问题, 通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法, 但是如 果建立合理的平面直角坐标系,把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法. 1 ? → ?1 ? → 【训练 1】解析 建立如图所示坐标系,则 B? ? t ,0?,C(0,t),AB=? t ,0?,AC=(0,t),

- 23 -

→ → → AB 4AC ?1 ? 4 → → ?1 AP= + =t? t ,0?+ (0,t)=(1,4),∴P(1,4),PB· PC=? t -1,-4? (-1,t-4) ?· t → → |AB| |AC| 1 ? =17-? ? t +4t?≤17-2 1 1 1 · 4t=13,当且仅当 Δt= ,即 t= 时(负值舍去)取得最大值 13,故选 A. t t 2

→ → → → → → → 【例 2-1】解析 由已知,得OP-OA=λ(AB+AC),即AP=λ(AB+AC),根据平行四边形法则,设△ABC 中 BC → → → 边的中点为 D,知AB+AC=2AD,所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心.故填重心.答案 重心 探究提高 在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表达式具有许多重要的性质.在近年高考试题中, 总会出现一些新颖别致的问题,考查平面向量的相关知识点和考生分析问题、解决问题的能力. 【例 2-2】解 因为 m=( 3sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),函数 f(x)=m· n, π? 所以 f(x)= 3sin 2x+2+2cos2x= 3sin 2x+cos 2x+3=2sin? ?2x+6?+3. 2π π π π π π (1)f(x)的最小正周期 T= =π.由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 2 2 6 2 3 6 π π? 所以 f(x)的单调递增区间为? ?kπ-3,kπ+6?,k∈Z. π π 1 π 5π 2A+ ?+3=4,即 sin?2A+ ?= .由于 0<A<π,所以 2A+ = , (2)因为 f(A)=4,所以 2sin? 6? 6? 2 ? ? 6 6 π 1 3 3 3 即 A= .又 S△ABC= bcsin A= 且 b=1,所以 c= ,解得 c=2.在△ABC 中,由余弦定理, 3 2 2 4 2 1 得 a2=b2+c2-2bccos A=1+4-2×1×2× =3,所以 a= 3. 2 探究提高 三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,向 量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题, 都会出现交汇问题中的难点, 对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关 系”,再利用三角函数的相关知识进行求解. 【例 2-3】解 (1)因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0,由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin Bcos A=0, π 又 sin B≠0,从而 tan A= 3,由于 0<A<π,所以 A= . 3 π (2)法一 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,而 a= 7,b=2,A= ,得 7=4+c2-2c,即 c2-2c-3=0, 3 1 3 3 因为 c>0,所以 c=3,故△ABC 的面积为 S= bcsin A= . 2 2 7 2 21 2 7 法二 由正弦定理,得 = ,从而 sin B= ,又由 a>b,知 A>B,所以 cos B= , π sin B 7 7 sin 3 π? π π 3 21 1 3 3 故 sin C=sin(A+B)=sin? ?B+3?=sin Bcos 3+cos Bsin 3= 14 .所以△ABC 的面积为 S=2absin C= 2 . 探究提高 解决此类问题的关键是利用平面向量的知识将条件转化为三角形中的“数量关系” ,再利用解三角形 的有关知识进行求解. 【训练 2】解 (1)由题设,可得(a+b)· (a-b)=0,即|a|2-|b|2=0,则:cos2α+(λ-1)2sin2α-cos2β-sin2β=0, π 所以(λ-1)2sin2α-sin2α=0,又 0<α< ,∴sin2α≠0,∴(λ-1)2-1=0,解得:λ=2 或 λ=0(舍去). 2
- 24 -

4 π π (2)由(1)及题设条件,知 a· b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)= .∵0<α<β< ,∴- <α-β<0,∴sin(α-β) 5 2 2 3 4 - + 4 3 tan(α-β)+tan β 3 3 7 =- ,tan(α-β)=- .∴tan α=tan[(α-β)+β]= = = . 5 4 3 24 4 1-tan(α-β)tan β ? 1-? ?-4?×3 一、选择题 1.解析 对于 A,由|a· b|=||a||b|cos?a,b?|≤|a||b|恒成立;对于 B,当 a,b 均为非零向量且方向不相同时不成 立;对于 C、D 容易判断恒成立.故选 B. → → → → → → → → 2.解析 由于△ABC 是边长为 2 的等边三角形; ∴(AB+AC)· (AB-AC)=0, 即(AB+AC)· CB=0, ∴(4a+b)⊥CB, → 即(4a+b)⊥BC,故选 D. → → → → → → → → → 3.解析 由条件可得 B(3,1),A(2,0),∴(OA+OB)· AB=(OA+OB)· (OB-OA)=OB2-OA2=10-4=6.答案 B 3 3 3 4.解析 因为 a,b 均为单位向量,所以(2a+b)· (a-2b)=2-2-3a· b=- ,解得 a· b= ,所以 cos〈a,b〉 2 2 = a· b 3 π = ,又〈a,b〉∈[0,π],所以〈a,b〉= .答案 A |a||b| 2 6

1 → 1→ → → 3→ → → → 5.解析 AM=AB+ AD,NM=CM-CN=- AD+ AB 4 4 3 1 1 → → 1 → → 1 → → → → ∴AM· NM= (4AB+3AD)· (4AB-3AD)= (16AB2-9AD2)= (16×62-9×42)=9,选 C. 4 12 48 48 6.解析 因为 b⊥c,所以 b· c=0,又 c=ta+(1-t)b,所以 b· c=ta· b+(1-t)b2=0.因为 a,b 的夹角为 60° , 1 9 9 且|a|=|b|=3,所以 a· b=|a||b|cos 60° =3×3× = ,b2=9.所以 t+9(1-t)=0,解得 t=2.答案 2 2 2 2 7.解析 法一 如图,建立平面直角坐标系.由题意知:A(3,0),B(0,3),
?x=2(3-x), ?x=2, ? ? → → 设 M(x,y),由BM=2MA,得? 解得? ? ? ?y-3=-2y, ?y=1,

→ → 即 M 点坐标为(2,1),所以CM· CB=(2,1)· (0,3)=3. → → → → → → 2 → ?2 → ? → 2 2 → → → 1 → 2 法二 CM· CB=(CB+BM)· CB=CB +CB×?3BA?=CB + CB· (CA-CB)= CB =3.答案 3 3 3

? → 8.解析 由条件,得AP=λ?
=λ?

