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2.4 定积分与微积分基本定理


2.4 定积分与微积分基本定理

一、选择题 1.?1(ex+2x)dx 等于(

?0

)

A.1 B.e-1 C.e D.e+1 1 0 解析:?1(ex+2x)dx=(ex+x2)|1 0=(e +1)-e =e,故选 C.

?0

答案:C 2.由

曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为( ) 10 A. B.4 3 16 C. D.6 3 解析:由 y= x及 y=x-2 可得交点(4,2),所以由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的封 闭图形面积为 2 1 16 4 ( x-x+2)dx=( x 2 - x2+2x)0 = . ? 3 2 3 ?
4 0
3

答案:C 3.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f ′(x)=2x+1,则?2f(-x)dx 的值为(

5 1 A. B. 6 2 2 1 C. D . 3 6 解析:由于 f(x)=xm+ax 的导函数为 f ′(x)=2x+1,所以 f(x)=x2+x,于是?2f(-x)dx

?1

)

?1

1 1 5 =?2(x2-x)dx=( x3- x2)|2 = . 3 2 1 6 ?
1

答案:A π π 4.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. B.1 2 3 C. D. 3 2 )

x+2?-2≤x<0? ? ? 5.函数 f(x)=? ,的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为( π 2cosx?0≤x≤ ? ? 2 ? 3 A. 2 B.1

)

1 C.4 D. 2 解析:由该分段函数的图象可知

答案:C 6.设集合 P={x|?x (3t2-10t+6)dt=0,x>0},则集合 P 的非空子集个数是(

?0

)

A.2 B.3 C.7 D.8 x 解析:依题意得?x (3t2-10t+6)dt=(t3-5t2+6t)|0 =x3-5x2+6x=0,由此解得 x=0 或 x=2 或 x=3.又 x>0,因此集合 P={2,3},集合 P 的非空子集的个数是 22-1=3,选 B. 答案:B 二、填空题 7.函数 f(x)=x3-x2+x+1 在点(1,2)处的切线与函数 g(x)=x2 围成的图形的面积等于 ________. 解析:f ′(x)=3x2-2x+1, ? ?y=2x 故 f ′(1)=2,所以切线方程为 y=2x,由? 2 ?x=0,或 x=2,所以围成图形的 ?y=x ? 1 8 4 面积 S=?2(2x-x2)dx=(x2- x3)|2 =4- = . 3 0 3 3 ? 4 答案: 3
0

?0

9.已知函数 f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象如图所示,它与 x 轴在原点处相切, 1 且 x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为 ,则 a 的值为__________. 12 解析:f ′(x)=-3x2+2ax+b,∵f ′(0)=0, ∴b=0,∴f(x)=-x3+ax2,令 f(x)=0,得 x=0 或 x=a(a<0). 1 1 S 阴影=-?0(-x3+ax2)dx= a4= ,∴a=-1. 12 12 ?
a

答案:-1 三、解答题 10.已知-1≤a≤1,f(a)=?1(2ax2-a2x)dx,求 f(a)的值域.

?0

2a a2 解析:f(a)=?1(2ax2-a2x)dx=( x3- x2)|1 0 3 2 ? a2 2a 1 2 2 =- + =- (a- )2+ . 2 3 2 3 9 ∵-1≤a≤1, 7 2 ∴- ≤f(a)≤ . 6 9 7 2 故 f(a)的值域为[- , ]. 6 9 11.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f ′(x)=2x+2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 解析:(1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f ′(x)=2ax+b. 又∵f ′(x)=2x+2,∴a=1,b=2, ∴f(x)=x2+2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根,即 x2+2x+c=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0 即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1. (2)依题意,所求面积为 1 . 3 12.一汽车在平直的公路上行驶,速度为 v(t)=6-2t+ 10 (单位:m/s).司机突然发现 t+1
0

前方不远处有人横穿公路,于是紧急刹车.那么 (1)从司机开始紧急刹车至汽车完全停止,需要多少时间? (2)从司机发现行人(紧急刹车)时,该行人距汽车多远才能保证安全穿过马路? 解析:(1)汽车完全停止时,v=0, 10 令 6-2t+ =0, t+1 即 6(t+1)-2t(t+1)+10=0. ∴t2-2t-8=0,∴t=4(t=-2 舍去). 即需 4s 后,汽车才完全停止. (2)根据定积分的物理意义,从紧急刹车至汽车完全停止,所行驶的路程为 10 s=?4(6-2t+ )dt t + 1 ? =[6t-t2+10ln(t+1)]4 0 =(6×4-42+10ln5)-(0-0+10ln1) =8+10ln5. 所以行人距汽车(被司机发现时)超过(8+10ln5)m 便可安全穿过马路.
0


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