→ → → → → → ? ? AB AB AC ? · BC AC· BC → → + + BC=λ? ?,从而AP· ? → → → → ?|AB|cos B |AC|cos C? ?|AB|cos B |AC|cos C?

→ → → → ?|AB ||BC|cos(180° -B) |AC|· |BC|cos C? → → → → ?=λ(-|BC + |+|BC|)=0, 得AP⊥BC, 则动点 P 的轨迹一定通过△ABC ? → → ? | AB |cos B | AC |cos C ? ?

的垂心.答案 垂心 9.解 (1)a· b=cos 3x x 3x x cos -sin sin =cos 2x,|a+b|= 2 2 2 2 2 2 ?cos 3x+cos x? +?sin 3x-sin x? 2 2? ? 2 2? ?

π? = 2+2cos 2x=2 cos2x,因为 x∈? ?0,2?,所以 cos x≥0,所以|a+b|=2cos x.
- 25 -

(2)由(1),可得 f(x)=a· b-2λ|a+b|=cos 2x-4λcos x,即 f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2. π? 因为 x∈? ?0,2?,所以 0≤cos x≤1. ①当 λ<0 时,当且仅当 cos x=0 时,f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾; 3 1 ②当 0≤λ≤1 时,当且仅当 cos x=λ 时,f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知得-1-2λ2=- ,解得 λ= ; 2 2 3 5 ③当 λ>1 时,当且仅当 cos x=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ,由已知得 1-4λ=- ,解得 λ= ,这与 λ>1 相矛 2 8 1 盾;综上所述 λ= . 2 10.解 (1)因为 p⊥q,所以 p· q=(cos B+sin B)(sin B-cos B)+(2sin B-2)(1+sin B)=0, 3 3 即 sin2B-cos2B+2sin2B-2=0,即 sin2B= ,又角 B 是锐角三角形 ABC 的内角,所以 sin B= ,所以 B=60° . 4 2 1 (2)由(1)得 B=60° ,又△ABC 的面积为 3,所以 S△ABC= acsin B,即 ac=4.① 2 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,又 b=2,所以 a2+c2=8,② 联立①②,解得 a=c=2. 11.解 (1)因为|a|2=2cos2 A+B A-B 3 1-cos(A-B) 3 +sin2 = ,1+cos(A+B)+ = , 2 2 2 2 2

cos Acos B+sin Asin B 1 3tan Atan B 1 cos Acos B-sin Asin B- =0; - =0,所以 tan Atan B= (定值). 2 2 2 3 tan A+tan B 3(tan A+tan B) (2)由(1)知 A,B 为锐角,则 tan A>0,tan B>0,tan C=-tan(A+B)=- =- ≤-3 tan Atan B 2 1-tan Atan B =- 3.(当且仅当 tan A=tan B= 形. 3 ,“=”成立) 所以 tan C 的最大值为- 3,此时三角形的形状为等腰三角 3

- 26 -



推荐相关:

高考专题突破二(高考中的三角函数与平面向量问题)

高考专题突破二(高考中的三角函数与平面向量问题) - (时间:70 分钟) π 5π 3 1.已知函数 f(x)=Asin(x+ ),x∈R,且 f( )= . 4 12 2 (1)求 A...


专题 三角函数与平面向量

专题 三角函数与平面向量 - 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质 高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容, 主要从以下两 个方面...


2015届文科专题复习(三角函数与平面向量)

(2)三角函数 ① 理解任意角三角函数(正弦、余弦三角函数与平面向量专题复习一、考纲。三角函数 (1)任意角的概念、弧度制 ① 了解任意角的概念。 ② 了解弧度制...


专题一 三角函数与平面向量_图文

专题三角函数与平面向量 - 课题 总第 考纲分析 专题三角函数与平面向量 1 课时 制作人 赵明执教人: 执教日期: 三角函数与平面向量是高考的高频考点,常以...


2018届二轮 高考大题突破练-三角函数与平面向量 专题卷...

2018届二轮 高考大题突破练-三角函数与平面向量 专题卷(全国通用) - (1)平面向量与三角函数解三角形的综合训练;(2)数形结合转化与化归的数学 训练目标 思想....


2019届高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题

高考专题突破二 【考点自测】 高考中的三角函数与平面向量问题 π 1.(2016· 全国Ⅱ)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对称轴 ...


专题三 三角函数与平面向量

专题三角函数与平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学第二轮...2 2 公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tan...


...)专题复习检测:专题二 三角函数与平面向量

2016届高三数学(文)专题复习检测:专题二 三角函数与平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。专题二 三角函数与平面向量 真题体验· 引领卷 一、填空题 ? π...


4.8 高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题

4.8 高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题 - 1.(2016· 全国甲卷)若将函数 y=2sin2x 的图象向左平移 轴为( ) π 个单位长度,则平移后图象的...


高考数学(理)一轮复习专题突破:2三角函数与平面向量问题

高考数学(理)一轮复习专题突破:2三角函数与平面向量问题 - π 1.(2016· 全国甲卷)若将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位长度,则平移后图象的对 12 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com